Relationentheorie AIFB SS2001 1 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten (1|6) Lemma 1.1: (Regeln.

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1 Relationentheorie AIFB SS2001 1 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten (1|6) Lemma 1.1: (Regeln für bzw. (r)) Vor.: r: (U | F), F (U); A, B, C, D U Dann gelten die folgenden Eigenschaften: (1)B A A B (r) (Reflexivität/Projektivität) bzw. B A = A B ( insb. gilt immer: A A (r)) (2)A B = AC BC (Erweiterungsregel) (3)A B, B C = A C (Transitivität) (4)A B, A C = A BC (Vereinigungsregel) (5)A B, BC D = AC D (Pseudotransitivität) (6)A B, C B = A C (Zerlegungsregel) Anderer Beweis von Eigenschaften (4)-(6)

2 Relationentheorie AIFB SS2001 2 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten (2|6) Lemma 1.2: Vor.: wie in Lemma 1.1; dann gilt: A B (r) b B: A b (r). Beweis: Folgt unmittelbar aus Lemma 1.1(6) 1.4.3

3 Relationentheorie AIFB SS2001 3 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten (3|6) (2)Es gelte A B (r); x, y r. Zu zeigen: x.AC = y.AC x.BC = y.BC x.AC = y.AC x.A = y.A und x.C = y.C x.B = y.B und x.C = y.C A B x.BC = y.BC Beweis: (1)Sei B A und x, y r. Zu zeigen: x.A = y.A x.B = y.B x.A = y.A x.a = y.a für alle a A x.a = y.a für alle a B (da a A) x.B = y.B

4 Relationentheorie AIFB SS2001 4 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten (4|6) (3)Es gelte A B (r) und B C (r); x, y r. Zu zeigen: x.A = y.A x.C = y.C x.A = y.A x.B = y.B A B x.C = y.C B C d.h. x.A = y.A x.C = y.C, also A C (4)Es gelte A B(r) und A C(r); x, y r. Zu zeigen: x.A = y.A x.BC = y.BC x.A = y.A x.B = y.C und x.C = y.B A B, A C x.BC = y.BC

5 Relationentheorie AIFB SS2001 5 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten (5|6) (5)Es gelte A B (r) und BC D (r); x,y r. Zu zeigen: x.AC = y.AC x.D=y.D x.AC = y.AC x.A = y.A und x.C = y.C x.B = y.B und x.C = y.C A B x.BC = y.BC x.D = y.D BC D (6)Es gelte A B (r), C B; x, y r. Zu zeigen: x.A = y.A x.C = y.C x.A=y.A x.B = x.B A B x.b = y.b für alle b B x.b = y.b für alle b C C B x.C = y.C 1.4.3

6 Relationentheorie AIFB SS2001 6 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten 1.4.2 Eigenschaften funktionaler Abhängigkeiten (6|6) Anderer Beweis: Hinweis: AB = A B = B A = BA (4) A B = A AB (2), C=A, AA=A A C = AB BC (2), Erw. B = A BC (3) = AC D (3) (5)A B = AC BC (2), C BC D (6)A B C B = B C (1) = A C (3) Lemma 1.1 Lemma 1.1 s.51