Arithmetik als Prozess Stellenwertsysteme Universität Kassel Semester: WS 2008/2009 Dozent: Prof. Dr. Werner Bley Veranstaltung: Arithmetik als Prozess Referenten: Tanja Muthanna (Teil I) Christian Becker (Teil II)

Gliederung der Veranstaltung Teil I Die Idee der Stellenwertsysteme a) Bündeln b) Ausmessen c) Das Problem des minimalen Gewichtssatzes Umwandeln von Zahlen 1. Übersetzen einer Zahl vom 10er-System in ein g-System 2. Übersetzen einer Zahl vom g-System ins 10er- System Rechnen in anderen Systemen Teilbarkeitsregeln

Teil 1 von Tanja Muthanna Universität Kassel Seminar: Arithmetik als Prozess Thema: Stellenwertsysteme Teil 1 von Tanja Muthanna

Die Idee der Stellenwertsysteme Bündeln Da es schwer ist, größere Anzahlen von Objekten schnell zu erfassen, neigt der Mensch dazu, Dinge zu bündeln. Das ist auch eine Idee von Stellenwertsys-temen.

Die Idee der Stellenwertsysteme In dem uns bekannten Zehnersystem sind immer zehn Objekte gebündelt. Unsere Ziffern sind die von null bis neun. Bei der Zehn gibt es ein Zehner- Bündel, was durch die Eins in der Spalte der Zehner und die Null in der der Einer in einer Stellenwerttafel angezeigt wird.

Die Idee der Stellenwertsysteme Haben wir neun Zehner und neun Einer, so gibt das unsere Zahl 99 im Zehnersystem. Kommt jetzt ein Einer hinzu, so kann man das Gesamte zu einem Hunderter-Bündel zusammen nehmen, da hier wieder zehn Zehner-Bündel zusammen gefasst werden können.

Die Idee der Stellenwertsysteme Zehn Hunderter ergeben dann einen Tausender etc. Die Zahl, die in der Stellenwerttafel in der Spalte unter den Tausendern, Hundertern etc. steht, gibt also immer die Anzahl der Bündel an.

Die Idee der Stellenwertsysteme Bsp.: 2134 entspricht: 2 Tausendern = 1 Hundertern = 3 Zehnern = 4 Einern = Was heißt das aber in einem System zu einer anderen Basis?

Die Idee der Stellenwertsysteme Die Basis entspricht der Anzahl, die in einem Bündel zusammengefasst werden soll. Im Zehnersystem ist es die 10, im Fünfersystem, z.B., ist es die 5. Die Spalte der Einer bleibt auf der Stellenwerttafel mit unserer identisch. Es existieren aber nur die Ziffern von null bis vier.

Die Idee der Stellenwertsysteme Die 10 im Fünfersystem entspricht dann also der 5 im Zehnersystem, da es ein Fünfer-Bündel und keine Einer gibt. Man spricht dann von Eins Null im Fünfersystem oder zur Basis 5 (man sagt nicht Zehn). Die nächste Stufe im Fünfersystem ist dann die Bündelung von fünf Fünfer-Bündeln zu einem 25er-Bündel, das auch durch dargestellt werden kann.

Die Idee der Stellenwertsysteme Die nächste Bündelung ist dann fünf mal die 25, das entspricht der 125 ( ) im Zehnersystem und der 100 zur Basis 5 (geschrieben: ) im Fünfersystem. So kann man das zu allen möglichen Basen machen. Man muss sich nur immer vergegen-wärtigen, in welchem System man sich gerade befindet.

Die Idee der Stellenwertsysteme Allgemein kann man also sagen, dass es in einem System zur Basis g immer g verschiedene Ziffern gibt, nämlich von 0 bis g – 1 (Bsp.: im System zur Basis 8 gibt es die Ziffern 0 bis 7).

Die Idee der Stellenwertsysteme b) Ausmessen Man kann auch durch ein Einheitensystem etwas ausmessen. Will man z.B. wissen, wie viel etwas wiegt, so kann man Gewichte (mit z.B. 1, 5, 25 und 125 Gramm, die den Stellen aus dem Fünfersystem entsprechen) nehmen, mit denen man durch eine Balkenwaage das Gewicht dessen ermitteln kann, was auf der anderen Waagschale liegt.

Die Idee der Stellenwertsysteme Angenommen, auf der Waagschale liegt etwas, das 58 Gramm wiegt. Dann braucht man 2 25er-Gewichte, ein Fünfer-Gewicht und 3 Einer-Gewichte. Man könnte also die Zahl 58 im Zehner-system als die Zahl 213 im Fünfersystem schreiben. So hat man das Gewicht von 58 Gramm durch ausmessen ermittelt.

Die Idee der Stellenwertsysteme „Unsere gebräuchlichen Einheitensysteme für Längen, Gewichte, Währungen o. Ä. sind am Zehnersystem orientiert; nimmt man z.B. bei der Längenmessung 1 mm als kleinste Einheit, so gilt: 1 cm = 10 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 m = 10 dm = 100cm = 1000mm“

Die Idee der Stellenwertsysteme c) Das Problem des minimalen Gewichtssatzes Um einen Satz von Gewichten zu erhalten, der möglichst wenig Steine hat, aber mit dem man trotzdem alle Lasten ausmessen kann, braucht man die der 2er-Potenzen. Das erklärt sich wie folgt:

Die Idee der Stellenwertsysteme Mit 1 als kleinster Gewichtseinheit geht es los. Mit 2 kann man die Last bis 3 auswieg-en, mit 4 dann die Last bis sieben, mit 8 die Last bis 15 usw. Also erhält man 1,2,4,8 usw. was die Zweierpotenzen sind.

Die Idee der Stellenwertsysteme Allgemein kann man also sagen: „Wenn man mit den bisherigen Gewichtssteinen alle Lasten bis zu auswiegen kann, so benötigt man als nächsten Gewichtsstein . Damit kann man dann alle Lasten auswiegen bis zu , und der nächste Gewichtsstein muss sein.“ Also führt dieses Problem auf die Zahlendarstell-ung im Zweiersystem (Dual- oder Binärsystem).

Die Idee der Stellenwertsysteme In diesem System gibt es nur zwei Ziffern, 0 und 1. Bsp. 79 = 64+8+4+2+1 =

Umwandeln von Zahlen Übersetzen einer Zahl vom Zehnersystem in ein g-System Wenn man eine Zahl im Zehnersystem in ein anderes System übersetzen will, so kann man dies durch Bündelung wie eben beschrieben vornehmen, was der „Division mit Rest“ durch die Basis g entspricht.

Umwandeln von Zahlen 5 1 66 3 13 2 333 Bsp.: 333 ins 5er-System Die 5 passt 66 mal in die 333 und es bleibt der Rest 3 333 : 5 = 66 Rest 3 Die 5 passt weitere 13 mal in die 66 es bleibt der Rest 1 in der 5er-Spalte 66 : 5 = 13 Rest 1 Dann passt sie noch zwei mal in die 13 mit Rest 3 in der 25er Spalte 13 : 5 = 2 Rest 3 Also ist das Ergebnis: 2313 zur Basis 5 5 1 333 66 3 13 2

Umwandeln von Zahlen 2. Übersetzen einer Zahl vom g –System ins Zehnersystem Das eben durchgeführte Verfahren wird rückgängig gemacht. Man multipliziert die erste Zahl von links, die die Anzahl der Bündel der höchsten Potenz von g angibt mit der Basis g und addiert die nächste Zahl. Dann verfährt man so weiter, bis die Zahl, die die Einer angibt addiert wurde.

Umwandeln von Zahlen Gleiches Beispiel: 2313 zur Basis 5 2 x 5 = 10, 10 + 3 = 13 13 x 5 = 65, 65 + 1 = 66 66 x 5 = 330, 330 + 3 = 333 Also ist das Ergebnis 333 im Zehnersystem. 5 1 2 3 13 66 333

Umwandeln von Zahlen Das eben geschilderte kann man auch in einem Schema verdeutlichen: das Horner-Schema 2 3 1 3 10 65 330 *5 2 13 66 333

Umwandeln von Zahlen Dies kann man zur Kontrolle in einem Rechenschritt zusammenfassen:

Rechnen in anderen Systemen Tipps zum Rechnen: Addition/Subtraktion – man sollte sich die Bedeutung der Überträge auf der Stellen-werttafel klar machen und zur Not die Probe machen. Multiplikation – Tabelle anlegen. Halbschriftliche Multiplikation mit den „Neperschen Streifen“.

Rechnen in anderen Systemen Bsp. für eine Additions- und Multiplikations-tafel im 5er-System + 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 * 1 2 3 4 10 11 13 20 14 22 30 31 40 100

Rechnen in anderen Systemen Bsp. im Fünfersystem 125- er 25er 5er E * 1 4 2 3 3125-er 625-er 125-er

Rechnen in anderen Systemen Division mit Rest – man sollte eine Vielfachentabelle des Divisors anlegen. Dies kann man ganz leicht, in dem man diesen wiederholt addiert. Zur Probe kann man die Umkehraufgabe rechnen.

Rechnen in anderen Systemen Bsp. dazu im 5er-System: 21404 : 22 = 443 Rest 3 143 210 124 121 3 1 * 22 = 22 2 * 22 = 44 3 * 22 = 121 4 * 22 = 143 5 * 22 = 220

Teilbarkeitsregeln Teilbarkeitsregeln im 10er-System 1. Endet eine Zahl auf 0 so ist sie durch 10 teilbar, da Zehnerbündelung keinen Rest lässt. 2. Man kann an der Einerziffer ablesen, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist, da durch Bündelung ein Vielfaches von Zehn entsteht, (das immer gerade ist) und ein Rest. Wenn dieser, der durch die Einer dargestellt wird, gerade ist, ist auch die ganze Zahl gerade.

Teilbarkeitsregeln 3. Deshalb entscheidet auch die Endziffer über die Teilbarkeit durch 5, da 5 und 2 Teiler von 10 sind. 4. An den letzten beiden Ziffern kann man erkennen, ob eine Zahl durch 4 teilbar ist, da die Zahl ab der drittletzten Ziffer ein Vielfaches von 100 ist und 100 immer durch 4 teilbar ist. Sind also die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar, ist die ganze Zahl durch 4 teilbar.

Teilbarkeitsregeln Allgemein heißt das also: Wenn r also durch 4 teilbar ist, ist a auch durch 4 teilbar. Das gleiche gilt, wenn man 4 durch 20, 25 oder einen anderen Teiler von 100 ersetzt. 5. Die letzten drei Zahlen verraten nach dem gleichen Prinzip die Teilbarkeit durch 8, da die viertletzte Zahl ein Vielfaches von 1000 ist und diese immer durch 8 teilbar ist. a ist also durch 8 teilbar, wenn r durch 8 teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln 6. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Die Quersumme erhält man, wenn man in der Stellenwerttafel die Zahlen, die in den verschiedenen Spalten stehen, in die Einerspalte schreibt und addiert. Dabei verschiebt man immer ein Vielfaches von 10 und bekommt dafür entsprechend viele Einer in der Einer-Spalte.

Teilbarkeitsregeln 100er 10er Einer 5 O O 1 -10+1 3 O O O Bsp.: 513 In der Tabelle sieht man exemplarisch an je einem Plättchen in der 100er- und 10er-Spalte, was passiert. Für jedes Plättchen verändert sich die Zahl um ein Vielfaches von 9. Nimmt man also diese Transformation vor, erhält man die Quersumme und wenn die durch 9 teilbar ist, so ist auch die Zahl durch 9 teilbar. 100er 10er Einer 5 O O O O O -100+1 O 1 -10+1 3 O O O

Teilbarkeitsregeln Teilbarkeitsregeln in anderen Stellenwert-systemen 1. Die „Endstellenregeln kann man auf Stellenwert-systeme mit beliebigen Basen g verallgemeinern. Denn eine Zahl ist genau dann durch g ( ) teilbar, wenn sie im g-System eine Null (zwei Nullen, drei Nullen) am Ende hat.“ Welche weiteren Teiler man an der Endstelle erkennen kann, hängt dann von der Zusammensetzung der Basis g und den Stufenzahlen ab.

Teilbarkeitsregeln 2. Bei der Quersummenbildung ist es wichtig, dass man angibt, in welchem System man die Quersumme bildet. Wie man die Zahl der Quersumme schreibt, bleibt hingegen ohne weitere Bedeutung. Bsp.: 10er-System: 5er-System: 8er-System:

Teilbarkeitsregeln Allgemein für die Quersummenregel in g-Sytemen gilt: „Ist g die Basis eines beliebigen Stellenwertsystems, so bewirkt das Verschieben eines Plättchens von der -Spalte in die Einer-Spalte eine Verminderung um . Dieser Wert ist immer ein Vielfaches von g - 1. Eine Zahl und ihre Quersumme unterscheiden sich also immer um ein Vielfaches von g – 1, daher haben sie bei Division durch g – 1 den gleichen Rest. Die Quersummenregel im g-System prüft somit auf Teilbarkeit durch g – 1 (und durch Teiler von g – 1, falls vorhanden).“