Zusatzthemen

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 2 Inhalt Gleichungssysteme mit Parameter Wurzelgleichungen Irrationale Zahlen Induktion WGMS III Gute Vorlesung Restklassen (Inverse) Beweise mit Fibonacci-Zahlen Gleichungssysteme mit Parameter Wurzelgleichungen Irrationale Zahlen Induktion WGMS III Gute Vorlesung Restklassen (Inverse) Beweise mit Fibonacci-Zahlen

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 3 Gleichungssystem mit Parameter … aus dem letzten Staatsexamen: Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y und z über R in Abhängigkeit des Parameters a. Geben Sie jeweils die Lösungsmenge an. x+y+3·z=1 x+(a–2)·y+a·z=2 x–y+a·z=2 … aus dem letzten Staatsexamen: Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y und z über R in Abhängigkeit des Parameters a. Geben Sie jeweils die Lösungsmenge an. x+y+3·z=1 x+(a–2)·y+a·z=2 x–y+a·z=2

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 4 … umformen 113=1 1a–2a=2 1–1a=2 113=1 0a–3a–3=1 0–2a–3 =1 113=1 1a–2a=2 1–1a=2 113=1 0a–3a–3=1 0–2a–3 =1

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 5 … lösen 113=1 0a–3a–3=1 0a–1 0 =0 Daraus folgt: y = 0, falls a ungleich 1. In diesem Fall folgt x+3z=1 (a–3)z=1 Also z = 1/(a–3), falls a ungleich 3. Im Falle a = 1 gibt es unendlich viele Lösungen, Im Falle a = 3 ist das Gleichungssystem unlösbar. 113=1 0a–3a–3=1 0a–1 0 =0 Daraus folgt: y = 0, falls a ungleich 1. In diesem Fall folgt x+3z=1 (a–3)z=1 Also z = 1/(a–3), falls a ungleich 3. Im Falle a = 1 gibt es unendlich viele Lösungen, Im Falle a = 3 ist das Gleichungssystem unlösbar.

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 6 Irrationale Zahlen Rationale Zahlen: Zahlen, die als Brüche dargestellt werden können (dabei sind die ganzen Zahlen enthalten!). = Zahlen, die als abbrechende oder periodische Dezimalbrüche dargestellt werden können. Irrationale Zahlen: Reelle Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind. Beispiele: Wurzeln,, e, … Zusatzbemerkung: Die reellen Zahlen, die keine Wurzeln sind, nennt man transzendent. Es gibt viel mehr transzendente Zahlen als Wurzeln! Rationale Zahlen: Zahlen, die als Brüche dargestellt werden können (dabei sind die ganzen Zahlen enthalten!). = Zahlen, die als abbrechende oder periodische Dezimalbrüche dargestellt werden können. Irrationale Zahlen: Reelle Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind. Beispiele: Wurzeln,, e, … Zusatzbemerkung: Die reellen Zahlen, die keine Wurzeln sind, nennt man transzendent. Es gibt viel mehr transzendente Zahlen als Wurzeln!

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 7 Induktion und Fibonacci Satz. Seien f n–2, f n–1, f n und f n+1 vier aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen. Dann gilt (für alle n 3): f n–2 f n+1 – f n–1 f n = (–1) n+1. Beweis durch Induktion nach n. Induktionsbasis: Sei n = 3. Dann ist f n–2 = f 1 = 1, f n–1 = f 2 = 1, f n = f 3 = 2, und f n+1 = f 4 = 3, also f n–2 f n+1 – f n–1 f n = 1 3 – 1 2 = 1. Das ist gleich (–1) n+1 = (–1) 4 = 1. Also gilt die Induktionsbasis. Induktionsschritt: Sei nun n > 3, und sei die Aussage richtig für n–1. Satz. Seien f n–2, f n–1, f n und f n+1 vier aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen. Dann gilt (für alle n 3): f n–2 f n+1 – f n–1 f n = (–1) n+1. Beweis durch Induktion nach n. Induktionsbasis: Sei n = 3. Dann ist f n–2 = f 1 = 1, f n–1 = f 2 = 1, f n = f 3 = 2, und f n+1 = f 4 = 3, also f n–2 f n+1 – f n–1 f n = 1 3 – 1 2 = 1. Das ist gleich (–1) n+1 = (–1) 4 = 1. Also gilt die Induktionsbasis. Induktionsschritt: Sei nun n > 3, und sei die Aussage richtig für n–1.

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 8 Induktionsschritt Nun berechnen wir: f n–2 f n+1 – f n–1 f n = f n–2 (f n + f n–1 ) – (f n–2 + f n–3 ) f n (Definition der Fibonacci-Z.) = f n–2 f n + f n–2 f n–1 – f n–2 f n – f n–3 f n = f n–2 f n–1 – f n–3 f n = –(f n–3 f n – f n–2 f n–1 ) (nach Induktion) = – (–1) n = (–1) n+1. Nun berechnen wir: f n–2 f n+1 – f n–1 f n = f n–2 (f n + f n–1 ) – (f n–2 + f n–3 ) f n (Definition der Fibonacci-Z.) = f n–2 f n + f n–2 f n–1 – f n–2 f n – f n–3 f n = f n–2 f n–1 – f n–3 f n = –(f n–3 f n – f n–2 f n–1 ) (nach Induktion) = – (–1) n = (–1) n+1.

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 9 Gute Vorlesung / guter Unterricht Zwei notwendige Voraussetzungen Beherrschung des Stoffs –Wenn man noch mit dem Stoff kämpft, hat man zu wenig Aufmerksamkeit für die Hörer. Klares Bewusstsein, für wen die Vorlesung ist. –nicht für mich –nicht für meine Kollegen –nicht für die Tafel –sondern für diese speziellen Zuhörerinnen und Zuhörer Zwei notwendige Voraussetzungen Beherrschung des Stoffs –Wenn man noch mit dem Stoff kämpft, hat man zu wenig Aufmerksamkeit für die Hörer. Klares Bewusstsein, für wen die Vorlesung ist. –nicht für mich –nicht für meine Kollegen –nicht für die Tafel –sondern für diese speziellen Zuhörerinnen und Zuhörer

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 10 Noch n par Tricks Klare Gliederung im Kopf! –Dann brauchen Sie auch kein Konzept. Beispiele, Beispiele, Beispiele! –Einfache Beispiele, komplexere Beispiele, überraschende Beispiele. –Sammeln Sie interessante Beispiele! Definitionen und Begriffe begründen! Das Problem so deutlich wie möglich machen! –Wer das Problem nicht versteht, kann auch die Lösung nicht würdigen. Klare Gliederung im Kopf! –Dann brauchen Sie auch kein Konzept. Beispiele, Beispiele, Beispiele! –Einfache Beispiele, komplexere Beispiele, überraschende Beispiele. –Sammeln Sie interessante Beispiele! Definitionen und Begriffe begründen! Das Problem so deutlich wie möglich machen! –Wer das Problem nicht versteht, kann auch die Lösung nicht würdigen.

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 11 Passen Sie auf! Ihnen werden dauernd schlechte Beispiele vorgeführt –Merken Sie sich diese, damit Sie nicht die gleichen Fehler machen! Oft erleben Sie auch gute Beispiele –Sammeln Sie diese, probieren Sie diese aus, und überprüfen Sie, ob diese zu Ihnen passen! Ihnen werden dauernd schlechte Beispiele vorgeführt –Merken Sie sich diese, damit Sie nicht die gleichen Fehler machen! Oft erleben Sie auch gute Beispiele –Sammeln Sie diese, probieren Sie diese aus, und überprüfen Sie, ob diese zu Ihnen passen!

Kapitel 5 © Beutelspacher Juni 2004 Seite 12 WGMS III Diskrete Mathematik: Kombinatorik, Graphentheorie, Kryptographie Stochastik: Die Lehre von den Gesetzen des Zufalls Diskrete Mathematik: Kombinatorik, Graphentheorie, Kryptographie Stochastik: Die Lehre von den Gesetzen des Zufalls