Tutorat Statistik II im SS 09 Zufallseffekte & Messwiederholung ch-langrock@t-online.de

Memo: zweifaktorielle ANOVA Was fällt euch noch ein?

Memo Verfahren zur Prüfung von Gruppen-unterschieden in Bezug auf mehrere UVs Erweiterung der einfak. ANOVA um den Interaktionseffekt bzw. die -quadratsumme Zwei Typen von Effekten/Quadratsummen: Haupt- und Interaktionseffekte Auswertung von Wechselwirkungen (Interaktionen) zwischen den UVs Interaktionstypen: ordinal, disordinal, hybrid Interpretation: Über Trends in beiden Diagrammen

Thema: Zufallseffekte & Messwiederholung

Gliederung Feste vs. Zufallseffekte Messwiederholung einfaktoriell Messwiederholung mehrfaktoriell

Feste vs. Zufallseffekte

Übersicht ANOVA Hier eine Übersicht über die verschiedenen varianzanalytischen Verfahren. Einige davon werden wir genauer kennenlernen. (Diese Tabelle finden Sie auch im Skript.)

Feste Effekt vs. Zufallseffekte Definition: Man spricht von festen Effekten, wenn alle möglichen bzw. alle interessierenden Stufen eines Faktors im Versuchsplan realisiert werden. Beispiele: Geschlecht, Therapieform, Hautfarbe Man spricht von Zufallseffekten, wenn einen Faktor sehr viele Abstufungen hat und für eine Untersuchung “zufällig” einige davon ausgesucht werden. Beispiele: Persönlichkeitseigenschaften, Alter, Universität

Feste Effekt vs. Zufallseffekte Zentraler Unterschied: Generalisierbarkeit (externe Validität) Bei festen Effekten ist keine Verallgemeinerung der inferenzstatistischen Prüfung auf nicht realisierte Stufen der UV möglich: Wenn ich Verhaltenstherapie und Gesprächstherapie als Faktor in meinem Versuchsplan habe, kann ich bei der Interpretation der Ergebnisse keine Aussagen über Psychotherapie im Allgemeinen tätigen.

Feste Effekt vs. Zufallseffekte Um Psychotherapie im Allgemeinen in Bezug auf meine AV bewerten zu könne, gibt es zwei Möglichkeiten: Ich realisiere alle Stufen des Faktors Psychotherapie -> ANOVA mit festen Effekten Ich wähle aus allen Therapieformen eine ausreichend große Zahl zufällig aus -> ANOVA mit zufälligen Effekten Nur eine Varianzanalyse mit zufälligen Effekten erlaubt intervallskalierte Variablen – mit theoretisch unendlich vielen Abstufungen – einzubeziehen. Dennoch kann eine „Zufallsfaktor“ grundsätzlich auch Nominal- bzw. Ordinalskalenniveau haben.

Unterschiede Feste Effekte Zufallseffekte Alle möglichen / interessierenden Stufen eines Faktors werden realisiert. Einige Stufen werden aus vielen möglichen Stufen ausgesucht. Keine Generalisierbarkeit auf nicht realisierte Stufen. Generalisierbarkeit ist gegeben. Die Summe der Effekte ist Null. Die Summe der Effekte muss nicht Null sein. H0: Alle Effekte sind Null bzw. Die Varianz der Effekte ist Null. αj = 0 (für alle j) od. σ²(α) = 0 H0: Die Varianz der Effekte ist Null. σ²(α) = 0

Der F-Test bei der 2-faktoriellen ANOVA mit Zufallseffekten

Der F-Test bei der 2-faktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“ Liegt ein Faktor mit festem Effekt und ein Faktor mit Zufallseffekt vor, spricht man von einer ANOVA mit gemischten Effekten. Wichtig: Es muss bei der Berechnung der F-Tests beachtet werden, welcher Faktor als Zufallsfaktor eingegeben wird. Die folgende Berechnung geht davon aus, dass Faktor B der Zufallsfaktor ist.

Der F-Test bei der 2-faktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“ fest  zufällig 

Prüfvarianzen der zweifaktoriellen ANOVA Faktor A Faktor B AxB A fest, B fest A zufällig, B zufällig

Zusammenfassung Definierte Anzahl von Stufen  „fester Faktor“ Beliebige Anzahl von Stufen  „Zufallsfaktor“ Die Art des Modells (feste Effekte, zufällige Effekte, gemischte Effekte) beeinflusst die Prüfvarianz im Nenner des F-Bruchs: Feste Effekte: MSwith Zufällige Effekte: MSAxB Gemischte Effekte: Für den festen Faktor MSAxB, für den zufälligen MSwith Herleitung: Leonhart, Kapitel 16

Messwiederholung einfaktoriell

ANOVA mit Messwiederholung Wichtige Anwendungsmöglichkeiten für Messwiederholung: Messwiederholung im engeren Sinn: Die selbe AV wird mehrfach erhoben ( Veränderungsmessung) Eine AV wird durch unterschiedliche Verfahren (z.B. Selbstbeobachtung und Fremdbeobachtung) erhoben ( Vergleich der Verfahren) Personen aus zwei (oder mehreren) Stichproben werden einander zugeordnet (“matching“) Welches Verfahren für Messwiederholung kennt ihr bereits? Den t-Test für abhängige Stichproben.

Einfaktorielle ANOVA mit Messwdh. Eine einfaktorielle ANOVA mit Messwiederholung kann als 2-faktorielle ANOVA mit gemischten Effekten betrachtet werden:  Faktor A: Messzeitpunkt (fester Effekt)  Faktor B: Versuchsperson (Zufallseffekt) Der Personenfaktor (B) erfasst Unterschiede zwischen den Versuchspersonen, der Messwiederholungsfaktor (A) Unterschiede zwischen den Messzeitpunkten. Unterschiede zwischen den Versuchspersonen sind irrelevant; es interessiert der Unterschied zwischen den einzelnen Messzeitpunkten.

Vorteile & Nachteile Sphärizitätsannahme (Zirkularitätsannahme): Varianzen und Kovarianzen unter den einzelnen Faktorstufen homogen Bei einer Verletzung: Greenhouse-Geisser-Korrektur. Sequenzeffekte: Reihenfolge der Testung hat Einfluss Bei fehlenden Daten zu einem Messzeitpunkt muss die Person komplett ausgeschlossen werden.  N sinkt Teststärker als nicht-messwiederholte ANOVA, da Fehlervarianz reduziert wird weniger Personen nötig durch wiederholte Messung bei denselben Personen

Quadratsummenzerlegung SStotal = SSbetween + SSwithin SStotal = SSbetween + SStreatment + SSerror Varianzanteile SSbetween: zwischen Personen zum selben Messzeitpunkt interessiert nicht  wird nicht für den F-Test verwendet SSwithin: innerhalb derselben Personen zu unterschiedlichen MZPs auf Treatment zurückzuführen  SStreatment Fehlervarianz  SSerror 21

Formeln

Rechenbeispiel Messzeitpunkt Pat-Nr. vor Th. nach Th. 6 Monate 1 23 10 13 2 27 16 3 25 9 12 4 24 8

Mittelwerte Messzeitpunkt Pat-Nr. vor Th. nach Th. 6 Monate 1 23 10 13 15,33 2 27 16 18,67 3 25 9 12 4 24 8 14,67 24,75 13,25 16,00

Meßwiederholte einfaktorielle ANOVA: Vorgehen Hypothesen Varianzzerlegung: Rand- und Gesamtmittelwerte bilden Quadratsummen berechnen Freiheitsgrade berechnen Mittlere Quadratsummen berechnen F-Bruch bilden Vergleich des emp. F-Werts mit krit. F-Wert 25

 p > .05, der Mauchly-Test ist also nicht signifikant  Demnach ist die Sphärizität (Zirkularität) ist also gegeben.

 Da die Sphärizitätsannahme nicht verletzt ist, kann die erste Zeile verwendet werden.  p < 0.05, d.h. Der Messzeitpunkt beeinflusst das Testergebnis.

Messwiederholung mehrfaktoriell

Messwiederholung 2-faktoriell Unvollständige Messwiederholung: Nur ein Faktor der ANOVA ist ein Messwiederholungsfaktor. Beispiel: Effekte von Verhaltenstherapie, Gesprächstherapie und Psychoanalyse nach einer Woche, einem Monat und einem Jahr. Vollständige Messwiederholung: Beide Faktoren sind Messwiederholungsfaktoren. Beispiel: Die Befindlichkeit von Schmerzpatienten wird im Verlauf einer Woche dreimal am Tag erhoben. Faktor 1 erfasst hier die Veränderung über den Tag hinweg, Faktor 2 den Einfluss des Wochentags.

Unvollständige Messwiederholung Woche Monat Jahr VT n 1 GT n 2 PA n 3

Vollständige Messwiederholung Morgen Mittag Abend Montag Ngesamt Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag Sonntag

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

Arbeitsblatt 4 Erläutern Sie kurz den Begriff „Zufallseffekt“. Welchen Vorteil kann es haben, einen Faktor als Zufallseffekt zu kodieren? Nennen sie ein Beispiel für eine entsprechende Fragestellung. Mit welchen mittleren Quadratsummen (MS) werden die drei F-Brüche in einer 2-faktoriellen ANOVA mit Zufallseffekten auf Faktor B und festen Effekten auf Faktor A gebildet?

Ergebnis Wenn ein Faktor (theoretisch) unendlich viele Abstufungen hat und für eine Untersuchung „zufällig“ einige davon ausgesucht werden, spricht man von Zufallseffekten. Wenn ein Faktor als Zufallsfaktor betrachtet wird, so ist eine Generalisierung der Ergebnisse auf andere (nicht untersuchte) Stufen möglich. ->

Arbeitsblatt 4 Welche Vor- und Nachteile hat eine ANOVA mit Messwiederholung? Sie berechnen eine ANOVA und stellen dabei fest, dass die Sphärizitätsannahme verletzt ist. Wie können Sie nun weiter vorgehen?

Ergebnisse 4. Vorteile: Es werden weniger Versuchspersonen benötigt, da dieselben Vpn mehrmals getestet werden. Höhere Teststärke (Power), da die Fehlervarianz verringert wird.  Die Varianz „zwischen“ Vpn ist eliminiert, da man die Vpn nur mit sich selbst vergleicht. Nachteile: Sphärizitätsannahme (Zirkularitätsannahme) Sequenzeffekte (Reihenfolge der Testung kann Einfluss haben) Fehlende Daten zu einem Messzeitpunkt führen dazu, dass eine Person komplett (zu allen Messzeitpunkten) ausgeschlossen werden muss. 5. Wenn eine Korrektur der Freiheitsgrade (nach Greenhouse-Geisser) erfolgt, darf der F-Test dennoch interpretiert werden.