Annahmestich- probenprüfung

Wird die Qualität eines Produktes überprüft, so geschieht dies in der Regel im Rahmen einer Annahme-, Zwischen- oder Abnahmeprüfung durch eine zufällige Stichprobennahme. Sie bietet gegenüber einer 100%-Prüfung folgende Vorteile: geringere Prüfkosten, weniger Bedienfehler, kürzere Prüfzeit, (dadurch liegt eher ein Ergebnis vor) weniger monotone Arbeit, (dadurch besser motiviertes Personal) zurückweisen fordert vom Lieferanten Qualitätssteigerung kontinuierliche Aufzeichnung dokumentiert Produktqualität Demgegenüber steht das Risiko, eine gute Lieferung zurückzuweisen bzw. eine schlechte Lieferung anzunehmen. Diese Risiken kann man mit statistischen Methoden im wesentlichen beherrschen.

Eine einfache Stichprobenkontrolle erfolgt nach folgendem Schema: Lieferant und Kunde einigen sich auf den Umfang n der Stichprobe und die Anzahl c fehlerhafter Einheiten, die sie enthalten darf. Man spricht dann von einer n-c Prüfanweisung. Die Lieferung wird nicht angenommen, wenn die Anzahl der fehlerhaften Teile der Stichprobe größer als c ist. Wie hoch ist nun die Annahmewahrscheinlichkeit ? Einfache Stichprobenkontrollen lassen sich durch Urnenmodelle beschreiben, die Wahrscheinlichkeit lässt sich daher mit der Binomial- bzw. der hypergeometrischen Verteilung berechnen. In der Praxis verwendet man, falls der Stichprobenumfang n weniger als 1/10 der Losgröße N beträgt, stets die Binomialverteilung mit p = M/N, wobei M die Anzahl fehlerhafter Teile ist. Beträgt also der tatsächliche Fehleranteil p, so ist die Annahmewahr-scheinlichkeit Die Funktion L(p) wird auch Annahmekennlinie oder Operationscharakteristik genannt.

Beispiel: Annahmekennlinie oder Operations-Charakteristik l(p) > 1- l(p) <  p1- p

ist das Lieferantenrisiko,  ist das Abnehmerrisiko, meist  =  = 0.1 p1- wird oft als AQL-Wert (Acceptable Quality Level = Annehmbare Qualitätsgrenzlage) bezeichnet. Dieser Begriff wird allerdings im Stichprobensystem der internationalen Norm ISO 2859 weiter gefasst. Dort geht man von verschiedenen Prüfniveaus aus (reduzierte, normale und verschärfte Prüfung) mit jeweils angepassten Prüfanweisungen. p heißt RQL (Rejectable Quality Level = Rückzuweisende Qualitätsgrenz-lage), p0,5 heißt IQL (Indifferent Quality Level = Indifferente Qualitätslage). Der Bereich zwischen p1- und p wird Bereich mittlerer Annahme-wahrscheinlichkeit genannt, er ist umso kleiner, d.h. die Operations-charakteristik verläuft umso steiler, je größer der Stichprobenumfang ist. Je steiler der OC-Verlauf, desto “wirksamer“ ist die Prüfanweisung.

Neben der OC wird auch der sogenannte Durchschlupf zur Bewerten von Prüfanweisungen herangezogen. Darunter versteht man den Rest-fehleranteil, der im Mittel (bezogen auf mehrere Prüflose mit gleichem Fehleranteil) unentdeckt bleibt. Das Vorgehen ist dabei folgendes, aus einer Lieferung von m Produkten werden m/N Prüflose vom Umfang N ausgewählt, die den gleichen Fehleranteil M/N haben. Die Lose werden einer n-c Prüfanweisung unter-zogen. Die Annahmewahrscheinlichkeit L(p) mit p = M/N führt bei L(p)*m/N Losen zur Annahme, bei (1– L(p))*m/N Prüflosen zur Ablehnung. Bei den angenommenen Prüflosen werden die fehlerhaften unter den n geprüften durch fehlerfreie ersetzt, so dass n*L(p)*m/N Produkte fehlerfrei sind. Werden die abgelehnten Lose einer 100%-Prüfung unterzogen, so sind nach entsprechendem Austausch auch diese fehlerfrei. Unter den restlichen verbleiben im statistischen Mittel p% fehlerhafte, also eine Restfehleranteil bzw. Durchschlupf von

Ist n sehr klein im Verhältnis zu N, so wird der Durchschlupf näherungs-weise zu p·L(p) . Er hängt damit von p ab und ist stets kleiner als p. Der Durchschlupf wird auch als AOQ (Average Outgoing Quality) bezeichnet. Er ist klein für sehr gute Lieferungen (kleines p) aber auch für sehr schlechte Lieferungen, (weil dann sehr viele Lose zurückgewiesen werden). Daher wird der AOQ mit wachsendem p zunächst steigen und dann wieder fallen. Das zwischenzeitlich erreichte Maximum heißt AOQL (Average Outgoing Quality Level) oder maximaler Durchschlupf. Dieser gibt also eine Obergrenze für den maximalen "mittleren" Restfehleranteil an. Beispiel: Zur 100-5 Prüfanweisung ergibt sich für großes N (z.B. N > 10000) folgendes Durchschlupfdiagramm: AOQL = 0.032 für pAOQL=4.2% AOQL Für textil- und bekleidungstechnische Probleme spielt der Durchschlupf nur eine untergeordnete Rolle, da häufig alle Stichproben zerstört sind.

Auswahl einer Prüfanweisung Lieferant: Die Annahmewahrscheinlichkeit soll hoch sein (mindestens 90% bei entsprechend kleinem Fehleranteil p1- im Prüflos). Abnehmer: Ab einem bestimmten Fehleranteil p darf die Annahmewahr- scheinlichkeit nicht größer als 10% sein. Die Prüfparameter n und c sind nun so zu bestimmen, dass beide Forderun-gen möglichst gut erfüllt werden. Eine rechnerische Bestimmung ist sehr aufwendig, man bestimmt die Größen entweder zeichnerisch (durch soge-nannte Larson – Nomogramme), Probieren oder mit Hilfe der 2-Verteilung. Für p1-= 2% etwa erhält man L(p) = 0.1 für n=5 und c=0 oder n=27 und c=1 sowie n=55 und c=2, n=88 und c=3 und n=122 mit c=4. Ist p = 8%, so sind n=98, c=4 und n=82,c=3 und n=65, c=2 und n=47 und c=1 sowie n=28 bei c=0. Die Einigung gelingt am besten bei c=3. Dann können beide mit n=82 gut leben. (Kleinster Prüfaufwand)

Für das Beispiel  =  = 0.1 und p1- = 2% sowie p = 8% ergibt sich: Für die n-c Prüfanweisungen gilt: Die Bedingungen L(p1-)  1- und L(p)   werden von mindestens einer Prüfanweisung erfüllt. Diese genügt der Bedingung: Für das Beispiel  =  = 0.1 und p1- = 2% sowie p = 8% ergibt sich: n=84, c=3. Diese Werte sind auch zutreffend, wenn der Operationscharakteristik die hypergeometrische oder die Poisson-Verteilung zugrunde gelegt wird. Im Falle der Poisson-Verteilung ist das kleinste n, dass der obigen Ungleichung (für das kleinstmögliche c) genügt, der minimal mögliche Wert.