Einführung in die Netzplantechnik Projektmanagement 4.Klasse HTL 2007/2008 Einführung in die Netzplantechnik Sebastian Hiller - Stefan Kugler – Erwin Rybin Seminar „Anwendungen der Mathematik für LAK“ von Prof. Dorninger, TU Wien

Inhalt Mathematische Grundlagen Projektarbeit Modelle der Netzplantechnik Lösungsverfahren Projektarbeit Recherche zu vorhandenen Programmen & zu Algorithmen Programmierung von Oberfläche & Lösungsalgorithmen Verbreitung & Vermarktung

Mathematische Grundlagen Modelle der Netzplantechnik Netzwerkmodelle Zeit & Terminplanung Kostenplanung Kapazitätsplanung  Lösungsverfahren

Netzwerkmodelle Ziele der Netzplantechnik: Projektplanung Projektsteuerung Projektüberwachung Ev. Projektoptimierung Ein Projekt setzt sich zusammen aus: Arbeitsvorgänge Anordnungsbeziehungen Ev. Kosten, Ressourcen

Netzwerkmodelle Beschreibung der Beziehungen durch „gerichtete Graphen“ Vorgangspfeilnetzplan Ereignisknotennetzplan Vorgangsknotennetzplan Entscheidungsnetzplan Experten-Rallye: Ausarbeitung und Wissensweitergabe der Arbeitsblätter NPT1a - NPT1d 4 Gruppen zu 5 Schülern, 2-3h

Zusammenfassung Experten-Rallye Netzwerkmodelle I Vorgangspfeilnetze Den Vorgängen werden Pfeile eines Graphen zugeordnet Anfangs- und Endpunkte stehen für alle möglichen Ereignisse im Projekt Festlegen von Beziehungen Vorgänger-Nachfolger Ende-Start / Start-Start / Ende-Ende / Start/Ende Ev. Scheinvorgänge (fiktiv)

Zusammenfassung Experten-Rallye Netzwerkmodelle II Ereignisknotennetzplan Schwerpunkt auf zeitbezogenen Ereignisse veranschaulicht keine Vorgänge sondern Meilensteine Z.B. Anfangs- oder Endzeitpunkte zeitlichen Abhängigkeiten der Ereignisse werden durch Pfeile berücksichtigt Voraussetzung für PERT nichtdeterministische Modellierung.

Zusammenfassung Experten-Rallye Netzwerkmodelle III Vorgangsknotennetzplan Ereignisse werden als (meist rechteckige) Vorgangsknoten dargestellt Wichtige Zeitangaben finden sich in den Knoten Logische Abhängigkeiten durch Verbindungspfeile Die Pfeile werden bewertet, z.B. durch Mindestabstände von Ereignissen

Zusammenfassung Experten-Rallye Netzwerkmodelle IV Entscheidungsnetzplan Anwendung bei Projekten, bei denen während der Ausführung zwischen mehreren Möglichkeiten entschieden werden kann Entscheidungsknoten im Netzplan Entscheidungsbäume sind die Wahrscheinlichkeiten für den Eintritt bekannt, können komplexe Wahrscheinlichkeiten für den Projektverlauf berechnet werden.

Zusammenfassung Experten-Rallye Netzwerkmodelle V Entscheidungsnetzplan Nachteile sehr komplexen Erstellung noch komplexere Berechnungsmethoden Vorteile: Berücksichtigung von Alternativen hohe Flexibilität konsistente Projektplanungen mit allen Abhängigkeiten hohe Transparenz.

Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle Projektablauf & Zeitvorgaben der Vorgänge festgelegt Gesucht sind: Kürzeste Gesamtprojektdauer Frühest- & spätestmögliche Anfangs- & Endzeitpunkte Pufferzeiten Kritische Vorgänge Methoden: CPM, MPM

Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle II Critical Path Method (CPM) Ausgangspunkt: Vorgangspfeilnetz Mit Ende-Start-Beziehung! Bewertung der Pfeile mit Zeitdauer Scheinvorgänge mit Dauer Null Z.B. bei Start-Start-Vorgängen Nachteil: keine zeitlichen Maximalabstände zwischen aufeinanderfolgenden Vorgängen Skizze auf Tafel!

Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle III Matra-Potential-Methode (MPM) Ausgangspunkt: Vorgangsknotennetz Basierend auf Start-Start-Beziehungen Die Verbindungen können Positiv & negativ bewertet werden Zyklen (Schleifen) enthalten Skizze auf Tafel! Übung: Skizziert die letzte Stunde erstellten Sprachreisenetze als CPM und MPM-Modell

Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle IV CPM: Vorgang zwischen Knoten i,j: FAZij : Frühester Anfangszeitpunkt eines Vorgangs Vij = FZi FEZij: Frühester Endzeitpunkt eines Vorgangs Vij = FAZij + Dij (Dauer Vij) SEZij: Spätester Endzeitpunkt eines Vorgangs Vij = SZj (unter Einhaltung des Projektendtermins) SAZij: Spätester Anfangszeitpunkt eines Vorgangs Vij = SEZij − Dij (unter Einhaltung des Projektendtermins)

Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle V MPM: Vorgang i: (warum?) Frühestmögliche Anfangszeitpunkte FAZi Frühestmögliche Endzeitpunkte FEZi =FAZi + Di Spätestmögliche Anfangszeitpunkte SAZi Spätestmögliche Endzeitpunkte SEZi =FAZi + Di

Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle VI Länge des längsten Weges von 1 nach i (Voraussetzung FAZ1x=0) CPM: FAZix MPM: FAZi Länge des längsten Weges von j nach n CPM: SAZxn - SAZxj MPM: SAZi - SAZi

Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle VII Pufferzeiten zeitlicher Spielraum für Vorgang kann durch Verschiebung und/oder durch Verlängerung der Vorgangsdauer genutzt werden Gesamtpuffer um wie viel sich der Vorgang verschieben lässt ohne das Projektende zu gefährden CPM: GPij = SAZij − FAZi - Dij MPM = SAZj − FAZi

Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle VIII Freier Puffer Zeit, die den frühest möglichen Beginn bzw. Ende des Nachfolgers nicht gefährdet. Freier Rückwärtspuffer maximale Zeitspanne, um die der Vorgang ausgehend von seinem frühest möglichen Anfangszeitpunkt verschoben werden kann Unabhängiger Puffer maximale Zeitspanne, die der Vorgang verschoben werden darf, wenn alle vorhergehenden Vorgänge zum spätestmöglichen Termin enden

Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle IX Kritischer Vorgang: Wenn der Gesamtpuffer eines Vorganges Null ist heißt der Vorgang kritisch Der Vorgang kann daher nicht verschoben werden ohne das Projektende zu verschieben! Kritischer Pfad Verkettung der Vorgänge, bei deren zeitlicher Änderung sich der Endtermin verschiebt Er wird in einem Netzplan durch die Kette von Vorgängen bestimmt, welche in der Summe die längste Dauer aufweist.

Zeit & Terminplanung: Nicht-Deterministische Modelle I Projektablauf steht fest, die Dauer der Vorgänge nicht genau! Planung durch PERT Program Evaluation and Review Technique Ereignisknotennetz Fertigstellungszeitpunkte 3 Schätzwerte für jeden Pfeil Optimistische Zeitdauer (OD) Realistische (wahrscheinlichste) Dauer (RD) Pessimistische Zeitdauer (PD)

Zeit & Terminplanung: Nicht-Deterministische Modelle II Erwartungswert MD = (OD + 4*RD + PD)/6 Ergibt sich aus Annahme die Zeiten seien ß-verteilt Varianz VD = (PD-OD) 2 / 36 Danach wie bei CPM (MD statt D) vorgehen Weglängen: Summe der Erwartungs-werte MD bzw. der Varianzen VD

Zeit & Terminplanung: Nicht-Deterministische Modelle III Annahme bei PERT: FAZ, FEZ, SAZ, SEZ sind normalverteilt mit den Erwartungswerten und den Varianzen Errechnen von Wahrscheinlichkeiten für Terminüber- & Unterschreitungen Mathematisch nur korrekt, falls zentraler Grenzverteilungssatz erfüllt (selten!) PERT daher nur als Abschätzung verwendbar Erweiterung: GERT Bei Entscheidungsnetzplänen

Kostenplanung I CPM-Netzplan mit variablen Vorgangsdauern Dij Jeder Vorgang (i,j) hat eine (konvexe) Kostenfunktion Kij Kij = Kij (Dij) Definitionsbereich: [Mind ij ,NDij ] Mindestdauer : Mind ij Normalvorgangsdauer: NDij Kij = - bij Dij + cij (bij ,cij >=0)

Kostenplanung II Direkte Projektkosten Indirekte Projektkosten Summe aller Vorgangskosten Indirekte Projektkosten Für gesamte Projektdauer, z.B. Verwaltungskosten oder Pönale Kostenplanung: Minimale direkte Kosten bei vorgegebener Projektzeit Minimale Projektdauer bei vorgegebenen Projektkosten

Kostenplanung III Lineares Optimierungsmodell Sowohl bei Optimierung bei vorgegebener Laufzeit als auch bei vorgegebenen Kosten Mit jeweiligen Nebenbedingungen Lösbar durch bekannte Techniken und Algorithmen Übung: Kostenzuweisung an den bestehenden Netzplan, intuitives Suchen des Optimums

Kapazitätsplanung I Ressourcen stehen nur beschränkt zur Verfügung Gleichmäßige (bzw. optimale) Verteilung auf die Vorgänge Minimierung der Kosten bzw. der Projektdauer Ist NICHT eine einfache Summierung der notwendigen Ressourcen bei bestehender optimaler Zeitplanung! (warum?)

Kapazitätsplanung II CPM-Netzplan Diskrete Zeitachse (z.B. Stunden, Tage) Ressourcenkapazität / Zeiteinheit Ressourcenbedarf pro Vorgang pro Zeiteinheit Gesucht sind die neuen Anfangszeitpunkte der Vorgänge zur Minimierung der Projektkosten

Kapazitätsplanung III Suche Optimum Kosten der Ressourcenaufteilung Direkten Projektkosten Ev. zusätzlich notwendigen Ressourcen Nicht mathematisch lösbar (i.A.), Lösung durch heuristische Lösungsalgorithmen Siehe ev. Projektphase III

Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung I Hintergrundmathematik: Graphentheorie Knotenmenge V Kantenmenge E Kantenbewertung b: E R Knoten 1 bzw. n: Quelle bzw. Senke Gesucht sind die Wege von 1 nach i (bzw. von i nach n) mit größter Länge

Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung II Lösungsalgorithmen für MPM Verfahren von FORD Tripel-Algorithmus von Floyd/Warshall Lösungsalgorithmen für CPM Dijkstra Algorithmus Bellman Algorithmus Die ersten 3 Algorithmen werden in Projektphase II gesucht und angewandt

Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung III Bellman Algorithmus Knotensortierung des Graphen G: Die Knotenmenge V={1,2,…n} wird so umsortiert, dass nur Pfeile (i,j) vorkommen mit i<j Streiche in G die Quelle (Nr.1) und alle Pfeile, die davon ausgehen G2 G2 hat mindestens eine Quelle. Diese bekommt die Nummer 2, dann werden wieder alle davon ausgehenden Pfeile gestrichen  G3 Fortsetzung des Algorithmus bis zu „n“

Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung IV Bellman Algorithmus Iterative Berechnung des längsten Weges (= kürzestmögliche Projektdauer bei CPM!) von 1 nach n di : Länge des längsten Weges von 1 nach i Pi : Menge aller Knoten v von G mit Pfeil (v,i) Dann gilt: di : = max (dv + Dvi ) Maximum aller v von Pi Die Menge aller v bei denen das Maximum angenommen wird sei dann Mi

Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung V Bellman Algorithmus Iterative Berechnung des längsten Weges von i nach n zur Berechnung der spätesten Zeitpunkte SZi dj: Länge des längsten Weges von j nach n Si : Menge aller Knoten w von G mit Pfeil (j,w) Dann gilt: dj : = max (dw + Djw ) Maximum aller w von Si Die Menge aller w bei denen das Maximum angenommen wird sei dann Mj

Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung VI Durch zweimalige Anwendung der Bellman-Algorithmus Zuerst beginnend bei der Quelle (erster Vorgang) in Richtung des letzten Vorganges dann beginnend bei der Senke (letzter Vorgang) in Richtung des ersten Vorgangs können die frühesten & spätesten Eintrittszeitpunkte errechnet werden

Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung VII Beispiel an der Tafel Ordnen der Knoten Berechnung der längsten Wege aller Pfeile in beginnend von 1 Berechnung der längsten Wege aller Pfeile, beginnend von n Berechnung von FAZ, FEZ, SAZ, SEZ für jeden Pfeil Eintrag der Werte in eine Tabelle Darstellung als GANTT-Chart

Lösungsverfahren: Kostenplanung Verfahren von Kelly Lösung für parametrische & nichtparametrische lineare Optimierungsprobleme Für bestimmte Werte kann der Simplexalgorithmus eingesetzt werden Phase II: Suchen und Programmieren der entsprechenden Algorithmen

Lösungsverfahren: Kapazitätsplanung Rückführungsmöglichkeit auf binäre Optimierungsaufgabe Definition von Variablen xij,t : xij,t = 1 falls (i,j) zwischen t-1 und t ausgeführt wird, ansonsten =0 Umschreiben aller Parameter, Nebenbedingungen und Zielfunktionen auf die xij,t : Recherche und Lösungsversuche in ev. Phase III

Projektphase II: Projektarbeit 2.1 Recherche & Anwendung bestehender Programme 2.2 Recherche & Entwicklung von Algorithmen 2.3 Entwicklung von Text- & grafischen Benutzeroberflächen 2.4 Verwaltung, Berichtswesen & Marketing

Recherche & Anwendung Bestehender Programme 2.1.1 Anwendung von bekannten professionellen Programmen Die in der mathematischen Einführung kennengelernten Techniken sollen nun in einigen, Euch bereits bekannten Programmen zur Unterstützung in Projektmanagement entdeckt werden. Dabei kann sowohl MS Project als auch entsprechende Share- oder Freeware eingesetzt werden. Teilnehmer: Klasse

Recherche & Anwendung Bestehender Programme 2.1.2 Recherche zusätzlicher Programme zum Themenkreis Internetrecherche zu kommerziellen und Freewareprogrammen zum Themenkreis Netzwerktechnik, Erstellen einer Nutzwertanalyse der einzelnen Programme mit einem SWAT-Profil. Teilnehmer: Marketingtalente

Recherche & Entwicklung Von Algorithmen 2.2.1 Recherche von Algorithmen zu Bellman etc., Internetrecherche zu den nicht im theoretischen Teil behandelten Algorithmen Diese sollen erhoben, die einzelnen Referenzen miteinander verglichen und verständlich aufbereitet werden. Teilnehmer: Mathematiktalente

Recherche & Entwicklung Von Algorithmen 2.2.2 Entwicklung von Algorithmen zu Bellman etc. Programmtechnische Umsetzung gefundener Informationen eigenständige Ausarbeitung von „missing links“ große, wenn möglich interdisziplinärer Unterstützung durch die Lehrerschaft Teilnehmer: Mathematiktalente

Entwicklung Von Text- & Grafischen Oberflächen 2.3.1 Entwicklung einer tabellarischen Eingabe (Datenbankverknüpfung) Entwicklung einer einfachen, textzentrierten Eingabe Datenbankanbindung Grundlage für die Tests der gefundenen Algorithmen zu bekommen. Teilnehmer: EDV-Talente

Entwicklung Von Text- & Grafischen Oberflächen 2.3.2 Entwicklung einer grafischen Benutzeroberfläche Kernmodule für ein eigenständiges Programm grafische Eingabe- und Analyseoberfläche Teilnehmer: EDV-Talente

Verwaltung, Berichtswesen & Marketing 2.4.1 Erstellung eines Marketingkonzeptes Entwicklung einer Marketingkampagne Prospekterstellung Internetpräsenz Aufbau einer Usergruppe Presseaussendungen Guerillamarketing Suche nach Vermarktungsmöglichkeiten Teilnehmer: Marketingtalente

Optionale Phase III Ausbau der Entwicklungen zu einem modular aufgebauten, vermarktbaren Produkt Teilnehmer: talentierte Mathematik-, EDV- und Marketingexperten Dauer: ½ bis 1 ½ Jahre Massive Lehrerunterstützung