Spiegelungen Punkt an Gerade Punkt an Ebene Gerade an Ebene klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Beschreibung von Verfahren In den Pflichtteilen wird zuweilen gefordert, irgendeine Art von Verfahren zu beschreiben. Beliebt sind hierbei u.a. die verschiedenen Verfahren bei den Spiegelungen. Wir beschreiben diese Verfahren nun verbal ohne konkrete Berechnungen.

Spiegelung Punkt an Gerade Voraussetzung: Der zu spiegelnde Punkt 𝐴 darf nicht selbst auf der Geraden liegen! Test: 𝐴 in die Geradengleichung für 𝑔 einsetzen. Falls sich ein Widerspruch ergibt, liegt 𝐴 nicht auf 𝑔 und kann gespiegelt werden.

Spiegelung Punkt an Gerade Das Verfahren: Bilde eine Hilfsebene 𝐻 die 𝐴 enthält und senkrecht zu 𝑔 steht. Für 𝐻 verwende z.B. die Koordinaten- form 𝐻:𝑎 𝑥 1 +𝑏 𝑥 2 +𝑐 𝑥 3 =𝑑. Der Richtungsvektor von 𝑔 ist dabei der Normalenvektor von 𝐻. Einsetzen des Stützvektors von 𝑔 in 𝐻 liefert 𝑑. Bestimme den Schnittpunkt 𝐹 von 𝐻 mit 𝑔. Mit Hilfe des Vektors 𝐴𝐹 erhalten Sie den Spiegelpunkt 𝐴′. Formal: 𝑎 ′ = 𝑂𝐴 ′ = 𝑂𝐴 +2 𝐴𝐹 .

Spiegelung Punkt an Ebene Voraussetzung: Der zu spiegelnde Punkt 𝐴 darf nicht auf der Ebene 𝐸 liegen. Verfahren: Bestimme die Gerade 𝑔 durch den Punkt 𝐴 und senkrecht zu 𝐸. Verwende 𝑎 als Stützvektor und den Normalenvektor 𝑛 der Ebene als Richtungsvektor von 𝑔. Ermittle den Schnittpunkt 𝑆 von 𝑔 mit 𝐸. Die Koordinaten des Spiegelpunkts 𝐴′ ergibt sich aus 𝑎 ′ = 𝑂𝐴 ′= 𝑂𝐴 +2 𝐴𝑆 . 𝐴 𝐴′ 𝐸 𝑆

Spiegelung Gerade an Ebene Fall 1: Die Gerade 𝑔 liegt komplett in 𝐸. In dem Fall gibt es nichts zu spiegeln. Sie können dies feststellen, indem Sie zwei verschiedene Punkte, z.B. den Stützvektor von 𝑔 und einen beliebigen anderen Punkt in 𝐸 einsetzen. Falls in beiden Fällen die Ebenengleichung erfüllt ist, liegt 𝑔 vollständig in 𝐸. Fall 2: 𝑔 geht senkrecht durch 𝐸. Auch hier gibt es nichts zu spiegeln. Ob 𝑔 senkrecht zu 𝐸 steht, erkennen Sie daran, dass der Richtungsvektor 𝑢 von 𝑔 und der Normalenvektor 𝑛 von 𝐸 linear abhängig sind, d.h. dass 𝑢 =𝑘⋅ 𝑛 für ein 𝑘ℝ gilt.

Spiegelung Gerade an Ebene Fall 3: 𝑔 ist parallel zu 𝐸. Mit dem vorher beschriebenen Ver-fahren spiegeln Sie einfach zwei beliebige Punkte 𝐴 und 𝐵 von 𝑔 an 𝐸 und erhalten die Spiegelpunkte 𝐴′ und 𝐵′. Mit diesen beiden Punkten stellen Sie nun die Geradengleichung auf und erhalten somit die Spiegelgerade. Fall 4: 𝑔 schneidet 𝐸 (aber nicht senkrecht). Bestimme den Schnittpunkt 𝑆 von 𝑔 mit 𝐸. Mit dem oben be- schriebenen Verfahren spiegeln Sie einen beliebigen Punkt 𝐴 von 𝑔, z.B. den Stützvektor, an 𝐸 und erhalten den Spiegelpunkt 𝐴'. Aufstellen der Geradengleichung durch 𝑆 und 𝐴′ liefert dann die Spiegelgerade.