Exponential- funktionen 3NK Katharina und Jelena 2/22/2019

Begriff Eine Exponentialfunktion liegt vor, wenn der Exponent einer Potenz als Variable betrachtet wird. eignen sich dazu, Wachstums- oder Zerfallsprozesse zu beschreiben, für die sich die betrachtete Größe in gleich langen Zeitintervallen um den gleichen Faktor ändert. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt Logarithmusfunktion ihr Zweck besteht darin, aus der Kenntnis einer Potenz und ihrer Basis den Exponenten zu gewinnen. 3NK 2/22/2019

Allgemeine Gleichung N(t) = N0 * a^t N(t) = Menge nach der Zeit N0 = Anfangsmenge a = Wachstums oder Zerfallsfaktor t = meistens die Zeit N(t) = N0 * a^t 3NK 2/22/2019

Beispiel: Angabe Vor 3 Jahren betrug der Holzbestand eines Waldes 5600 m³. Heute hat dieser Wald 7200 m³. Berechne unter der Annahme, dass das Holzwachstum ein exponentieller Vorgang ist a) das jährliche prozentuelle Wachstum, b) den Holzbestand in 5 Jahren (von heute aus gesehen), c) zeichne die Wachstumsfunktion. 3NK 2/22/2019

Beispiel: Lösung N(t) = 7200 | N0 = 5600 | t = 3 | a = ? N(t) = 5600 * 1,087^t 3NK 2/22/2019

Beispiel: Lösung a) 8,73 % jährliches Wachstum b) N0 = 7200 | t = 5 | a = 1,0873... N(5) = 7200 * 1,087^5 N(5) = 10945 m³ Holzbestand c) 3NK 2/22/2019

Logarithmusfunktionen Zu jeder Exponentialfunktion gibt es eine Umkehrfunktion – die Logarithmusfunktion Beispiele: f(x)=10x Exponentialfunktion f(x)=log10x Logarithmusfunktion 3NK 2/22/2019

Die Eulersche Zahl Wachstum/ Zerfall: N(t)= N0*at λ = Lambda  N(t)= N0*eλ t a= e λ λ>0  Wachstum λ <0  Zerfall 3NK 2/22/2019

Beispiel Gegeben: radioaktiver Stoff – Zerfall pro Minute 35 % Gesucht: Zerfallsfunktion N0= 100 % t= 1 Minuten N(1)= 65 % N(t)= N0*at 65= 100*a1  a= 0,65 a= e λ 0,65=e λ ln 0,65 = λ*lne  lne= 1 -0,4308= λ Zerfallsfunktion: N(t)= 100*e(-0,4308*t) 3NK 2/22/2019

Beispiel Gegeben: radioaktiver Stoff – Zerfall pro Minute 35 % Gesucht: Wie viel % des Stoffes sind nach 5 Minuten noch vorhanden? N(5)= 100*e(-0,4308*5)  11,60% 3NK 2/22/2019

Mache die Dinge so einfach wie möglich - aber nicht einfacher. Albert Einstein 3NK 2/22/2019