Berechnung des Fixverktors bei stochastischen Matrizen www.matheportal.wordpress.com
Beispiel Drei große Mobilfunkanbieter teilen sich den gesamten Markt in einem Land. Der Anteil der Handybesitzer, die bei der Firma Alpha (A) einen Vertrag haben, liegt bei x%, der Anteil der Firma Beta (B) bei y% und der von Gamma (C) liegt bei z%. Das Veränderungsverhalten der Verbraucher am Ende eines Jahres zeigt die folgende Tabelle: Wie müssen die Anfangsanteile aussehen, damit die Verteilung stabil bleibt? 0,2 0,4 0,32 0,15 0,5 0,11 0,65 0,1 0,57 ∙ 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑥 𝑦 𝑧 0,2∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧 0,15∙𝑥+0,5∙𝑦+0,11∙𝑧 0,65∙𝑥+0,1∙𝑦+0,57∙𝑧 = 𝑥 𝑦 𝑧 0,2∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=𝑥 0,15∙𝑥+0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=𝑦 0,65∙𝑥+0,1∙𝑦+0,57∙𝑧=𝑧 𝑥+𝑦+𝑧=1
Lösung des linearen Gleichungssystems: 0,2∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=𝑥 0,15∙𝑥+0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=𝑦 𝑥+𝑦+𝑧=1 −x −y III −0,8∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=0 0,15∙𝑥−0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=0 𝑥+𝑦+𝑧=1 ∙50 ∙40 ∙20 −40∙𝑥+20∙𝑦+16∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 20𝑥+20∙𝑦+20∙𝑧=20 I+II II II+III −34𝑥+20,4∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 26∙𝑥+24,4∙𝑧=20 ∙26 II ∙34 −884𝑥+530,4∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 884∙𝑥+829,6∙𝑧=680 I+III II III 1360∙𝑧=680 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 884∙𝑥+1224∙𝑧=680 𝑥=0,3 𝑦=0,2 𝑧=0,5 Wenn der Anteil der Firma Alpha (A) bei 30%, der Anteil der Firma Beta (B) bei 20% und der von Gamma (C) bei 50% liegt, dann ist die Verteilung stationär.