Logik in der Informatik II Michael Schenke | Logik in der Informatik 15/11/18 | Seite 1

Inhalt Prädikatenlogik Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik Der logische Folgerungsbegriff Der Prädikatenkalkül Normalformen Syllogismen

Aussagen bekommen Struktur Prädikatenlogik Aussagen bekommen Struktur

II. Prädikatenlogik Zwei Aspekte der PL: Erweiterung der Aussagenlogik Hinzu kommen Individuen, Individuenvariablen Funktionen Relationen Quantoren (, ) Es entfallen: Aussagenvariablen (AVar) Präzisierung der Aussagenlogik Darstellung von Aussagen durch Strukturierung

II.1 Syntax der Prädikatenlogik Logische Bestandteile: Junktoren wie in der Aussagenlogik, Quantoren (, ). Nicht logische Bestandteile: Variablen (Individuenvariablen), Var = Menge der Variablen, Signaturen.

II.1 Syntax der Prädikatenlogik Definition (Signatur): Eine Signatur ist ein Paar S=(Funk, Präd) mit: Funk und Präd haben leeren Schnitt und sind Mengen von Paaren aus einem Symbol und einem Element von ℕ0. Die Symbole in Funk heißen Funktionssymbole, die in Präd heißen Prädikatssymbole und die Elemente von ℕ0 heißen die Stelligkeit des Symbols.

II.1 Syntax der Prädikatenlogik Beispiel: Die Zahlentheorie basiert auf der Signatur (Funk, Präd) mit Funk = { + 2 , ∗ 2 , 0 0 , 1 0 }  Stelligkeit Präd = { = 2 , < 2 }

II.1 Syntax der Prädikatenlogik Definition (Sprache): Sei S eine Signatur. Die Sprache LS der Prädikatenlogik zu S ist LS = TermS  FormS. Es gelte: Sei X  Var  X  TermS Seien t1, …, tk  TermS, 𝑓 𝑘  Funk  f(t1,… tk)  TermS Seien t1, …, tk  TermS, 𝑝 𝑘  Präd  p(t1,… kk)  FormS (atomare Formeln) Seien F1, F2  FormS  F1  F2, F1  F2, F1  F2, F1  F2,  F1 sind Elemente von FormS Seien X  Var, F  FormS  X F,  X F  FormS

II.1 Syntax der Prädikatenlogik Beispiel 1  r  ℝ  n  ℕ: r  n Die Ausdrücke  ℝ und  ℕ erfordern noch eine mengentheoretische Begründung. Beispiel 2 (mit der Signatur der Zahlentheorie) x, +(x,y)  x+y (Infixnotation) Konstanten sind 0-stellige Funktionen: 1 0  Funk, abgekürzt 1  1()

II.1 Syntax der Prädikatenlogik Beispiel 2 (Fortsetzung) weitere Def.: 2=1+1, 3=2+1, … syntaktisch korrekte Formeln: x: 2=2 x: 2=1+2 (aber semantisch falsch) syntaktisch nicht korrekte Formeln: 1 + 1 = 1  2 (Junktoren dürfen nur zwischen Formeln stehen.) 0: 2=2 (Null ist keine Variable.)

II.2 Semantik der Prädikatenlogik Definition Eine Struktur zu einer Signatur (Funk,Präd) ist ein Paar (D,I) mit D ist eine Menge (Definitionsbereich, Individuenbereich, Universum), I ist eine Interpretation, also eine Zuordnung von Funktionen und Relationen zu Funktions- und Prädikatssymbolen, jeweils in der richtigen Stelligkeit.

II.2 Semantik der Prädikatenlogik Festlegung des Datenbereiches D Zuordnung I: f  Funk mit 𝑓 𝑛 wird zugeordnet I(f):Dn  D p  Präd mit 𝑝 𝑛 wird zugeordnet I(p):Dn  𝔹 Belegungen sind Zuordnungen  :Var  D (Werte sind anders als in AL!)  -> Boolsche Werte

II.2 Semantik der Prädikatenlogik Beispiel (Zahlentheorie) D=ℤ + 2 ⤳ I(+): ℤ x ℤ  ℤ ∗ 2 ⤳ I(*): ℤ x ℤ  ℤ = 2 ⤳ I(=): ℤ x ℤ  𝔹 < 2 ⤳ I(): ℤ x ℤ  𝔹 0 0 ⤳ I(0):  ℤ (Definition von 0 als ganzer Zahl) 1 0 ⤳ I(1):  ℤ (Definition von 1 als ganzer Zahl)

II.2 Semantik der Prädikatenlogik Definition der Semantik: Terme: M(x)() = (x) M(f(t1,…,tn))() = I(f)(M(t1)(),…,M(tn)()) Formeln: M(p(t1,…,tn))()= I(p)(M(t1)(),…,M(tn)()) M(FG)() = M(F)()  M(G)(), entspr. für die anderen Junktoren M( x F)() =1 F.a. d D: F{ 𝑥 𝑑 }()=1 M( x F)() =1 Ex. d D: F{ 𝑥 𝑑 }()=1

II.2 Semantik der Prädikatenlogik Satz:  x F   x F  x F   x F  x (FG)   x F   x G  x (FG)   x F   x G  x  y F   y  x F  x  y F   y  x F  x F  F („implizite Allquantifizierung“)

II.2 Semantik der Prädikatenlogik Definition: Die Erfüllungsmenge einer Formel F ist (F) = { | M(F)()=1} Satz: (FG) = (F)  (G) (FG) = (F)  (G) (F) =  \ (F)

II.3 Der logische Folgerungsbegriff Definition: Seien P Formelmenge, F Formel. P ╞ F  F.a. Modelle M gilt M╞ P  M╞ F. F ist eine allgemeingültige Formel  ╞ F auch abgekürzt durch ╞ F F heißt erfüllbar  ╞ F gilt nicht G╞ F  {G}╞ F Satz: G  F  G╞ F und F╞ G G╞ F  (G)  (F)

II.4 Der Prädikatenkalkül Der Gödelsche PK ist vollständig und korrekt. Er besteht aus sechs Axiomen(-schemata) Tautologie-Axiomenschema ⱵPK F, falls F Instanz einer aussagenlogischen Tautologie ist. z.B.: (x>y)   (x>y)

II.4 Der Prädikatenkalkül - Axiomenschema ⱵPK x: F → F{X/t} z.B.: x: x0 → 1+1 0 ⱵPK F{X/t} →  x:F 1+1 0 → x: x0

II.4 Kalkül Der Prädikatenkalkül Modus Ponens Aus ⱵPK F und ⱵPK FG folgt ⱵPK G Kritische Generalisierung Aus ⱵPK FG folgt ⱵPK FX:G, falls X in F nicht frei vorkommt.

II.4 Der Prädikatenkalkül Kritische Partikularisierung Aus ⱵPK FG folgt ⱵPK X FG, falls X in G nicht frei vorkommt.

II.5 Prädikatenlogische Normalform Pränex–Normalform Für jede PL Formel F existieren PL Formel G, Variablen Vi und Quantoren Q1, …, Qn, so daß gilt F  Q1 V1, Q2 V2,…Qn Vn G, so daß und G bereinigt ist und keine Quantoren enthält. x: x  27  x: x2 ursprüngliches Format x: x  27  y: y2 bereinigt x y: (x  27  y  2) Pränex-Normalform x: x  27  x2 ist nicht zulässig bzw. falsch Weiterführend: http://www.mi.fh-wiesbaden.de/~barth/hsrm/ki/vorl/pdfs/KI4_4in1.pdf

II.5 Prädikatenlogische Normalform Skolemisierung Entferne den am weitesten links stehenden Existenzquantor ∃x Ersetze in der Formel die Variable x durch den Term f(y1, ..., yn) wobei „f“ ein neues Funktionssymbol ist und y1, ... , yn alle Variablen der Allquantoren links des entfernten Existenzquantors sind Das Ergebnis ist in Skolem Normalform. Die neuen Funktionen heißen Skolemfunktionen Beispiel: In r n: r<n wird der Quantor mit Hilfe der Skolemfunktion größerals(r) ersetzt. r: r<n {n / größerals(r)} = r: r< größerals(r) http://www.mi.fh-wiesbaden.de/~barth/hsrm/ki/vorl/pdfs/KI4_4in1.pdf

II.5 Prädikatenlogische Normalform Idee der Skolemisierung: Eine Formel ist genau dann erfüllbar, wenn ihre skolemisierte Form erfüllbar ist. Der Zeuge der Existenz des Objekts in einem Universum kann nur davon abhängen welche Objekte den Variablen in den Allquantoren links des entsprechenden Existenzquantors vorher zugewiesen wurde. Die Soklemfunktion „berechnet“ eines dieser Objekte. Ziel der Skolemisierung: Soll (wie in PROLOG) eine Lösung für eine Formel F gefunden werden, so braucht man nur die skolemisierte Form von F zu betrachten, man kann also alle Existenzquantoren ignorieren. Wegen der impliziten Allquantifizierung können in PROLOG auch alle Allquantoren beseitigt werden. Dann wird wie in AL gearbeitet. http://www.mi.fh-wiesbaden.de/~barth/hsrm/ki/vorl/pdfs/KI4_4in1.pdf

II.5 Prädikatenlogische Normalform Nun wird die KNF benutzt, allgemeine Form: (p11  p12  …  p1m1  q11  q12   q1n1)  (p21  p22  …  p2m2  q21  q22   q2n2)  ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ (pk1  pk2  …  pkmk  qk1  qk2   qknk) In der Logik-Programmierung werden aber nur „Klauseln“ verwendet. Das sind Disjunkte, bei denen mi=1 gilt (ni kann beliebig sein). Aus (pi1  qi1  qi2  …   qin) wird durch logische Umformung qi1  …  qin  pi1

II.6 Syllogismen Alle Menschen sind sterblich. Aristoteles ist ein Mensch. 𝐴𝑙𝑠𝑜 𝑖𝑠𝑡 𝐴𝑟𝑖𝑠𝑡𝑜𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑡𝑒𝑟𝑏𝑙𝑖𝑐ℎ. 𝐸𝑠 𝑔𝑖𝑏𝑡 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑛. 𝑁𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑀𝑒𝑛𝑠𝑐ℎ𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑑 𝑘𝑒𝑖𝑛𝑒 𝐻𝑎𝑙𝑢𝑛𝑘𝑒𝑛 𝐸𝑠 𝑔𝑖𝑏𝑡 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑛, 𝑑𝑖𝑒 𝑘𝑒𝑖𝑛𝑒 𝐻𝑎𝑙𝑢𝑛𝑘𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑑.

II.6 Syllogismen Relationen zwischen Prädikaten (nach Aristoteles) P a Q  (P)  (Q)  x: P  Q P e Q  (P)  (Q) =   x: P  Q P i Q  (P)  (Q)    x (P  Q) P o Q  (P) (Q)  x (P   Q) Allgemeine Form von Syllogismen M x O // M:Mittelbegriff //x,y,z für a,e,i,o M y U // O:Oberbegriff O z U // U:Unterbegriff

II.6 Syllogismen Da eine Vertauschung von O und U nichts Neues bringt, hat man folgende Möglichkeiten für einen syllogistischen Schluß: In den Prämissen können Vor – und Nachbereich vertauscht werden An den mit x,y,z bezeichneten Stellen können unabhängig von einander die Werte a,e,i,o eingesetzt werden. Damit gibt es 2 * 2 * 4 * 4 * 4 = 256 syntaktisch korrekte Syllogismen.

II.6 Syllogismen Beispiel 𝐸𝑠 𝑔𝑖𝑏𝑡 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑛. 𝑁𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑀𝑒𝑛𝑠𝑐ℎ𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑑 𝑘𝑒𝑖𝑛𝑒 𝐻𝑎𝑙𝑢𝑛𝑘𝑒𝑛 𝐸𝑠 𝑔𝑖𝑏𝑡 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑛, 𝑑𝑖𝑒 𝑘𝑒𝑖𝑛𝑒 𝐻𝑎𝑙𝑢𝑛𝑘𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑑.