Aufgabenstellung Aufgabenstellung: What do the following terms (formulae) express? Which of these terms characterize all sequences of real numbers , x_n.

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1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung: What do the following terms (formulae) express? Which of these terms characterize all sequences of real numbers , x_n [n], that approximate some "limit" x : xn-->x? Give examples and counter examples. Sketch pictures.

2 Inhalt Konvergenz für Folgen : Schwierigkeiten First Order Logic
Jede Menge Beispiele. Alternative Darstellung von Quantoren

3 Konvergenz von Folgen: Schwierigkeiten

4 Konvergenz von Folgen Eine mögliche Definition :
Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt : mit

5 Konvergenz für Folgen Eine mögliche Definition : Schwierigkeiten :
Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt : mit Schwierigkeiten : Was bedeutet ? Wofür steht ? Was passiert, wenn man die Reihenfolge von , vertauscht? Was bedeutet die Definition als ganzes?

6 Konvergenz für Folgen Eine mögliche Definition: Ansatz:
Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt : mit Ansatz: Die Definitionen basiert auf First-Order Logic. Erklären von Grundkenntnisse in F.O. Logic, um Fehler zu vermeiden. Simple Umformungen einführen, um von F.O. Logic Termen einfachere Termen zu machen Mit Abbildungen zeigen, was die Formeln denn eigentlich bedeuten

7 First-Order Logic

8 Semantik Prädikate: Quantoren: Beispiel :
Ausdrücke die zu richtig oder falsch auswerten. 0, 1 oder mehrere Argumente Quantoren: Allquantor : für alle a‘s aus P gilt das Predikat t. Existenzquantor : es gibt mindestens ein a aus P für dem das Predikat t gilt. Beispiel : Es exisitiert ein Freund von mir der Paul kennt

9 Einfache First-Order Umformung
Negation eines First-Order Ausdruck : Allquantoren werden zu Existenzquantoren, und umgekehrt Das Predikat t wird negiert Beispiel : aus wird Allquantor in Existenzquantor umwandeln:

10 Jede Menge Beispiele

11 Übersicht über die Definitionen

12 Der Ausdruck ist wahr für die Folgen für die gilt:
Definition 1 : Der Ausdruck ist wahr für die Folgen für die gilt: Für einen Wert x und einer beliebig kleine Distanz ab ein bestimmtes sind die Folgenglieder beliebig nah von x Die ist die richtige Definition

13 Der Ausdruck ist wahr für:
Definition 2 : Der Ausdruck ist wahr für: Die Folgen die sich ab ein bestimmten beliebig nah von einen Punkt x befinden. Unterscheidet sich von 1 nur in der Reihenfolge der Quantoren für N und epsilon. Wichtige Konsequenz: Es gibt ein N, für das es immer gelten muss. Analogie zum Computer-Beispiel

14 Der Ausdruck ist wahr für… :
Definition 3 : Der Ausdruck ist wahr für… : Die Folgen die für kein Punkt x konvergieren Unterschied hier: Allquantor für x , Ausdruck negiert

15 Definition 3, nochmal : Tipp : Umformung :
Umformung des Ausdrucks kann das Verständnis erleichtern ! Negation sind oft leichter am Anfang eines Ausdrucks zu lesen. Umformung : Ist falsch für die Folgen die sich ab ein bestimmtes beliebig nah an einen Punkt x befinden -> Gegenteil von Definition 1 Nun sieht man leicht: Es ist die Negation von Ausdruck 1. Also alle Folgen, die nicht konvergieren.

16 Der Ausdruck ist wahr für… :
Definition 4 : Der Ausdruck ist wahr für… : Die Folgen die nicht beliebig nah von einen Punkt x kommen ab ein bestimmtes N Nicht alle x sind unendlich nah beieinander -> die Grundmenge von X hat mehr als ein Element.

17 Der Ausdruck ist wahr für… :
Definition 5 : Der Ausdruck ist wahr für… : Die Folgen die ab einem bestimmten Punkt beliebig nah an allen x ist. Beispiel: Die Folge, dessen Wertebereich eine Ein-Elementige Menge ist, und bei der alle n’s auf dieses eine Element abgebildet werden Es gibt kein Beispiel solcher Folgen dessen Wertebereich in ist - 5: x ist allquantifiziert. "Die Menge der Folgen, deren Werte sich ab einem bestimmten n nicht mehr als alle Epsilon von x unterscheiden"

18 Der Ausdruck ist wahr für… :
Definition 6 : Der Ausdruck ist wahr für… : Die Folgen bei der kleiner sind als ein beliebig großes Beispiel: Das ist für jede Folge wahr! - Definition 6 macht nur eine Aussage über x_0, da für alle N ungleich 0 ein n kleiner N existiert, der Ausdruck also immer wahr gemacht werden kann. Sie besagt also: Für alle x gibt es eine gewisse Distanz epsilon, unter der x-x_0 liegt. Eine Tautologie.

19 Der Ausdruck ist wahr für… :
Definition 7 : Der Ausdruck ist wahr für… : Die Folgen bei der maximal einer bestimmten Distanz von alle x’s aus der Grundmenge entfernt ist. Beispiel: Eine Folge, dessen Grundmenge beschränkt ist. Def 7: Macht aus demselben Grund nur eine Aussage über x_0 und zwar: x_0 ist maximal eine bestimmte Distanz epsilon von allen x entfernt. D.h. die Grundmenge von x ist beschränkt.

20 Der Ausdruck ist wahr für… :
Definition 8 : Der Ausdruck ist wahr für… : ab n größer N gibt es für alle ein x, das beliebig nah dran ist (trivial wahr mit =x) Hinweis: Was bei 8 und 9 falsch ist: Existenzquantor von x und Allquantor von n in der Reihenfolge vertauscht Es existiert ein x, das alle n einschränkt gibt es für n sein eigenes x Vergleich zum Computer

21 Der Ausdruck ist wahr für… :
Definition 9 : Der Ausdruck ist wahr für… : Die Folgen bei denen für alle n gilt: es gibt ein x so dass x an beliebig nah dran ist Wahr für alle Folgen mit x = Def 9: für alle n gilt: ex gibt ein x so dass x an x_n beliebig nah dran ist (trivial wahr mit x_n=x) Hinweis: Was bei 8 und 9 falsch ist: Existenzquantor von x und Allquantor von n in der Reihenfolge vertauscht Es existiert ein x, das alle n einschränkt gibt es für n sein eigenes x Vergleich zum Computer

22 Alternative Representation von Existenzquantoren

23 Alternative Repräsentation:
Die Reihenfolge der Quantoren spielt eine Rolle (beim Existenzquantor) Um das zu verdeutlichen werden in manche Mathebücher diese Notation benutzt : Statt : wird geschrieben Damit lässt es sich vermeiden, dass man die Reihenfolge der Quantoren vertauscht.

24 Ende