Franka Miriam Brückler Osijek, 1.6.2006. Matematika i nogomet Franka Miriam Brückler Osijek, 1.6.2006.
Je li nogomet glup sport? dobra nogometna momčad ne podrazumijeva samo fizičke kvalitete, nego i ljudske kvalitete (suradnju) i inteligenciju (pitanja taktike i strategije) nogomet je zapravo igra osvajanja terena jedan od najpopularnijih sportova za razliku od mnogih drugih manje popularnih sportova (npr. golfa), znanstvena pozadina je slabo istražena
Može li nogomet koristiti matematici? čest problem: zainteresirati djecu za matematičke zadatke aritmetika: brojanje, zbrajanje i oduzimanje (broja 1 ), uspoređivanje brojeva po veličini, račun s postocima geometrijski elementi nogometnog terena i lopte vjerojatnost i statistika, teorija odlučivanja, matematička fizika
Elementarna matematika nogometa 2 momčadi s po 11 igrača 1 lopta promjera 22cm (službeno pravilo: “kuglastog oblika, iz kože ili drugog pogodnog materijala, opsega najmanje 68 i najviše 70 centimetara, na početku utakmice mase najmanje 410 i najviše 450 grama te tlaka između 0,6 i 1,1 atmosfere” (misli se na višak tlaka u odnosu na okolinu) pravokutni teren dimenzije: razlozi praktične i matematičko-fizičke prirode
Gustoća igrača na terenu po N igrača bez golmana znači: po jedinici površine ima ih n=N/P0,0014 prosječna udaljenost do protivnika je onda prosječno vrijeme potrebno da protivnik dotrči je
Geometrija nogometne lopte kugla ili poliedar? 12 pravilnih 5-erokuta, 20 pravilnih 6-erokuta Buckminsterfulleren izvorni materijal: kravlji ili svinjski mjehur obložen kožom koji se napuhao kroz jednu rupu koja bi se na kraju zašila; unutrašnjost je zamijenjena gumenim mjehurom, a kožna vanjština zadržala se do 1960ih; no, koža upija vodu... 1980ih se prelazi na sintetske materijale i višeslojnu ovojnicu; klasični dijelovi iz kojih se šiva vanjština čine krnji ikozaedar
Tlak i skakutanje lopte kad se lopta odbije od terena lopta se nakratko deformira promotrimo elastičan vertikalni pad ... rezultirajuća sila: F=pA (p = višak tlaka u lopti u odnosu na okolinu, a on po pravilima iznosi prosječno 0,86 bara tj. 0,86105 Nm-2, A = površina dodira) u praksi je deformacija premala da bi imala utjecaj na unutrašnji tlak
Newton i nogomet kad se lopta odbije od zemlje, s ovisi o brzini njenog težišta (dakle, približno središta) stoga s možemo odrediti iz drugog Newtonovog zakona tj. diferencijalne jednadžbe (minus jer je ovdje brzina jednaka minus derivaciji puta, O je opseg lopte, a t=0 je trenutak kad lopta dodirne teren) slijedi da lopta napušta teren (s=0) u nakon vremena zanimljivo: trajanje dodira sa terenom (ako lopta pada vertikalno) ovisi samo o svojstvima lopte koja su zadana pravilima (t8,4 ms)!
Nije sve savršeno elastično dolazi do gubitka kinetičke energije (na odbijanje od podloge, ali i na savijanje vlati trave kod nogometa dolazi do većeg gubitka energije nego npr. kod sportova na tvrdoj podlozi) koeficijent elastičnosti e je omjer brzine poslije i prije odbijanja od podloge; na kratko šišanoj travi on iznosi oko 0,6 kako računamo maksimalnu visinu na koju će odskočiti lopta?
A još se k tome i vrti... čak i ako nogometaš svojim udarcem nije dodao vrtnju lopti, ona se u pravilu nakon odbijanja počinje vrtiti – zašto? Zato što ne pada vertikalno, a postoji trenje! t je zakretni moment, I je moment tromosti (konstantan za tijela s fiksnom raspodjelom mase), a w je kutna brzina
Odbijanje s klizanjem horizontalna i vertikalna brzina: u,v kutna brzina: koeficijent trenja pri klizanju: prije sudara: indeks 0, poslije sudara: indeks 1
Odbijanje s kotrljanjem grubo tlo, mali upadni kut trenje nakratko zaustavi loptu kotrljanje uz uvjet
Leti, leti... lopta u v ako nema otpora zraka ni vjetra kosi hitac putanja je parabola, a jednadžbe gibanja su ako ima otpora zraka (iznos sile otpora: FZ), bez vjetra ako ima i vjetra brzine (wx,0,wz),gdje je z-smjer okomit na ravninu putanje bez vjetra:
rješenja prethodnih diferencijalnih jednadžbi x z y u(t) rješenja prethodnih diferencijalnih jednadžbi (rješive numerički, ne i analitički) – iznosi komponenti brzine u ovisnosti o vremenu w(t) v(t)
odstupanje u stranu na kraju leta:
Kako uloviti loptu? uvjet da “plavi” protivnik presiječe put lopti koju je uputio “crveni” je očito y/ux/v, gdje je u brzina “plavog”, a v brzina lopte kosinusov poučak ako gledamo samo najkreće vrijeme potrebno plavom imamo kvadratnu jednadžbu nužan uvjet dobivamo zahtjevom da diskriminanta bude nenegativna: ako prema lopti trči još i crveni suigrač (po pravcu kojim se kreće lopta) možemo promatrati koji je uvjet da on stigne do lopte prije plavog
suigrač ako želi spriječiti presjecanje puta lopte mora do neke točke, koja je prvom igraču bliža od najbliže A na kojoj protivnik presijeca put lopti, doći u vremenu koje ne premašuje ono potrebno protivniku da dođe do A (x=ona udaljenost koja daje protivniku najraniju mogućnost presijecanja) (D=početni razmak između oba crvena, w=brzina crvenog suigrača)
mogućnost presretanja pri kutevima od 30 (plavo) i 15 (sivo), brzini protivnika 4m/s, brzini lopte 9m/s i početnoj udaljenosti 10m
promatranjem prethodnih utakmica. utvrdili smo da jedna momčad daje u promatranjem prethodnih utakmica utvrdili smo da jedna momčad daje u prosjeku r1, a druga r2 golova na sat uzmimo da prednost domaćeg terena neznatno utječe na ratu golova neka je r1>r2 pa označimo s R=r1:r2 vjerojatnost da će prva momčad dati idući gol je p=R/(R+1), a da će ga dati druga je 1-p=1/(R-1) ako je dosad palo n golova, vj. da ih je sve dala prva momčad je pn, a da ih je sve dala druga je (1-p)n vjerojatnost da je prva dala k od n golova Tko će dati gol?
Vjerojatnost n golova u vremenu t ako je momčad dosad postizala u prosjeku r golova na sat, onda je vjerojatnost da će ta momčad u vremenu t [h] dati n golova jednaka
Vjerojatnost rezultata n:m recimo da jača momčad daje jedan gol na sat (r1=1), a slabija 1 gol po utakmici (r2=0,67) Rezultat Vjerojatnost 1:0 12,3% 3:0 4,6% 0:1 8,2% 2:1 9,2% 2:0 1:2 6,2% 1:1 0:3 1,4% 0:2 4,1% 0:0
Koja je vjerojatnost davanja prvog gola u ostatku utakmice? vjerojatnost da momčad s prosječnom ratom od r1 golova na sat u trenutku t još nije dala gol je p0=e-rt stoga je vjerojatnost da u tom vremenu nijedna momčad nije dala gol jednaka p00=e-(r1+r2)t vjerojatnost da prva momčad dade gol u vremenu dt je r1dt, dakle je vjerojatnost da ako još nije pao gol ta momčad u preostalom vremenu dade gol jednaka vjerojatnost raste s vremenom!
Teorem: Nogomet je najzanimljiviji sport. recimo da se susreću dvije momčadi od kojih za bolju kažemo da je bolja po tome što je u zadnjih godinu dana dala dvostruko više golova od slabije ako u utakmici padne samo 1 gol, vjerojatnost da je pobijedila slabija momčad je 33,33%; u slučaju da padnu 3 gola, vjerojatnost pobjede slabijeg (rezultati 3:0 ili 2:1 za njih) je (1/3)3+3(2/3)(1/3)2=25,92%, u slučaju 5 golova vjerojatnost pobjede slabijeg je 20,99% itd. u slučaju 2 gola slabiji pobjeđuje s vjerojatnosti (1/3)2=11,11%; u slučaju 4 gola slabiji pobjeđuje s vjerojatnosti (1/3)4+4(2/3)(1/3)3=11,11%, u slučaju 6 golova ta je vjerojatnost 10%, ...
vjerojatnosti da dvaput slabiji tim nije izgubio ako je u utakmici palo n golova: http://www.rogerkaufmann.ch/dsaWC06_r.htm
Raspon bodova u tablici raspon bodova u konačnoj tablici nekog prvenstva ovisi djelomično o slučajnosti, a djelomično o snazi momčadi u ligi standardna devijacija: hipotetska liga s momčadima jednake snage prosječno 11/8 bodova svake momčadi po utakmici te se dobiva ako N=38 (liga s 20 momčadi) dobije se standardna devijacija od otprilike 8,1 bodova realno: veća (niža i šira krivulja funkcije gustoće)
Literatura A. Beutelspacher In Mathe war ich immer schlecht, Vieweg, 2000. P. Maidment Do The Math: Soccer More Exciting Than Football, http://www.forbes.com/2006/01/04/soccer-football-baseball-cx_pm_0104soccer.html J. Richter Erste Bundesliga mathematisch, http://www.zahlensalat.de/_bl.htm L. E. Sadovskiĭ, A. L. Sadovskiĭ Mathematics and Sports, AMS, 1993. J. Wesson Fußball – Wissenschaft mit Kick, Elsevier, 2006. D. Zeillinger Wie wählt man eine Fußballmanschaft? Spektrum der Wissenschaft Online http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/index.php?action=rubrik_detail&artikel_id=6991 The Math & Physics of Soccer, http://www.oceansiderevolution.com/EINSTEIN.HTM Fachhochschule Stuttgart, Hochschule für Technik: World Mathematical Year – Ideen und Anregungen zur Umsetzung an Schulen, Stuttgart, 1999. The Official Soccer Site for Officials, Referees, Players, and Fans – Laws of the Game, http://www.drblank.com/slaws.htm Dynamische Sport-Analyse (DSA) http://www.rogerkaufmann.ch/dsa.htm