Povijest matematike Doba renesanse

Präsentation zum Thema: "Povijest matematike Doba renesanse"—  Präsentation transkript:

1 Povijest matematike Doba renesanse
F. M. Brückler Ak.God. 2008/09

2 Razvoj matematičke notacije
U renesansi se počinje sustavno razvijati matematička notacija Kao oznake za nepoznanicu i njen kvadrat vrlo su raširene latinske riječi res i census U doba renesanse uvode se oznake +, −, =, <, >, √

3 Njemačka renesansa Johan Müller (Regiomontanus), 15. st. – trigonometrija; res-census terminologija Johannes Widman, 15. st. – prvo korištenje znakova + i − Michael Stifel, 16. st. – koristi znakove + i − te √ (Arithmetica integra, 1544.), za 24:8 pište 8)24, ima i oznake za potencije

4

5 Christoff Rudolff, 16. st. – prva njemačka knjiga o algebri (1525
Christoff Rudolff, 16. st. – prva njemačka knjiga o algebri (1525. Die Coss  kosisti), oznake za treći i četvrti korijen: Adam Riese, 16. st. – aritmetički udžbenik “za svakog”

6 Engleska renesansa Robert Recorde, 16. st. – znak =
Thomas Harriot, st. – znakovi < i >; sferna trigonometrija i kartografija; uočio da ako su a,b,c rješenja kubne jednadžbe, možemo ju zapisati u obliku (x-a)(x-b)(x-c)=0

7 Francuska renesansa Nicolas Chuquet, 15.st. – prva francuska knjiga o algebri (1484.), potencije s pozitivnim i negativnim koeficijenitima (i nulom), npr. 123 odgovara današnjem 12x3 François Viète ( ) – predlaže korištenje suglasnika za konstante, a samoglasnika za nepoznanice Koristi +, −, razlomačku crtu

8 Talijanska renesansa Fra Luca Pacioli ( ) Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita: res-census terminologija, p. za +, m. za −, R. za √ 6.p.R m.R.90 108.m.R.3240.p.R.3240.m.R.90 hoc est 78. (6 + √10) (18 - √ 90) = (108 - √ √ √900) što je 78. (Broj 90 je zapravo štamparska greška: treba biti 900 ali je margina bila preuska pa je odbačena zadnja nula)

9 Rafael Bombelli ( )

10 Renesansna algebra Rješenje jednadžbe u radikalima je opis (formula) rješenje opisana preko četiri osnovne računske operacije i korijena (konačno mnogo operacija!) Mogu li se jednadžbe stupnja 3 riješiti u radikalima? A što je s jednadžbama stupnja 4?

11 y3 + Ay2 + By + C = 0 y =x − A/3  x3 + px = q
Fra Luca Pacioli u Summa-i: diskusija jednadžbi 4. stupnja: x4 = a + bx2 se može riješiti preko kvadratne jednadžbe, a x4 + ax2 = b i x4 + a = bx2 se ne mogu riješiti pri trenutnom stanju znanosti matematičari renesanse znaju da je dovoljno znati riješiti kubnu jednadžbu bez kvadratnog člana: y3 + Ay2 + By + C = 0 y =x − A/3  x3 + px = q

12 nepoznati neg. brojevi  više tipova kubnih jednadžbi:
x3 + px = q x3 = px + q x3 + q = px Scipione del Ferro ( ) – ca rješava reduciranu jednadžbu prvog tipa, postupak drži tajnim poslije njegove smrti to rješenje imaju (bar) njegov zet Hannibal Nave te student kojem je del Ferro pred smrt otkrio metodu (Antonio Fior, osrednji matematičar, hvali se poznavanjem rješenja)

13 Niccolo Fontana Tartaglia (1499-1557)
samouk matematičar, kad su Francuzi osvojili Brescia-u usred općeg pokolja dobija udarac sabljom u čeljust koja mu je rasječena i ostavljen je kao mrtav, zahvaljujući majčinoj brizi preživljava, no ostaje mu nakaznost i teškoće u govoru zbog kojih dobiva nadimak Tartaglia = mucavac

14 Tartaglia rješava jednadžbu tipa x3 + px2 = q i ne taji svoje otkriće
Fior ga izaziva na natjecanje (1535): svaki zadaje 30 zadataka, rok 50 dana, pobjednik je tko riješi više Tartaglia je očekivao da će svi Fiorovi zadaci biti istog tipa; razvija vlastitu, u biti del Ferrovu, metodu za ostale tipove i pobjeđuje (u 2 sata riješio sve Fiorove probleme)

15 Girolamo Cardano 1501.-1576. Liječnik iz Pavia-e
Buran renesansni život Cardano saznaje za natjecanje i postojanje rješenja kubne jednadžbe, želi saznati Tartaglia-inu metodu i poziva ga u Milano uspijeva ga nagovoriti, uz zakletvu da metodu neće odati

16 Rješenje kubne jednadžbe
Kad su kub i stvari* skupa Jednaki nekom diskretnom broju Nađi druga dva broja Koji se za taj razlikuju Tad ćeš to zadržati kao naviku Da im je produkt uvijek jednak Točno kubu treće od stvari Ostatak tad kao opće pravilo Od njihovih oduzetih kubnih korijena Bit će jednak tvojoj osnovnoj stvari Rješenje kubne jednadžbe * cosa = stvar (sinonim za nepoznanicu u doba renesanse); algebraičari = kosisti cosa i kub = jednadžba x3 + ax = b (a, b > 0)

17 Cardano i student mu Ferrari razvijaju metodu do kraja, a saznaju i da Tartaglia nije prvi koji je otkrio rješenje  1545 Cardano objavljuje Ars magna u kojoj je rješenje jednadžbi 3. i 4. stupnja (uz isticanje otkrića del Ferra i Tartagliae) Tartaglia 1546 objavljuje svoju verziju priče, napada Cardana, za čiju obranu je zadužen Ferrari, koji ga izaziva na natjecanje (u Milanu 1548) – Tartaglia napušta natjecanje

18 x3 = 3px + 2q  pretpostavimo da je rješenje oblika x=u+v
Metoda: x3 = 3px + 2q  pretpostavimo da je rješenje oblika x=u+v

19

20 Pojava kompleksnih brojeva
Cardano – rješavanje prethodne jednadžbe Rafael Bombelli daje prva pravila za rad s kompleksnim brojevima Jednostavno je pretpostavio da postoje brojevi oblika a+√b i primijenio uobičajena pravila

21

22 x4 + 2px2 + p2 = px2 - qx + p2 - r (x2 + p)2 = px2 - qx + p2 - r
Lodovico Ferrari ( ) Riješio je jednadžbu 4. stupnja svođenjem na jednadžbe 2. i 3. stupnja: za slučaj jednadžbe bez kubnog člana, iz x4 + px2 + qx + r = 0 svodimo na potpun kvadrat: x4 + 2px2 + p2 = px2 - qx + p2 - r (x2 + p)2 = px2 - qx + p2 - r E, sad: za svaki y je (x2 + p + y)2 = px2 - qx + p2 - r + 2y(x2 + p) + y2 = (p + 2y)x2 - qx + (p2 - r + 2py + y2) (*)

23 Desna strana je kvadratna u x i možemo odabrati y tako da bude potpun kvadrat (tj. diskriminanta bude 0 – taj uvjet daje kubnu jednadžbu za y: -8y3-20py2+(8r-16p2)y+q2-4p3+4pr=0). Riješimo tu kubnu jednadžbu- za dobiveni y je desna strana u (*) potpun kvadrat, pa korjenujemo i dobijemo kvadratnu jednadžbu za x: x2+p+y=kv.korijen desne strane.

24 François Viète (1540-1603) Quod est, nullum non problema solvere
François Viète ( ) Quod est, nullum non problema solvere. – Nema problema koji se ne može riješiti. dao prvu jednadžbu stupnja n s n rješenja Arhimedovom metodom, upisivanjem erokuta izračunao je π na 9 decimala dao, koliko je poznato, najstariji prikaz broja π kao beskonačnog produkta Viètove formule vidi: Osječka matematička škola, 2 (2002), br.2

25 Viète – pravnik i hobi-matematičar, savjetnik kraljeva Henrika III i IV
1590 dešifrirao španjolski kod 1593 belgijski matematičar Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus, ) zadaje zadatak s jednadž-bom stupnja 45; nizozemski ambasa-dor u Francuskoj izjavljuje da Francus-ka nema dovoljno dobrih matematičara da riješe van Roomenov problem  kralj Henrik IV ga daje Vièteu, koji ga rješava uočivši u njegovoj pozadini trigonometrijsku relaciju

26 Otkriće logaritama

27 Zašto uvesti logaritme?
lakše je zbrajati nego množiti  korisno je moći svesti množenje dva broja na zbrajanje dva broja ideja: napraviti tablice koje brojevima koje treba množiti pridružuju brojeve koje ćemo umjesto toga zbrojiti, a onda iz iste tablice vidimo koji produkt polaznih brojeva odgovara dobivenom zbroju dva izvora otkrića logaritama: izrada trigonometrijskih tablica za korištenje u navigaciji; kamatni račun

28 1593. dva danska matematičara predlažu korištenje trig
1593. dva danska matematičara predlažu korištenje trig. tablica za olakšanje računa pomoću formule sin(A)cos(B) = (1/2)sin(A+B) + (1/2)sin(A-B) npr. za · , u tablicama nađemo = sin(10), = cos(8) te iz formule slijedi · =sin(10)cos(8) = (sin(18) + sin(2))/2 = /tablice/ = ( )/2 =

29 Tko je izmislio logaritme?
John Napier (Neper, ) škotski aristokrat, fanatični protestant, glavni interes mu je teologija i održava-nje svojih imanja, a matematika je hobi najpoznatiji, ali ne i jedini matematički rezultat: tablica logaritama Joost Bürgi ( ) najpoznatiji švicarski urar svog doba, konstruirao više znanstvenih instrumenata radio je i na carskom dvoru u Pragu, gdje je Keplera uveo u algebru, a vj. ga je Kepler uvjerio da zapiše svoju konstrukciju logaritama

30 Napierova konstrukcija logaritama
Mirifici logarithmorum canonis descriptio ideja: parovi nizova (uz fiksnu bazu: aritmetički niz eksponenata i pripadni geometrijski niz potencija): zbroj/razlika eksponenata odgovaraju produktima/kvocijentima potencija prvo je svoje eksponente zvao “umjetni brojevi”, kasnije je smislio složenicu od “logos” i “arithmos”

31 NapLog je padajući i nema baš svojstva koja danas očekujemo od logaritma

32 Promatramo paralelno gibanje dvije točke A i B.
Točka A se giba konstantnom brzinom (107)  njene pozicije u jednakim vremenskim intervalima čine aritmetički niz. Točka B giba se od 0 do 107 na paralelnom pravcu tako da joj brzina pada i brzine u uzastopnim intervalima čine geometrijski niz (brzina u svakom trenutku je po iznosu jednaka putu koji još treba preći). Udaljenost koju je točka A prešla do n-tog trenutka Napier zove logaritmom od udaljenosti koju B još treba preći u tom trenutku.

33 Briggsov doprinos Henry Briggs ( ) – prof. geometrije u Oxfordu, oduševljen Napierovim tablicama, putuje u Edinburgh da posjeti Napiera i diskutira o logaritmima već prije posjeta je u pismu predložio izradu tablice onog što bismo danas zvali dekadskim logaritmom i počeo ju konstruirati (dakle, predlaže log(1) = 0, log(10) = 1) Briggs kreće od uvjeta log(10) = 1 i konsturira nove pomoću korijena (logaritam drugog korijena broja je pola njegova logaritma); Arithmetica Logarithmica – sadrži tablicu log. od brojeva od 1 do i do na po 14 decimala Briggs uvodi pojmove mantise i karakteristike broja (mantisa je najveće cijelo brojeva dekadskog logaritma, a mantisa je decimalni dio)

34 A što je napravio Bürgi? tablicu prirodnih logaritama objavljenu 1620.
promatra (de facto) eksponencijalnu funkciju s bazom 1,0001 i promjene potencije koje uzrokuju promjenu eksponenta za 1 tablica N, N, L za L=0,1,2,... vidi se da zbroju L-ova odgovara produkt N-ova finija razdioba L-ova (npr. gledamo L/104)  nova tablica (de facto samo izmjena baze na (1+0,0001)10000) – ponavljanje postupka dovodi do toga da je baza sve bliža broju e

35 geometrijski: ako je N=1, L i L=0,0001 onda se prirasti L mogu prikazati kao pravokutnici širine N i visine 1/N gdje se za svaki N njegov prirast N bira tako da je površina pravokutnika L; Tada je L suma tih prirasta od 1 do N – što je aproksimativno ln N! N

36 Primjene matematike u fizici i astronomiji

37 Nikola Kopernik ( ) od ca razvija koncept heliocentričnog sustava (nije prvi kojem je to palo na pamet ) prvi koji kretanjem Zemlje objašnjava prividno retrograd-no kretanje planeta De revolutionibus orbium coelestium (1543) – pregled pripadne matematičke teorije naizgled lošije od Ptolomeja: Kopernik pretpostavlja kružne orbite  mjerenja naizgled bolje odgovaraju Ptolomejevom nego njegovom koceptu

38 Rheticus, mladi prof. matematike u Wittenbergu, je pomogao izdavanje iako je Rheticus protestant, Kopernik katolik, a sukobi u to doba na vrhuncu; Rheticus je manuskript na tiskanje odnio u Nürnberg, ali je brigu o tisku prepustio luteranskom teologu A. Osianderu koji je već imao iskustva s tiskanjem matematičkih tekstova Osiander je umjesto originalnog Kopernikova predgovora umetnuo pismo čitateljima u kojima kaže da rezultati navedeni u knjizi nisu zamišljeni kao istina, nego kao jednostavniji način računanja pozicija nebeskih tijela; također je malo izmijenio naslov tako da manje izgleda kao tvrdnja o stvarnom svijetu

39 Galileo Galilei ( ) obrazovan kao medicinar, bavio se astronomijom, fizikom (njihalo, kohezija, slobodni pad) i matematikom (prije svega kao argument u svojim fizikalnim i astronomskim radovima), ali i glazbom i slikanjem 1609. izradio vlastiti teleskop i pomoću njega otkrio kratere na Mjesecu, Sunčeve pjege, četiri najveća Jupiterova mjeseca, i faze Venere (koje dokazuju kopernikanski stav: moguće su samo ako je Venera uvijek bliža Suncu nego je to Zemlja).

40 predložio Galilejsku relativnost: svuda vrijede iste definicije gibanja  Galilejeve transformacije (točne za male brzine, za velike ih se mora zamijeniti Lorenzovim) 1632. Dijalog od dva glavna sustava svijeta – zamišljeno kao rasprava između kopernikanskog i ptolomejskog sustava, ismijava argumente Crkve  pada u nemilost, prisiljen odreći se kopernikanskih stavova i stavljen je u kućni pritvor; u kućnom pritvoru napisao je raspravu o novim znanostima, matematički vrlo rigoroznu (1638, Discorsi e dimonstrationi matematiche)

41

42 Johannes Kepler ( ) 1596. Mysterium cosmographicum – prvi kozmološki model, mistički pitagorejski pogledi na svemir uvjereni pristaša kopernikanske teorije uspijeva postati asistent Tycha Brahea, danskog astronoma poznatog po kvalitetnim astronomskim tablicama – analizira ih nakon Braheove smrti iz računa zaključuje da su planetarne orbite elipse Keplerov prvi kozmološki model (1596)

43 Astronomia Nova (1609 – tri Keplerova zakona kretanja planeta
planeti se kreću po elipsama u čijem jednom fokusu je Sunce radij-vektor planeta u jednakim vremenskim razmacima prelazi jednake površine kvadrat perioda planeta je proporcionalan duljini glavne poluosi orbite (Harmonices mundi , 1619) Keplerova eliptička orbita za Mars

44 Simon Stevin ( ) Belgijanac, vanbračno dijete, majka se kasnije vjenčala u kalvinističku obitelj radio razne činovničke poslove, tek s 35 godina upisao sveučilište (Leiden) važni doprinosi u trigonometriji, mehanici, arhitekturi i utvrđivanju, glazbi, zemljopisu i navigaciji 1585 La Theinde (Desetina), knjižica s 29 strana o decimalnim razlomcima (koje su prije njega koristili Arapi i Kinezi, ali ih on uvodi u Evropu); komentira da je opće uvođenje decimalnih mjernih jedinica samo pitanje vremena

45 1586 De Beghinselen der Weegconst: teorem o trokutu sila (poticaj razvoja statike); treatise De Beghinselen des Waterwichts: hidrostatika – razvoj Arhimedovih ideja; tlak tekućine na plohu ovisi o visini tekućine i površini plohe. 1586 (3 godine prije Galilea): različite mase danu visinu padaju jednako dugo (eksperiment bacanjem dvije olovne kugle s crkvenog tornja u Delftu) 1608 De Hemelloop: astronomija – zagovornik Kopernika piše i o perspektivi (čak za slučaj da platno nije okomito na tlo i o inverznoj perspektivi: gdje treba biti oko promatrača ako znamo gdje je objekt i kakva mu je slika)

46 Primjena matematike u likovnoj umjetnosti u doba renesanse
Zlatni rez kao idealni omjer Pravila linearne perspektive

47 De divina proportione, (1509) – Luca Pacioli
Luca Paciooli kako ga je prikazao Jacopo de Barbari, 1495

48 ilustracije:da Vinci tema: zlatni rez, poliedri ...

49 Pravila linearne perspektive
Pravila linearne perspektive F. Brunelleschi – ca ponovno otkriva pravilo jedinstvene izbježne točke paralelnih pravaca koji ne leže u ravnini slike, izračunavanje veličine slike objekta

50 L. Alberti – De Pictura (1445.): prvo cjelovito djelo o pravilima perspektive 
P. Della Francesca – više matematičkih djela o perspektivi, s vlastitim teoremima (De prospectiva pingendi) P. Della Francesca: Bičevanje Krista

51 Albrecht Dürer ( ) iz Nürnberga, treće od 18 djece Mađara (Ajtos  Türer  Dürer), otac mu je bio draguljar već s 13 godina se ističe kao slikar, od 1486 radi kao šegrt u radionici za oltare, 1494 se ženi bogatom nasljednicom put u Italiju : iako nije upoznao nikog od većih matematičara, a niti Leonarda, saznao je o Pacioliju i važnosti matematike za umjetnost  počinje proučavati matematička djela (EE idr.)

52 od ca. 1500 pokazuje matematički utjecaj u svojim djelima, u to doba postaje i slavan
nakon smrti oca Dürer se mora brinuti za invalidnu i gotovo slijepu majku, otvara svoju tiskaru i usput prodaje svoja djela na sajmovima  težak život koji mu uništava zdravlje opet u Italiji, sad kao slavni slikar, a zanima ga učenje matematike od skuplja materijale za djelo o primjeni matematike u umjetnosti, postavio osnove nacrtne geometrije 1514. Melankolija – prvi magični kvadrat u Evropi 1525. Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit  matematika za umjetnike; tu se nalaze i Dürerove krivulje, konstrukcije pravilnih poligona, ...

53 Melankolija (1514.)

54

55 Serija drvoreza “Život djevice” (ima ih još...)