Reguläre Vielecke

Welches dieser Sechsecke könnte besondere Eigenschaften besitzen? Einführung_Sechseck.gxt

Definition Ein n – Eck heißt regelmäßig oder regulär wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

Achtung: Im Allgemeinen (n>3) genügt es nicht, dass nur eine Bedingung erfüllt ist. Bsp: Raute, Rechteck

Wir wollen nun ein reguläres Fünfeck betrachten. 5eck_Bestimmungsdreieck.gxt

2.Bestimmungsdreicke Jedes regelmäßiges n-Eck besteht aus n- kongruenten gleichschenkligen Dreiecke. Ein solches Dreieck heißt Bestimmungsdreieck. Je zwei Bestimmungs-dreieck sind kongruent wegen SSS. Die Strecken ME, MA und MB besitzen die Länge r. Außerdem ist AE und AB gleichlang. Dies ist der Fall da das 5-Eck regulär ist.

3. Winkel im regulären Vieleck Vorlage 5Eck. Konstruiert solche Dreiecke und findet eine Formel mit der sich der Innenwinkel alpha und der Mittelpunktswinkel berechnen lässt.

Winkel im Vieleck Formel selbstherausfinden

Man kann jedes reguläre n-Eck zeichnen, indem den Mittelpunktswinkel und die Basiswinkel berechnet. Wir wollen aber die Vieleck konstruieren und nicht mit Hilfe von Rechnung erzeugen

4. Konstruktion von Vielecken 3er Serie: Ausgangsfigur: Sechseck Verbindet man nicht jede Ecke mit der nächsten Ecke sondern mit der übernächste Ecke so entsteht ein Dreieck. Halbiert man den Mittelpunktswinkel so entsteht ein Zwölfeck. Sechseck selbst konstruieren lassen. Und Dreieck und 12eck

Ausgangsfigur: Quadrat 4er Serie: Ausgangsfigur: Quadrat Konstruiere ein 8-Eck und ein 16 Eck 8 und 16 Eck konstruieren lassen

5er Serie Im folgenden wollen wir ein 10eck konstruieren. Dies ist jedoch komplizierter und erfordert daher Vorüberlegungen. GEONEXT + Tafel

Prüfe Überlegung 2 und ermittele s Vorüberlegungen: Ein Zehneck setzt sich bekanntlich aus 10 Bestimmungsdreiecken zusammen (Bild 1). Betrachte eines dieser Bestimmungsdreiecke. Das Bestimmungsdreieck des Zehnecks lässt sich in ähnliche Dreiecke zerlegen. (Bild 2) Mit Hilfe der Ähnlichkeits- eigenschaften lässt sich s ermitteln. Somit ist dann ein Zehneck konstruierbar. Aufgabe: Prüfe Überlegung 2 und ermittele s Zeichne das 10eck Bild 1 Ermittlung von s an der Tafel zeigen, 10eck konstruieren. Bild 2

5. Nährungskonstruktionen Wir haben eben festgestellt, dass es sehr aufwendig ist reguläre Vielecke zu konstruieren. Im folgenden werden wir eine Methode kennen lernen, mit der es einfacher ist (näherungsweise) ein reguläres Vieleck zu konstruieren. Führe folgende Arbeitsschritte aus: Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck ABC Zeichne einen Kreis k mit [AB] als Durchmesser Teile die Strecke [AB] in n gleich lange Teile Teilpunkte A = T0, T1,….., Tn-1, Tn= B 4. Zeichne die Halbgerade [CT, wobei T = Tn-2. 5. Sei S der Schnittpunkt der Halbgeraden mit dem Kreis k außerhalb von [CT]. 6. Trägt man die Strecke [BS] n-mal am Kreis k ab, so erhält man (näherungsweise) ein reguläres n-Eck.

6. Konstruierbare Vielecke // evtl. sie sollen ein 7eck konstruieren. Haben jetzt gezeigt, dass 3 4 5 er Serien gehen… jetzt 7eck exakt Evtl . N = 15 zeigen, wenn genügt Zeit ist.

7. Konstruktion eines regulären 17 – Ecks Die Zirkel- Lineal Konstruktion für das gleichschenklige Dreieck, das Quadrat, das reguläre Fünfeck, das reguläre Sechseck und das reguläre Fünfzehneck wurde schon von Euklid beschrieben. Das erste nicht von Euklid konstruierte n – Eck ist das regelmäßige Siebzehneck. Bild 17 Eck