Vorlesung Geoinformation I WS 01/02 Musterlösung zu den Fragen zur Klausurvorbereitung

Straße 0..1 1..* besteht aus Flurstück 1 Masche 2 begrenzt 3..* Kante 2 2..* begrenzt Lösung der Aufgabe 1: Die Ergänzung (grau) des Diagramms besteht in der Hinzufügung zweier Klassen „Flurstück“ und „Straße“ mit der entsprechenden Aggregationsbeziehung (Raute). Ein Flurstück besteht aus einer nichtleeren (daher 1..*) Menge von Maschen, während jede Masche zu genau einem Flurstück (1) gehört. Analog besteht eine Straße aus einer nichtleeren Menge von Kanten (1..*), während jede Kante zu höchstens einer (0..1) Straße gehört; im Gegensatz zu Flurstücken muss nicht jede Kante zu einer Straße gehören. Knoten Punkt 1 Geometrie

Lösung der Aufgabe 2: (siehe auch Abbildungen auf der nächste Seite) 2.1: Die Struktur in a) ist ein Simplizialer Komplex, da der Durchschnitt zweier Simplizes ein gemeinsamer Teilsimplex beider Simplizes ist. 2.2: Vgl. Abbildung auf nächster Seite 2.3: 2-Simplizes: A und B. 1-Simplizes: ab, bc, cd, db, de, ef, fg, ge 0-Simplizes: a, b, ..., h Der 2-Simplex A hat die Teilsimplizes bc, cd und db. Der 2-Simplex B hat die Teilsimplizes ef, fg und ge. Der 1-Simplex ab hat die Teilsimplizes a und b. Der 1-Simplex bc hat die Teilsimplizes b und c. Der 1-Simplex cd hat die Teilsimplizes c und d. usw. 2.4: Die Struktur in b) ist kein Simplizialer Komplex, da der Durchschnitt des 2-Simplex B und des 0-Simplex a kein Teilsimplex von B ist, und der „Simplex“ A kein 2-Simplex (Dreieck) ist; er wird von vier 1-Simplizes begrenzt, nicht von drei. Zwei Alternativen für die Korrektur bzw. Vervollständigung sind in der Abbildung b) skizziert.

Abbildungen zur Lösung von Aufgabe 2 Alternativen b) korrigiert f A B c ef fg B bc e a cd ge g a A b de ab db a d h a) b) b) korrigiert

Lösung der Aufgabe 3: a) und b) sind topologisch äquivalent, da beide durch eine topologische Transformation (elastische Verformung) ineinander überführbar sind; beide sind einfache Zyklen. Dabei werden Nachbarschaften auf Nachbarschaften abgebildet. Dagegen ist c) nicht topologisch äquivalent zu a) oder b), da die „Weihnachtsbaumkugeln“ nicht durch elastische Verformungen auf entsprechende Gegenstücke in a) oder b) abgebildet werden können.

Lösung der Aufgabe 4: Zunächst muss in der Abbildung die äußere Masche „Außen“ ergänzt werden. Als Tabelle für die Winged-Edge-Struktur ergibt sich somit: Kante Anfangs- End- linke Masche rechte Masche Vorgänger im Nachfolger im Knoten Knoten Umring der Umring der linken Masche rechten Masche SP S P A Außen RS PQ PQ P Q B Außen RP QR QR Q R B Außen PQ RS RS R S A Außen RP SP RP R P B A QR SP Die Orientierung der Kanten, d.h. die Reihenfolge von Anfangs- und Endknoten, kann auch vertauscht sein; dann müssen ebenfalls die linke und die rechte Masche sowie der Vorgänger im Umring der linken Masche und der Nachfolger im Umring der rechten Masche vertauscht sein. Die erste Zeile kann somit z.B. auch lauten: SP P S Außen A PQ RS

Lösung der Aufgabe 5: Die beiden Graphen sind isomorph, da es eine Zuordnung zwischen den Knoten in a) und b) gibt, so dass die Knoten-Knoten-Nachbarschaften in beiden Graphen identisch sind. Diese Zuordnung ist unten in b) dargestellt. A D E B a) b) E D B C C A