Newton Verfahren
Das Newton Verfahren Näherungsverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen Anwendbar bei stetig differenzierbaren Funktionen Benannt nach Sir Isaac Newton 1669 Iteration
Theoretische Vorgehensweise Die zu lösende Gleichung in die Form f(x)=0 bringen Näherungen der Nullstellen der Gleichung finden: Ausgangsstelle xn wählen Tangente bei xn bilden Nullstelle xn+1 der Tangente bestimmen Nullstelle xn+1 als neue Ausgangsstelle xn wählen xn nähert sich der Nullstelle der Gleichung an Iterationschritt
Theoretische Vorgehensweise
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Bestimmung der Nst. der Tangente Tangente bei xn , also im Punkt P( xn | f(xn) ): t: y = m x + b t: y = f‘(xn) • x + b P( xn | f(xn) ) einsetzen: f(xn) = f‘(xn) xn + b b = f(xn) – f‘(xn) • xn t: y = f‘(xn) • x + f(xn) – f‘(xn) • xn t: y = f(xn) + f‘(xn) • (x - xn) Tangente bei xn
Bestimmung der Nst. der Tangente Nullstelle der Tangente: Nst. wird als xn+1 bezeichnet: t(xn+1) = 0 = f(xn) + f‘(xn) • (xn+1 - xn) - f(xn) = f‘(xn) • (xn+1 - xn) - f(xn) / f‘(xn) = xn+1 - xn xn - f(xn) / f‘(xn) = xn+1 xn+1 = xn - f(xn)/f‘(xn) Nst. der Tangente
Konvergenz (= etwa Ännäherung) Newton Verfahren ist lokal konvergent Konvergenz von xn zu einer Nullstelle ist nur garantiert, wenn der Startwert schon „ausreichend nahe“ der Nullstelle gewählt wurde xn kann sich nach dem ersten Iterationsschritt auch weiter entfernen und sich dann erst der Nullstelle annähern xn kann während der Iteration immer wieder hin und her, also von der einen auf die andere Seite der Nullstelle, springen Problematisch: Fällt xn auf eine Extremstelle, so hat die Tangente keine Nullstelle und die Gleichung xn+1 = xn - f(xn)/f‘(xn) ist dementsprechend nicht lösbar, da f‘(xn) = 0 wäre und im Nenner steht