Klassischen Probleme der Geometrie Von Jonas Funk, Felix Monninger und Christian Waibel

Gliederung Rekapitulation Winkeldreiteilung Quadratur des Kreises Einführung Beweis der Winkeldreiteilung Lösungen Quadratur des Kreises Der goldene Schnitt und Φ

Rekapitulation

Winkeldreiteilung

Beispiele der Winkeldreiteilung Beispiele wo es klappt: 360°, 270°, 180°, 90°, 45°, usw. Jedoch nicht bei: (z.B.) 37°, 178°, 54° → Nicht verallgemeinerbar Bei 360° kann man 2 gleichseitige Dreiecke machen 270° 1 gleichseitiges Dreieck und dazu ein rechter winkel der mit einem glecihseitigen Dreieck subtrahiert wird 180° 1 gleichseitiges Dreieck 90° rechter winkel mit gleichseitiges dreieck 45° gleichseitiges Dreicke, das mit dem winkel subtrahiert wird

Trigonometrie y 1 sin α α cos α x

Probleme sin (α/3) ≠ sin (α) ÷ 3 Additionstheoreme: cos(α+β)= cos(α)*cos(β)-sin(α)*sin(β) sin (α+β)= sin(α)*sin(β)+cos(α)*cos(β)  cos(3 α) = cos(2 α + α)

Der Beweis  0 = 4cos³ (α/3) – 3cos (α/3) – cos(α) Substitution: x = cos(α/3)  0 = 4x³ - 3x - cos α

Der Beweis II a= 60° 0 = 4x³ - 3x - 0,5 | *2 0 = 8x³ - 6x - 1 | Subst: z = 2x 0 = z³ - 3 z -1 | Subst: a/b = z 0 = (a/b)³ - 3(a/b) -1 | * b³ 0 = a³ - 3ab² - b³ | + 3ab²+ b³ a³ = 3ab² + b³ a³ = (3a + b) b² a³ = 3a + 1 Nun wählen wir ein Beispiel wie 60° um ein Gegenbeispiel für die allgemeine Konstruktion der Winkeldreiteilung zu liefern. Da cos 60° ein hal entspricht können wir dies auch in unserer Gleichung anwenden. So Bekommen wir die Gleichung 0= 4x³-3x-0,5. Wenn diese noch verdoppeln Können wir diese Gleichung aus Ästhetik-Gründen noch einmal Substitionieren indem wir für 2x z einsetzen um so 0= z³-3z-1 zu erhalten. Da die rechte Seite der Gleichung reduzibel sein über die rationalen Zahlen muss. Nun ersetzen wir z mit a/b, da diese Nullstelle sein muss. Ausserdem müssen a und b teilerfremd sein. Und b ungleich null sein da man ja nicht durch null teilen darf. So erhalten wir folgende Gleichung.

Der Beweis III Nun wählen wir ein Beispiel wie 60° um ein Gegenbeispiel für die allgemeine Konstruktion der Winkeldreiteilung zu liefern. Da cos 60° ein hal entspricht können wir dies auch in unserer Gleichung anwenden. So Bekommen wir die Gleichung 0= 4x³-3x-0,5. Wenn diese noch verdoppeln Können wir diese Gleichung aus Ästhetik-Gründen noch einmal Substitionieren indem wir für 2x z einsetzen um so 0= z³-3z-1 zu erhalten. Da die rechte Seite der Gleichung reduzibel sein über die rationalen Zahlen muss. Nun ersetzen wir z mit a/b, da diese Nullstelle sein muss. Ausserdem müssen a und b teilerfremd sein. Und b ungleich null sein da man ja nicht durch null teilen darf. So erhalten wir folgende Gleichung.

Mögliche Lösungen

Mögliche Hilfsmittel Gelenkmechanismen Rechtwinkelhaken Einschiebelineal Quadratrix Falten

Einschiebelineal

Einschiebelineal r r r α α/3 α/3 r r

Der Beweis

Einschiebelineal D F E α A B M C 2 * α/3 2 * α/3 180°-(2 * α/3) r r r 2*α/3 180°-2*2*α/3

Einschiebelineal α α/3 α/3

Zwei beispiele für Gelenkmechanismen

Rechtwinkelhaken Begründung: Drei identische rechtwinklige Dreiecke

Falten D C α A B

Falten D C E F α α A B

Falten D C E F G H α α A B

Falten D C E F G H α α A B

Falten D C E F G H α α A B

Falten D C E F G H α α A B

Falten D C E F G H α α A B

Falten D C E F G H α/3 α/3 α α α/3 A B

Der Beweis

Falten D C E F K J I G H α α α/3 A B M L

Falten D C E F K J I G H α α α/3 A B M L

Falten D C E F K J I G H α/3 α α α/3 A B M L

Falten D C E F K J I G H 90-α/3 α α α/3 A B M L

Falten D C E F K α/3 J I G H 90-α/3 α α α/3 A B M L

Falten D C E F K α/3 J I G H 90-α/3 α/3 α α α/3 A B M L

Quadratur des Kreises Voraussetzungen: r² π = x² x = √r² π π ist eine transzendente Zahl r² π = x² x = √r² π  um eine Seite des Quadrates zu konstruieren muss man π konstruieren ≠ Vorraussetzung

Das Pentagramm und Φ Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… Verhältnis zur vorherigen Zahl nähert sich F an Goldener Schnitt: a/b = (a+b)/a = F Im Pentagramm findet sich zu jeder (Teil-)Strecke eine Passende Strecke, die im Verhältnis des goldenen Schnittes zu ihr steht

Φ in der Natur Da Φ in „hohem Maße“ irrational ist, überdecken sich die Blätter nie komplett (Abb.1) Ψ≈137,5° (goldener Winkel) 1 2

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