Ähnlichkeit Von Dreiecken
Ähnlichkeit 2 Körper sind genau dann zueinander ähnlich wenn sie durch zentrische Streckung, Verschiebung, Spiegelung und/oder Drehung ineinander überführt werden können.
Eine Zentrische Streckung: Gegeben ist ∆ABC Wir legen einen Punkt P fest und ziehen jeweils eine Gerade von P durch A, B und C. Jetzt messen wir die Entfernungen der Strecken AP, CP und BP. Anschließend tragen wir auf den Geraden Punkte ab die in der m-fachen Entfernung von P zum jeweiligen Eckpunkt liegen. Verbinden wir nun die Entstandenen Punkte so erhalten wir ein ähnliches Dreieck welches in den Winkeln und im Verhältnis der Seiten übereinstimmt. m=3
Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken der Hauptsatz WWW SWS SSS Ssw
WWW – Winkel Winkel Winkel Gegeben wenn zwei und somit alle drei Winkel übereinstimmen Beweis mit dem Sinussatz: a/sin α = b/sin β Umgestellt ist das b/a = 1/sin α *sin β Bei a′ und b′ b′/a′ = 1/sin α *sin β Das bedeutet: b′/a′ =b/a Was dann auch bei den anderen Seiten gilt.
SSS – Seite Seite Seite Gegeben wenn jeweils alle 3 Seiten zueinander im selben Verhältnis stehen Wenn bei einem Dreieck nur die längen der strecken verändert werden aber die Verhältnisse gleich bleiben, bleiben auch die Winkel gleich wobei wir wieder bei WWW wären.
SWS – Seite Winkel Seite Gegeben wenn zwei Seiten einen Winkel einschließen Mithilfe des Cosinussatz können wir a berechnen und mit dem Sinussatz die Winkel β und γ. Somit sind wir auch wieder beim Hauptsatz WWW .
Ssw – größere Seite Seite Winkel gegenüber Der größeren Seite Gegeben wenn zwei Seiten und ein Winkel der der größeren Seite gegenüberliegt gegeben sind. Mit dem Sinussatz berechnet man β, Mithilfe des Innenwinkelsatzes γ Und hat so wieder alle Winkel zum WWW - Satz