Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008 Institut für Erziehungswissenschaft

Übersicht Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte Steigung Parabeln und Kurven Kräftewirkung Geschwindigkeit Impressum

Mathematics meets Snowsports Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte

Gliederung Lineare Funktion Quadratische Funktion Funktion n-ten Grades Rechenbeispiel Betragsfunktion

Konstante Steigung, Proportionalität Lineare Funktion f(x)=-1/2x+3 Konstante Steigung, Proportionalität der Funktionswerte

Quadratische Funktion f(x)=-1/3*x^2+2*x+1 Parabelförmig

Wendepunkte, Extrempunkte Funktion n-ten Grades Wendepunkte, Extrempunkte

Rechenbeispiel f(x)= x³+2x²-4x+6 f´(x)= 3x²+4x-4 f´´(x)=12x+4 Extremstellen: f´(x)=0 1.Fall: x=-2 2.Fall: x= 0,66 Wendepunkte: f´´(x)=0 x=-0,33

Funktion aus mehreren Einzelfunktionen Betragsfunktion f(x)=-|x+1| Funktion aus mehreren Einzelfunktionen

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Mathematics meets Snowsports Steigung

Inhalt Die Straße Der Berg Die Seilbahn Die Buckelpiste Umrechnung von % in Grad Mathematische Herleitung Der Berg Wann rutscht man vom Berg? Die Seilbahn Momentane Steigung (Ableitung) Die Buckelpiste

Die Straße Umrechnung von % in Grad: α=arctan(33%) α=18,26° arctan (tan-1) = Umkehrfunktion von tan = Gegenkathete dividiert durch Ankathete

Mathematische Herleitung Die Steigung einer Straße entspricht der Steigung der Strecke b (in diesem Beispiel) eines rechtwinkligen Dreiecks b a α c

Der Berg

Mathematische Herleitung f(x)=mx+b m=Δy/Δx f(x)

Wann rutscht man vom Berg?

Wann rutscht man vom Berg? Aufgabe: Ein Bergsteiger trägt Schuhe mit Gummisohle und steigt auf einen mit Schnee bedeckten Berg. Ab welcher Steigung des Berges rutscht er vom Berg, wenn er keine weitere Ausrüstung besitzt? (fR=0,3  Reibungszahl von Gummi auf Schnee)

Wann rutscht man vom Berg? FH>FR (Ansatz) FH=FG·sin(α) FN=FG·cos(α) FR=FN·fR FG=m·g g≈9,81m/s²

Wann rutscht man vom Berg? Lösung: FH>FR m·g·sin(α) > m·g·cos(α)·fR sin(α)/cos(α) > fR tan(α) > fR α > arctan(0,3) α > 16,7° = 30%

Die Seilbahn

Mathematische Herleitung Ø Steigung f(x)=ax²+bx+c f‘(x)=2ax+b

Die Buckelpiste

Mathematische Herleitung f(x)=sin(x) f‘(x)=cos(x)

Fazit Mathematik stellt die Grundlage für viele technische Errungenschaften dar, welche nicht nur in heutigen Trendsportarten zum Tragen kommen. Die allgegenwärtige Mathematik erscheint uns jedoch nicht von bemerkenswerter Bedeutung.

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Mathematik meets snow sports Parabeln & Kurven Mathematik meets snow sports

Inhaltsangabe Kurven Trigonometrische Funktionen Parabeln Ebene Kurven Raumkurven Trigonometrische Funktionen Sinus Kosinus Tangens Parabeln

Kurven Ebene Kurven Raumkurven

Ebene Kurven Ebene Kurven: haben nur Krümmungen eindimensionales Objekt besitzt im allgemeinen eine Krümmung kann sich nur in eine Richtung bewegen kann durch eine Gleichung in Koordinaten beschrieben werden man kann sie ohne abzusetzen durchlaufen Beispiele für ebene Kurven: Gerade Kreis Parabel haben nur Krümmungen

Raumkurve haben Krümmungen und Windungen sind dreidimensional

Trigonometrische Funktionen Sinus Kosinus Tangens

Sinuskurve

Kosinuskurve Komplementärwinkel von Sinus Steht im 90° Winkel zu Sinus

Tangenskurve

Parabel Ist ein Kegelschnitt, der entsteht wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet Beispiel für eine Parabel: Quadratische Funktionen Kann als Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden

Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff Ende Wir bedanken uns für Ihre Aufmerksamkeit Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff

Mathematics meet Snowsports Kräftewirkung

Inhaltsverzeichnis Zentrifugal- & Zentripetalkraft Definition Gewichtskraft Hangabtriebskraft Potentielle Energie Definition Beispiel Formeln

Zentrifugal- und Zentripetalkraft Definition Zentrifugalkraft (Fliehkraft) Tritt in Drehbewegungen auf Wirkt nach außen Zentripetalkraft Wirkt nach innen Hält das Objekt in der Kreisbahn |Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft|

Zentrifugal- und Zentripetalkraft Beispiel FZF FZP M r

Zentrifugal- und Zentripetalkraft Formeln FZ = (m * v²)/ r

Gewichtskraft Definition Wirkt in Richtung des Erdkerns Ist dafür verantwortlich, dass Objekte auf der Erde bleiben und nicht wegfliegen Die Durchschnittliche Schwerebeschleunigung g beträgt 9,81m/s²

Gewichtskraft Beispiel FAuftrieb G

Gewichtskraft Formeln FG = m * g g = 9,81 m/s²

Hangabtriebskraft Definition Eine Komponente der Gewichtskraft (Hangabtriebskraft + Normalkraft = Gewichtskraft) Ist auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtet

Hangabtriebskraft Beispiel Normalkraft FN Hangabtriebskraft FH Gewichtskraft FG

Hangabtriebskraft Formeln FH = FG * sin(α) FN = FG * cos(α) FG = m * g

Potenzielle Energie Definition Energie, die ein Objekt durch seine Position oder Lage in z.B. einem Gravitationsfeld erhält. Bezugspunkt: Erdoberfläche

Potenzielle Energie Beispiel Höhendifferenz

Potenzielle Energie Formeln V = m * g * h V = Potenzielle Energie

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M. Nocke, A. Rasseck, B. Westerkofort, T. Wunderlich Geschwindigkeit M. Nocke, A. Rasseck, B. Westerkofort, T. Wunderlich

Formelzeichen: [n] = Geschwindigkeit [s] = Strecke [t] = Zeit Formel:

Inhaltsangabe Momentangeschwindigkeit Durchschnittsgeschwindigkeit Beschleunigung Lawinen

Momentangeschwindigkeit Formelzeichen [v] = Geschwindigkeit [s] = Weg [t] = Zeit Momentangeschwindigkeit Formel: Beschreibung: Die Momentangeschwindigkeit beschreibt den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit für Dt gegen 0.

Durchschnittsgeschwindigkeit Formelzeichen: [v] = Geschwindigkeit [s] = Weg [t] = Zeit Formel: Beschreibung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beschreibt die Mittelgeschwindigkeit aus allen auf einer Strecke gemessenen Geschwindigkeiten.

Beschleunigung Beschleunigung Formel: Formelzeichen: [a] = Beschleunigung [s] = Weg [t] = Zeit Formelzeichen: [a] = Beschleunigung [v] = Geschwindigkeit [t] = Zeit Formel: Beschreibung: Wenn wir vom Stillstand des Objektes ausgehen, ist die Zeit t=0. So müssen wir den zurückgelegten Weg durch die benötigte Zeit berechnen. Beschreibung: Bei der Beschleunigung in einer Bewegung verändert sich vom Punkt v1 auf v2. Diese Änderung geschieht in der Zeit zwischen t1 und t2.

Lawinen Ausgangspunkt Bewegungsgebiet Flächige o. in - Hangneigung von ca. 30 – 50° Punktförmiger Anriss ->Lockerschneelawine Linienförmiger Anriss ->Schneebrettlawine Bewegungsgebiet Flächige o. in Runsen konzentriert Faktoren f. Lawinen allg. : - Neuschnee - Viel Schneefall in kurzer Zeit - Hangneigung - Bodenbedeckung - Hanglage Auslaufzone - Stillstandzone - Unter 20° - Länge d. Auslauf- zone hängt von d. Lawine ab

Lawinenarten Schneebrettlawine Lockerschneelawine

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Institut für Erziehungswissenschaft Impressum Die Projektwoche „Mathematics meets Snowsports“ wurde entwickelt von Verena Scharmacher (scharmacher@uni-muenster.de) und Daniel Gersmeier (gersmeier@uni-muenster.de). Die wissenschaftliche Begleitung dieses Projekts erfolgt durch Prof. Dr. F. Stuber von der Fachhochschule Münster und Dr. C. Keller von der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster. Institut für Erziehungswissenschaft