Binomialverteilung
Bernoulli - Experiment Ein Bernoulli – Experiment ist ein Experiment mit zwei möglichen Ausgängen Werfen einer Münze – Kopf oder Zahl Sechser Würfeln oder keinen Sechser w. Gerät funktioniert oder funktioniert nicht Auswahl von Kindern: Knabe oder Mädchen Ein Gerät wird getestet, es funktioniert oder funktioniert nicht 2018/5/5 Binomialverteilung 2
Bernoulli Experiment Zufallsexperiment mit 2 Ausgängen A … das Ereignis tritt ein A … das Ereignis tritt nicht ein P(A) = p P(A) = 1 – p Beispiel: A … Sechser würfeln P(A) = 1/6 P(A) = 1 – 1/6 = 5/6 2018/5/5 Binomialverteilung 3
Bernoulli - Kette Das Bernoulli Experiment wird n Mal wiederholt Beispiele: Eine Münze wird 100 Mal geworfen Es wird 20 Mal gewürfelt und man interessiert sich für die Sechser 10 Geräte aus einer großen Produktionsmenge werden getestet, man interessiert sich für das Funktionieren 2018/5/5 Binomialverteilung 4
Zufallsvariable X Ein Bernoulliexperiment wird n Mal wiederholt. X gibt an, wie oft das Ereignis eingetreten ist. n=10 Das Experiment wird 10 Mal wiederholt X=3 Das Ereignis tritt 3 Mal ein P(X=3) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis genau 3 Mal eintritt 2018/5/5 Binomialverteilung 5
Berechnung Eine Münze wird 3 Mal geworfen. Wie groß ist die WKT, dass genau 2-mal Zahl (p) oben liegt ? P(X=2)= P({(ZZK),(ZKZ),(KZZ)}) = 3 · 0,5 · 0,5 · 0,5 2018/5/5 Binomialverteilung 6
Berechnung Sechser oder kein Sechser Ein Würfel wird 3 Mal geworfen, z beschreibe die Anzahl der Sechser (p) P(X=3) = 1 · (1/6)³ P(X=2) = 3 · (1/6)² · (5/6) P(X=1) = 3 · (1/6) · (5/6)² P(X=0) = 1 · (5/6)³ 2018/5/5 Binomialverteilung 7
N= 5, p=(1/6) Fünf Mal würfeln P(X=0) = 1 · (1/6)0 · (5/6)5 2018/5/5 Binomialverteilung 8
N = 5, p = 1/6 2018/5/5 Binomialverteilung 9
Binomialverteilung Bernoulli-Experiment: nur zwei Ergebnisse (Treffer oder Nichttreffer), p die Wahrscheinlichkeit des Treffers n unabhängige Wiederholungen desselben Bernoulli-Experiments, die Gesamtanzahl der Treffer wird beobachtet binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p besitzt folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑛 𝑘 · 𝑝 𝑘 · 1−𝑝 𝑛−𝑘 2018/5/5 Binomialverteilung 10