Unmöglichkeitsbeweise Von der Problemstellung zum Unmöglichkeitsbeweis Klassische Probleme der konstruktiven Geometrie Sollten Sie Fragen haben, werden wir Ihnen diese gerne beantworten. Problemstellung (Geometrisch) Das antike Griechenland war Ursprung folgender „klassischer“ Probleme, welche aber damals trotz vieler Versuche ungelöst blieben. Die Würfelverdopplung Die Kanten eines gegebenen Würfels sollen so verlängert werden, sodass man einen Würfel mit doppeltem Rauminhalt erhält. Die Quadratur des Kreises Aus einem Gegebenem Kreis soll ein Quadrat mit identischem Flächeninhalt konstruiert werden. Die Winkeldreiteilung Der dritte Teil eines beliebig großen Winkels soll konstruiert werden. Erst um das 18. Jh. wurde die Unmöglichkeit dieser Konstruktionen bewiesen. Vermutet hatte man dies bereits vorher. Zum Beweis der Möglichkeit einer geometri-schen Konstruktion genügt die Angabe einer Konstruktionsbeschreibung. Ein Unmöglichkeitsbeweis erfordert mathema-tische Kenntnisse, die vor dem 18. Jh. nicht vorhanden waren. Euklid‘sche Geometrie ● Nur Zirkel und Lineal dürfen benutzt werden. ● Das Lineal darf nur zum ziehen von Geraden, nicht zum abmessen benutzt werden. ● Bei Verwendung des Zirkels muss ein Mittelpunkt vorhanden sein. ● Man hat eine endliche Zahl von Schritten zur Verfügung. ● Die Einheit 1 ist bekannt. Problemlösung (Algebraisch) Erst im 18. und 19. Jh. konnten die antiken Probleme mithilfe neuer theo-retischer und algebraischer Mittel gelöst werden. Wichtig für unsere Probleme sind: Die Frage: Welche Zahlen lassen sich konstruieren? Die Theorie der algebraischen Körper Polynome Unmöglichkeitsbeweise Die Würfelverdoppelung Für die Würfelverdopplung müssen Kubikwurzeln konstruiert werden. Es wurde nachgewiesen, dass nur rationale Zahlen und Quadratwurzelausdrücke euklidisch konstruierbar sind. Daraus folgt die Unmöglichkeit der Würfelverdopplung. Für diese Konstruktion wird die Kreiszahl benötigt. Damit sie konstruierbar ist, muss sie Lösung eines Polynoms des Grades 2n und der Form an · xn + an-1 · xn-1 + … + a2 · x2 + a1 · x + a0 sein. Außerdem müssen alle Koeffizienten Element des euklidisch konstruierbaren Körperturmes sein. Es wurde jedoch festgestellt, dass sich p nicht als eine Nullstelle eines Polynoms n-ten Grades darstellen lässt. Anmerkung: Die Kreiszahl lässt sich mithilfe einer Quadratrix (siehe rechts, rote Kurve) darstellen. Die Dreiteilung bestimmter Winkel (z.B. 90° oder 180°) ist durchaus möglich. Bei anderen Winkeln (z.B. 60°) funktioniert es nicht. Um zu zeigen, dass es unmöglich ist (eventuell ist nur einfach niemandem die richtige Konstruktion eingefallen), einen beliebigen Winkel dreizuteilen, reicht es aus, die Unmöglichkeit an nur einem Winkel zu beweisen. Wenn nun nachgewiesen wird, dass zur Dreiteilung irgendeines Winkels eine Zahl benötigt wird die keine Nullstelle eines Polynoms des Grades 2n ist, ist die Unmöglichkeit einer allgemeinen Winkeldreiteilung erwiesen. Über Additionstheoreme erhält man Punkte, die mit Winkelgrößen verknüpft sind. Nach längerem Umformen, Vereinfachen und Substituieren kommt man schließlich auf die Gleichung: 4x³ − 3x − cos α = 0 Bei α kann ein beliebiger Winkel eingesetzt werden, der Einfachheit halber nimmt man α = 60°, also cos(60°) = ½ . So erhalten wir die Gleichung 4x³ − 3x − ½ = 0. Nun kann man zeigen, dass das Polynom 4x³ − 3x − ½ nicht über unserem Erweiterungskörper von Q reduzibel ist. Damit ist dann auch gezeigt, dass man den Winkel α = 60° mit Zirkel und Lineal nicht dritteln kann! Es gibt also Winkel, die sich allein mit Zirkel und Lineal nicht dreiteilen lassen. Anmerkung: Durch Hinzunahme geeigneter Hilfsmittel ist die Winkeldreiteilung sehr wohl möglich: Mithilfe von Einschiebelineal, Rechtwinkelhaken, Gelenkmechanismen, Quadratrix oder sogar mit Papierfalten gelingt dies. Dann ist das aber nicht mehr mit den Regeln der euklid‘schen Geometrie konstruiert. In unseren Vorträgen gehen wir genauer auf genannte Beweise ein und erläutern Sie ihnen auch gerne am Stand. Hierzu muss es möglich sein, einen Kreisbogen in drei gleiche Abschnitte zu teilen. Konstruierbarkeit Mithilfe der euklid‘schen Geometrie kann man zwei Strecken unbekannter Länge. ● addieren/subtrahieren ● multiplizieren/dividieren und die Quadratwurzel einer beliebigen Streckenlänge konstruieren. Es lassen sich alle rationalen Zahlen und Quadratwurzelausdrücke mit der euklid‘schen Geometrie konstruieren. Ein Würfel mit dem Volumen V1 soll auf das Volumen V2 verdoppelt werden: V1 = 1cm³ Um die Konstruktion auszuführen, muss konstruierbar sein. Quadrat und Kreis sollen den gleichen Flächeninhalt besitzen: r = 1cm Es ist notwendig, die Kreiszahl  zu konstruieren. Polynome: Polynome sind Terme der Form: Das Polynom ist über einer Menge M, aus der auch die Koeffizienten sind, und hat den Grad n. Polynome können reduzibel (=zerlegbar) oder irreduzibel (=unzerlegbar) sein. Man kann nur die Nullstellen von irreduziblen Polynomen vom Grad 2n konstruieren. Will man einen Unmöglichkeitsbeweis führen, reicht es also aus, ein irreduzibles Polynom zu finden, das nicht vom Grad 2n ist und die zu konstruierende Zahl als Nullstelle hat. Theorie der algebraischen Körper: Körper sind Zahlenmengen, auf die spezielle Rechenregeln zutreffen. Die Menge Q beispiels-weise ist ein Körper. Um alle konstruierbaren Zahlen in einem Körper zusammenzufassen, werden den rationalen Zahlen Quadratwurzelausdrücke zugefügt. Man kommt auf folgenden Körperturm: … (endlich viele Zwischenkörper) K0 = Q Im letzten Körper vom Grad 2n sind alle konstruierbaren Zahlen enthalten. Alle Elemente sind rational und/ oder Quadratwurzelausdrücke. 2n