Mathematik der Geraden – Lineare Funktion 1. Steigungszahl einer Geraden 2. Parallelverschiebung 3. Geradengleichung und Gerade 4. Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme 5. Anwendungsbeispiel lineare Funktion 6. Anwendungsbeispiel lineare Optimierung

1. Steigungszahl einer Geraden Für jeden Punkt P der Geraden ist die Verhältniszahl y/x konstant (Ähnlichkeit) und damit ein geeignete Masszahl für die Steigung der Geraden: y/x = 0.5 (konstant) Geradengleichung: y = 0.5 ·x Allgemein: Eine Gerade durch den Ursprung kann beschrieben werden durch eine Gleichung der Form y = m·x m: Steigungszahl der Geraden (Verhältniszahl y/x) Wertetabelle: x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y -1.5 -0.5 0.5 1.5 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y -1.5 -0.5 0.5 1.5 y/x

2. Parallelverschiebung Durch die Parallelverschiebung der Ursprungsgeraden um 2 Einheiten in positiver y – Richtung verändern sich die y-Werte der Ursprungsgeraden um den Wert +2. Die Steigungszahl m = 0.5 verändert sich nicht. 2 Geradengleichung: y = 0.5 ·x + 2 Allgemein: Eine beliebige Gerade kann im Koordinatensystem beschrieben werden durch eine Gleichung der Form y = m·x + q m: Steigungszahl der Geraden q: Verschiebung in y-Richtung (y-Abschnitt) Wertetabelle: Ergänzung 1: Eine Gerade kann auch durch eine allgmeine Gleichung der Form a·x + b·y + c = 0 beschrieben werden (implizite Form) und kann in die obige (explizite) Form umgeformt werden. x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y -1.5 -0.5 0.5 1.5 Ergänzung 2: Da es sich um eine lineare Zuordnung handelt, definiert die Gleichung y = f(x) = m·x + q die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion f mit der Geraden als Graphen dieser Funktion. Wertetabelle der verschobenen Geraden: x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y 0.5 1.5 2.5 3.5

2. Geradengleichung und Gerade A. Von der Geradengleichung zur Geraden B. Von der Geraden zur Geradengleichung gegeben: Geradengleichung y = -1/3 x + 2 gesucht: Gerade im Koordinatensystem gegeben: Gerade durch P = (-1/-2) und Q = (3/1) gesucht: Geradengleichung y = m·x + q 3 -1 2 Q 4 3 P (1) Schnittpunkt mit y-Achse: q = 2 (1) Steigungszahl m aus Steigungsdreieck: (2) Steigungsdreieck mit m = - 1/3 (2) P in y = 3/4 x + q einsetzen und nach q auflösen: q = -5/4 (3) Gerade (3) Geradengleichung: y = 3/4 x - 5/4

4. Lineare (Un-)Gleichungen und (Un-)Gleichungssysteme 3.1 Lineare (Un-)Gleichung mit 1 Variablen 3.2 Lineare (Un-)Gleichung mit 2 Variablen y > 1/3 x + 1 S y < 1/3 x + 1 Geradengleichung: y = 1/3 x + 1 Die Gerade y = 1/3 x + 1 liefert die Lösungs- paare der Gleichung y = 1/3 x + 1 Die Schnittstelle der Geraden y = 1/3 x + 1 mit der x-Achse liefert die Lösung x = -3 der linearen Gleichung 1/3 x + 1 = 0 Die Gerade teilt die Ebene in zwei Teilbereiche auf: Der Zahlenstrahl x < -3 liefert die unendlich vielen Lösungen der Ungleichung 1/3 x + 1 < 0 Der Teilbereich ‚oberhalb‘ der Geraden liefert die unendlich vielen Lösungspaare der Ungleichung y > 1/3 x + 1 Der Zahlenstrahl x > -3 liefert die unendlich vielen Lösungen der Ungleichung 1/3 x + 1 > 0 Der Teilbereich ‚unterhalb‘ der Geraden liefert die unendlich vielen Lösungspaare der Ungleichung y < 1/3 x + 1

II I III IV S 3.3 Lineares Gleichungssystem 3.4 Lineares Ungleichungssystem II III I S IV Geradengleichung: y = -1/2 x + 2 Die beiden sich schneidenden Geraden teilen die Ebene in vier Teilbereiche auf: Geradengleichung: y = x - 1 Der Schnittpunkt S der beiden Geraden liefert das Lösungspaar (2 / 1) des linearen Gleichungssystems y = -1/2 x + 2 y = x - 1 Teilbereich I: y > -1/2 x + 2 ∧ y < x - 1 Teilbereich II: y > -1/2 x + 2 ∧ y > x - 1 Teilbereich III: y < -1/2 x + 2 ∧ y > x - 1 Teilbereich IV: y < -1/2 x + 2 ∧ y < x - 1

5. Anwendungsbeispiel lineare Funktion Zwei verschiedene Taxiunternehmen berechnen ihre Tarife linear nach dem gleichen Prinzip: Grundgebühr plus einen bestimmten Preis pro gefahrenen Kilometer. Beim ersten Unternehmen bezahlt man für 10 km Fahrt 8.20 Fr. und für 30 km Fahrt 18.20 Fr. Beim zweiten Unternehmen bezahlt man für 5 km Fahrt 6.80 Fr. und für 40 km Fahrt 20.80 Fr. (1) Graphische Darstellung: Unternehmen 1: Gerade durch die beiden Punkte A = (10/8.2) und B = (30/18.2) Unternehmen 2: Gerade durch die beiden Punkte C = (5/6.8) und D = (40/20.8) S (2) Lineare Funktionen: Unternehmen 1: y = 0.5x + 3.2 Unternehmen 2: y = 0.4x + 4.8 (3) Interpretation der Funktionsgleichungen: Unternehmen 1: Grundgebühr: 3.2 Fr. ; Kilometerpreis: 0.5 Fr. Unternehmen 2: Grundgebühr: 4.8 Fr. ; Kilometerpreis: 0.4 Fr. (4) Vergleich der beiden Unternehmen: Schnittpunkt S der beiden Geraden: S = (16/11.2) Interpretation: • gleicher Tarif bei einer Fahrt von 16 km • bei einer Fahrt unter 16 km ist das Unternehmen 1 günstiger • bei einer Fahrt über 16 km ist das Unternehmen 2 günstiger

6. Anwendungsbeispiel lineare Optimierung