PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Bionik I“ Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Bionik I“ Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution

Optimiert die biologische Evolution wirklich?

Der kubisch paraboloide Baumstamm

Materialminimierung: Solarbetriebener CO2-Sammler P Wind y 2 r Mast Höchster Baum in Deutschland: Douglasie 63,33 m im Freiburger Stadtwald Höchster Baum in der Welt: Mammutbaum 115,5 m im Redwood Nationalpark in Kalifornien Das Problem technisch dargestellt Form eines Kiefernstamms aus dem Tegeler Forst Nur Formvergleich möglich, da genaue Belastungsdaten fehlen. Materialminimierung: Theorie „Träger gleicher Festigkeit“

Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße

Das Blutgefäßsystem als hydraulisches Fördernetz Arteriole Kleine Vene Das Blutgefäßsystem als hydraulisches Fördernetz Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene Erfindung des Herz-Lungen-System in der Evolution Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl Aorta 10 1 Große Arterien 3 40 Arterienäste 1 600 Arterienzweige 0,6 1800 Arteriolen 0,02 40 000 000 Kapillaren 0,008 1 200 000 000

z D Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen 10 1 0.1 5% 0.01 10 10 10 Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige Genauigkeit ! 0.1 + 5% - Arteriolen 0.01 Kapillaren 3 6 z 9 10 10 10 10 Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen

Energiebilanz Mensch 10 000 kJ Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung Herzpumpe Gleicher Startdurchmesser Energiebilanz Gehirnzellen (20 %) Mensch 10 000 kJ Beinmuskeln Armmuskeln Herzantrieb 3 000 000 Blutkörperchen/s Blutneubildung a b Pumpleistung Herz [kJ] groß klein Neubildung Blut [kJ] klein groß

p D Q Qualitätsfunktion: Gesetz von Hagen-Poiseuille ´ = F F  V k = Reibung an der Rohrwand muss durch die Druckdifferenz kompensiert werden p Gesetz von Hagen-Poiseuille D Q Mengenstrom / m3/s Rohrquerschnitt opfen Strömungspr Herzpumpe gkeit Geschwindi Kraft ´ = F dung Blutneubil n Rohrvolume F  Rohr V k = Blutbildungsarbeit Kubikmeter · Sekunde

Minimierungsproblem:

Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion: Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen

Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser Di eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab! Beispiel: D Q Q 1 = Q z

z D Bedingung für die Lösung: Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige 0.1 + 5% - Arteriolen 0.01 Kapillaren 3 6 z 9 10 10 10 10 Bedingung für die Lösung: Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt.

D = D 1 / z z D Optimale Blutgefäßverzweigung Hund - Mensch - Theorie 10 Hund arterielles System Mensch arterielles System D Mensch venöses System mm 1 0.1 D = D 3 1 / z i 0.01 3 6 z 9 10 10 10 10 Optimale Blutgefäßverzweigung Hund - Mensch - Theorie

Hydraulik des Hämatokrits

Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? Blutzellenvolumen Hämatokrit H = Gesamtvolumen v Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen a v Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? b

Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms HMann = 42 – 50% HFrau = 37 – 45% Hoptimal = 43,3% (eine mathematische Lösung) Zeit HSchaf = 32% Künstliche H-Werte HSchwein = 41% Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms

Optimaler Blutkörperchenstrom Schwein H = 41% Schaf H = 32% m o r s n HMann = 42 – 50% HFrau = 37 – 45% ? Schwein H = 41% Evolution Hämatokrit 1,5 1,0 0,5 % 10 30 20 40 60 50 B l u t z e n s r o m Optimaler % Schaf H = 32% Evolution B l u t z e n s r o m 1,0 0,5 10 30 20 40 60 50 Hämatokrit Blutkörperchenstrom Die über 35 Jahre alten Messungen wurden noch nicht verifiziert. - Deshalb Vorsicht!

Gangarten eines Pferdes

Gangarten Pferd Energieverbrauch Schritt Trab Gallopp Der Sauerstoffverbrauch wurde über eine Maske gemessen

Geometrie der Bienenwaben

Schlaue Gärtner b g g j g g v v Dumme Gärtner für Eingesparte Strecke Hinzugefügte Strecke g g j g g v v für Vom Angrenzungsproblem in 2 Dimensionen zum Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen

Das Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen Am Boden der sechseckigen Zellen der Bienenwabe sieht man die versetzt angeordneten Zellwände der Gegenseite durchscheinen.

Das Angrenzungsproblem Gartenzaun Bienenwabe Das Angrenzungsproblem

Bienenwabe Zelle von Fejes Tóth 9 Kanten ! 14 Kanten ! Bienenwabe László Fejes Tóth (1915 – 2005) Zelle von Fejes Tóth Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution

Umformung der zunächst runden (noch etwas flüssigen) Waben nach dem Prinzip der Seifenblasen. Und so könnte es auch mit den Böden geschehen.

Die Rüstung Richard des Dritten ? Über Größe und Leistung Shakespeare stellt Richard den Dritten als zu kurz geraten und von klumpiger Missgestalt hin. Hatte König Richard dadurch, dass er klein war, beim Kampf in voller Ritterrüstung Vorteile ? Vorteil der Kleinheit: Die an die Körperoberfläche angepasste Ritterrüstung ist leichter ? Vorteil der Größe: Das Gewicht der an die Körperoberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zum Quadrat der Größe, die Muskelkraft aber proportional zur dritten Potenz (Volumen) der Größe des Ritters ? Die Rüstung Richard des Dritten Gleiche Vor- und Nachteile: Das Gewicht der an die Körper-oberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zur Oberfläche, die Muskelkraft wächst auch nur proporti-onal zu seiner Querschnittsfläche und nicht zum Volumen ? Der große Ritter stirbt an einem Hitzschlag !

Eine Science-Fiction-Geschichte

Planet der metallenen Halslinge Gliese 832c Gliese 581g Planet der metallenen Halslinge Gliese (in Sternbild Waage) 832 581 Text

Osmium Magnesium

Evolution auf dem extrasolaren Planeten

2214 Erdlinge

Der Kopfdurchmesser ist proportional zur Halslänge ! plump grazil Der Kopfdurchmesser ist proportional zur Halslänge !

Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge = tragende Struktur Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz ! = Belastung

Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere = trgende Struktur Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz ! S  L7/6 = Belastung

Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht grazil plump Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht

Das technische Problem: Links eingespannter Balken mit Kugelgewicht rKugel  lBalken Theorie für minimales Trägergewicht bei gleicher relativer Durchbiegung (Steifigkeit) G  L7/6

Auf dem Planeten Gliese 832c existieren auch die Stelzlinge Riesenstelzling Gemeiner Stelzling Zwergstelzling

Optimale Auslegung der Stelzlingarten auf dem extrasolaren Planeten Euler Knickung Osmium Magnesium Optimale Auslegung der Stelzlingarten auf dem extrasolaren Planeten l variabel Stelzling Aus & Kritische Last Es kommen die Gleichungen hinzu: Tragende Struktur Belastung  Bemessungsoptimierung

Aussage Das Maus-Elefanten-Diagramm erfüllt deshalb so genau das 7/6-Potenzgesetz, weil zwei Kriterien für die optimale Ausle-gung eines Skelettelements, nämlich nach Biegung und nach Knickung, zur selben Lösungsformel führen.

Wir wollen einen neuen Ausdruck prägen Beltistometrie

Isometrie Allometrie Beltistometrie ( = gleich) Mit gleichem Maß Was ist Beltistometrie ? Isometrie ( = gleich) Mit gleichem Maß Allometrie ( = anders) Mit anderem Maß Beltistometrie ( = bester) Mit bestem Maß

Isometrie (mit gleichem Maß) Das proportionale Verhalten technischer und biologischer Größen beim Übergang zu kleineren oder zu größeren Strukturen. Allometrie (mit anderem Maß) Das nicht proportionale Verhalten (technischer) und biologischer Größen beim Übergang zu kleineren oder zu größeren Strukturen.

Beltistometrie (mit bestem Maß) Definition: Die Eigenschaft eines Objekts (Leistung, Stoffumsatz, Geschwindigkeit, Materialstärke usw.), die optimiert wurde, werde über der Größe des Objekts aufgetragen. Ist der Zusammenhang nicht trivial (z. B. isometrisch bzw. proportional), wird die sich ergebende Gesetzmäßigkeit Beltistometrie genannt. Oder: Ein beltistometrisches Diagramm zeigt (quantitativ) die optimierte Eigenschaft eines Konstrukts, wenn dieses seine Größe ändert.

Beltistometrie Allometrie Von der Zwergmaus zur Elenantilope und alle Lebewesen sind das Ergebnis der Entwicklungsarbeit der biologischen Evolution Denn alle Motoren sind das Ergebnis der Entwicklungsarbeit von Ingenieuren Das Gewicht ist ein Maß für die Größe Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel

Die blauen Punkte liegen also nicht zufällig auf einer Geraden (Exponentialgesetz wegen doppelt logarithmischer Auftragung), sondern das Gesetz der Optimierung durch die Evolution hat sie in den beltistometrischen Zusammenhang gebracht. Was zu beweisen war (q. e. d. quod erat demonstrandum) !

Fazit: Wenn sich die Eigenschaft „Größe“ eines biologischen oder technischen Objekts ändert, kann sich eine von der Größe abhängige Eigenschaft unerwartet überproportional vergrößern oder auch verkleinern !

Beispiel MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung

Vergleich von Leistung und Gewicht: Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen Leistung: 22 000 kW Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g Leistung: 0,99 kW Rund 1 000 000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel. Sie leisten zusammen 1 000 000 kW. Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !

Eine Weberameise kann das 40-fache ihres Eigengewichts tragen. Blattschneiderameise Eine Weberameise kann das 40-fache ihres Eigengewichts tragen. Weberameise Aber: Der beltistometrische Zusammenhang sieht anders aus! Ein Mensch mit 80 kg Körpergewicht müsste dann 3,2 Tonnen schultern.

Eine 6 mm große Schaumzikade kann 70 cm hochschnellen. Emil Rechsteiner Eine 6 mm große Schaumzikade kann 70 cm hochschnellen. Ein 1,80 m großer Mensch sollte dann 210 m hoch springen können. Schaumzikade Aber: Der beltistometrische Zusammenhang sieht anders aus! Die Schaumzikade hält den Weltrekord im Insekten-Hochsprung. Sie beschleunigt beim Absprung mit 400 g.

Aus dem Guinness Buch der Tierrekorde: Die schnellste Spinne der Welt Die Hausspinne (Tegenaria atrica) erreichte bei einer Reihe von Experimenten, die 1970 in Großbritannien durchgeführt wurden, über kurze Distanzen eine Geschwindigkeit von 1,9 km/h (0.53 m/s). Dies ist außerordentlich schnell, wenn man bedenkt, dass die Spinne in nur 10 Sekunden eine Strecke zurücklegte, die dem 330fachen ihrer Körperlänge entsprach. Dann müsste ein 2 Meter großer Mensch in 10 Sekunden …

Ende www.bionik.tu-berlin.de

Gliese 832c ist ein Exoplanet, der den roten Zwerg Gliese 832 umkreist Gliese 832c ist ein Exoplanet, der den roten Zwerg Gliese 832 umkreist. Der Planet ist 16 Lichtjahre (150 Billionen Kilometer) von der Erde entfernt. Gliese 832c hat die 5-fache Erdmasse, und ein Jahr auf Gliese beträgt 16 Tage. Die Temperatur ist etwa so wie auf der Erde. Dennoch wird Gliese 832c wegen seiner großen Dichte der Atmosphäre für unbewohnbar gehalten. Zur Zeit gilt der Exoplanet Gliese 667Cc als der Erde am ähnlichsten. Seine Sonne (den Zwergststern GJ 667 C) umkreist er in 28,2 Tagen. Gliese 667Cc ist 22,1 Lichtjahre von der Erde entfernt.