Modellbildung: authentisch oder unauthentisch? Die klassischen Textaufgaben findet man im Mathematikunterricht schon von je her. Ein mathematisches „Problem“ wird in einen Text „eingekleidet“, die Lösung der Aufgabe ist in der Regel eindeutig. Neuere Bestrebungen tendieren eher zu offenen Aufgaben und Aufgaben zur Modellbildung. Wie realitätsnah sind aber unsere Modellaufgaben?

Handytarife Arbeitsauftrag 1 Gruppenarbeit (3 Gruppen) 1)Welche Fragen würden Sie Schülern der Klasse 7 stellen, um sie für das Thema „Handy und Handytarife“ zu motivieren? 2)Thorben telefoniert im Monat 70 min mit seinem Handy in sein Netz und ins Festnetz. Welchen Tarif würdest du ihm empfehlen? Diskutieren Sie über mögliche Vorgehensweise bei der Lösung dieser Aufgabe.

Arbeitsauftrag 2 3) Thorbens Schwester Susi telefoniert im Monat 85 min mit ihrem Handy, davon 15 min in andere Netze. Zudem schreibt sie 3 SMS pro Tag. Suchen Sie sich pro Gruppe einen aktuellen Handytarif (Internet ) heraus und berechnen Sie Susis Kosten. Stellen Sie Ihre Überlegungen übersichtlich dar und suchen Sie nun gemeinsam den günstigsten Tarif für Susi.

EplusO2 D1 Aktuelle Handytarife

Mögliche Aufgabenstellungen: Welches Handy hast du (Vertrags- oder Kartenhandy, Anbieter)? Warum dieses? Welchen Tarif hast du? Warum? Welche anderen gibt es? Welche Informationen kann man einem konkreten Angebot entnehmen? Stelle Fragen, die den Tarif erklären. Stelle den Tarif dar: in einer Tabelle, als Graph, als Formel. Welche Vor- und Nachteile haben die einzelnen Darstellungen? Entwirf einen eigenen Handytarif und gestalte eine Werbung.

Handy-Beispiel-Aufgabe aus den Bildungsstandards

Annahmen Wie nutzen Jugendliche ihr Handy? wenig telefonieren häufig SMS verschicken Visualisierung 1.Mit Dynageo: Angepasst auf Klassenstufe 7 werden die Freiminuten in die Grundgebühr eingearbeitet (Tarif TEP) 2.Mit Excel: Hier lassen sich per Schieberegler alle möglichen Preisvarianten erzeugen

Graphen zum Handytarif mit Dynageo DynaGeo

Graphen zum Handytarif mit Excel Excel

Die optimale Verpackung - Frischmilchtüte Tetrapack Maße:b = 7,0 cm h = 19,5 cm  V = b 2  h = 955,5 cm 3 und O = 868,8 cm 2 < 1 l Erst durch geringfügige Ausbeulung ergibt sich das tatsächliche Volumen von 1 l Bei welchen Maßen hat ein Tetrapack mit vorgegebenem Volumen den geringsten Materialverbrauch?

Allgemeine Lösung durch Auffalten der Tüte Rechteck mit Flächeninhalt O = (4b + 1,5)  (0,7 + 0,5b + h + x + 1,0 cm + 0,7 cm) x ist die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Basiswinkel 30° (Messung!) 

Optimum Nebenbedingung: V = 956 cm 3 Die Funktion O(b) hat ihr Minimum bei b  7,5 cm mit O  865 cm 2 (und h  17,0 cm) Für V = 1000 cm 3 ergeben sich b min  7,6 cm, O min  890 cm 2 und h  16,6 cm. Die leichte Abweichung bei der Milchtüte von der optimalen Verpackung hat ihre Gründe in der Verpackungstechnik der Tüten, wobei die Abweichung der Oberfläche vom Optimum mit 3,8 cm 2 minimal ist (0,4%).

Graph mit Ableitung O  (b)

Trassierung von Straßen Wir beobachten in den letzten Jahren einen Paradigmenwechsel u.a. wegen der Verfügbarkeit von Funktionenplottern und Computeralgebrasystemen: So findet man statt sinnentleerter Kurvendiskussion anwendungsorientierte, (scheinbar) realitätsnahe Aufgaben, z.B. über „Linienführung von Straßen“ Die Sprache der Mathematik erfüllt verschiedene Aufgaben: Beschreibung von Wirklichkeit (deskriptiver Aspekt) Erzeugung von Wirklichkeit (normativer Aspekt) Hier: normativer Aspekt, denn die Empfehlung der Mathematik wird zur Richtlinie im Straßenbau

Beispiel (Henn, 1991): Ein Bauingenieurteam soll zwei parallele, geradlinige Straßenenden geeignet miteinander verbinden. a)Begründen Sie, wieso folgende Lösungen unfallträchtig und daher nicht zweckmäßig sind. b)Begründen Sie, dass die gesuchte Kurve sowohl bei A als auch bei B einen Wendepunkt haben muss. Setzen Sie die Funktionsgleichung dieser Kurve als ein Polynom möglichst kleinen Grades an, und bestimmen Sie dieses Polynom. Wählen Sie für den Ansatz ein geeignetes Koordinatensystem.

Auswertung Die in b) vorgeschlagene Funktion „ Polynom möglichst kleinen Grades“ ist nicht realistisch, denn:  Eine reale Straße mit endlicher Breite wird auf eine unendlich schmale Kurve reduziert.  Das Problem des „Krümmungsrucks“ gibt es in der Realität nicht in dieser Form, denn bei hinreichender Straßenbreite ist genug Platz zum Einlenken.

Weiterentwicklung der Aufgabe (Abitur GK NRW) Zwei Fernstraßen s 1, von links oben kommend, und s 2, welche auf der x-Achse verläuft, treffen sich mitten im Ort. Um die Belästigung der Anwohner abzuwenden, wird eine Umgehungsstraße geplant. Gesucht ist eine Funktion, die in den Punkten P 1 und P 2 glatt an die bestehenden Straßen s 1 und s 2 anschließt und den Ortskern dadurch umgeht, dass sie durch den Punkt P 3 verläuft.[...] Bestimmen Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion, die die obigen Bedingungen erfüllt[...] An welchen Stellen ändert sich die Lenkrichtung auf der Trasse zum Graphen von f?

Reale Trassierung Problematisch dabei ist aber: Die Lenkrichtung ändert sich bei Polynomen nicht nur in den Wendepunkten, sondern aufgrund der Krümmung fast überall. Eingekleidet in eine reale Situation führt die Aufgabe durch das Signal „Änderung der Lenkrichtung“ zielstrebig zu: „Berechne die Wendestellen“

Klothoiden Deshalb werden zur Trassierung keine Polynome verwendet, sondern Kurven konstanter Krümmung, also Kreise und Geraden. Als Übergänge werden Kurven mit Krümmungen konstanter Änderung verwendet: Klothoiden. Ihr Krümmungsverlauf nimmt linear zu und dient einer ruckfreien FahrdynamikKrümmungsverlauf ruckfreien

Luftaufnahme Verwendung von Kreisbogen und Klothoide bei der Trassierung der Autobahnumgehung von Rettersheim ( aus [Lorenz 1971, 399])

Fazit „Gute Trassierung ist echtes, schöpferisches Tun, das nur gedeihen kann, wenn naturwissenschaftlich-technische, ästhetische und psychologische Fakten gleichermaßen zu Grunde gelegt werden“ (Gläser 1972) Trassierung von Straßen ist ein außerordentlich komplexes Gebiet. Klothoiden sind mathematisch schwer zu erfassen. Es ist also nicht zu erwarten, dass Trassierung von Straßen im Mathematikunterricht authentisch diskutiert werden kann. Hier sollte man sich, wenn man sie zum Thema machen möchte, vielleicht auch von vorneherein bewusst auf kleine Details beschränken, die man lebenswahr unterrichten kann - vielleicht die Untersuchung von Sichtweiten in Abhängigkeit von möglichen Kuppenformen? Weniger ist mehr!

Danke für Ihre Aufmerksamkeit