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2 Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik ● Wir haben uns bisher mit Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt: – Die Wahrscheinlichkeit p war bekannt ● z.B.,mit welcher Wahrscheinlichkeit bei einer Münze „Wappen“ fällt. (normale Münze p = 0,5) ● Daraus kann man die Wahrscheinlichkeit eines vorgegebenen Ereignisses berechnen – z.B.: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim zehnmaligen Wurf der idealen Münze – a) Für höchstens 3 mal Wappen – b) Für mindestens 5 mal Wappen.

3 ● Lösung zu a): ● P(X ≤ 3) = F 10;0,5 (3) = 0,1719 ● Lösung zu b): ● P(X ≥ 5) = 1 – F 10;0,5 (4) = 1 – 0,3770 = 0,6230 Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

4 ● In der Praxis stellt sich das Problem aber oft genau umgekehrt: ● Man hat eine Münze, weiß jedoch nicht, ob es eine ideale Münze ist Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

5 ● In der Praxis stellt sich das Problem aber oft genau umgekehrt: ● Man hat eine Münze, weiß jedoch nicht, ob es eine ideale Münze ist ● D.h. man weiß gar nicht, wie groß p tatsächlich ist Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

6 ● In der Praxis stellt sich das Problem aber oft genau umgekehrt: ● Man hat eine Münze, weiß jedoch nicht, ob es eine ideale Münze ist ● D.h. man weiß gar nicht, wie groß p tatsächlich ist ● Um p zu bestimmen müsste man die Münze so oft werfen, bis sich die relative Häufigkeit für Wappen hinreichend stabilisiert hat Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

7 ● In der Praxis stellt sich das Problem aber oft genau umgekehrt: ● Man hat eine Münze, weiß jedoch nicht, ob es eine ideale Münze ist ● D.h. man weiß gar nicht, wie groß p tatsächlich ist ● Um p zu bestimmen müsste man die Münze so oft werfen, bis sich die relative Häufigkeit für Wappen hinreichend stabilisiert hat ● Sehr häufige Durchführungen eines Zufallsversuches sind aber oft sehr zeitaufwendig und manchmal auch kostspielig Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

8 ● Deshalb geht man das Problem etwas anders an. ● Da bei einer Münze im Normalfall beide Seiten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit fallen, vergleicht man die vorgelegte Münze mit einer idealen Münze ● Beispiel: ● Eine ideale Münze wird 50 mal geworfen (Bernoulli-Kette der Länge n = 50) ● Die Zufallsgröße X sei: Anzahl der Wappen, die geworfen werden. ● Der Erwartungswert ist μ = E(X) = n·p = 50·0,5 = 25 Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

9 ● Die Standardabweichung ist σ = √ n·p·q = √ 12,5 ≈ 3,54 ● Wir suchen z.B. den Bereich (das Intervall) der Anzahl von Wappen, bei dem die Wahrscheinlichkeit 0,95 (=95%) beträgt ● Also: Wie oft muss bei 50 Würfen der idealen Münze mindestens und wie oft darf höchstens Wappen fallen, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür 95% betragen soll? Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

10 ● Erinnerung an die Sigma-Regeln und die Berechnung von Umgebungsradien ● Wir suchen den Umgebungsradius bei der fest vorgegebenen Umgebungswahrscheinlichkeit 95%. ● Durch Einschachtelung lässt sich das Problem lösen – Für die zwei-Sigma-Umgebung (also r ≈ 7) erhält man für die Umgebungswahrscheinlichkeit etwa 96,7% ● µ – 2*3,54 = 17,92 ● µ + 2*3,54 = 32,08 ● P(18≤X≤32) = P(X=32) - P(X=17)=0,9672 Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

11 ● Ansatz mit r = 7 ● Die Binomialverteilung ist eine diskrete W- Verteilung Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

12 ● Der gesuchte Radius liegt also zwischen den Werten 6 und 7 ● Der Radius r = 7 liegt der gewünschten Wahrscheinlichkeit am nächsten ● r/σ = 7/3,54 ≈1,98 ● Ergebnis: – In einer 1,98 σ Umgebung um den Erwartungswert liegen etwa 95% aller Erfolge. Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

13 ● Ausblick: – Wenn man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähert, dann erhält man für den Wahrscheinlichkeitswert von 95% den Wert 1,96 ● Für unser Beispiel gilt also: – [µ-1,98σ ; µ+1,98σ] = [25-7,01 ; 25+7,01] = [17,99 ; 32,01] – Wir können also bei einer idealen Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 = 95% sagen, dass die Anzahl für Wappen bei 50 Würfen zwischen 18 und 32 liegt. Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

14 Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik ● Wir vergleichen jetzt die vorgelegte Münze, von der wir nicht wissen, wie groß p ist, mit der idealen Münze Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

15 Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik ● Wir vergleichen jetzt die vorgelegte Münze, von der wir nicht wissen, wie groß p ist, mit der idealen Münze ● Zum Vergleich wirft man die vorgegebene Münze auch 50 mal Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

16 Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik ● Wir vergleichen jetzt die vorgelegte Münze, von der wir nicht wissen, wie groß p ist, mit der idealen Münze ● Zum Vergleich wirft man die vorgegebene Münze auch 50 mal ● Tritt dabei Wappen weniger als 18 mal bzw. öfter als 32 mal auf, so hat man zwei Möglichkeiten der Interpretation: Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

17 ● Entweder ist die Münze in Wirklichkeit doch ideal, man hat nur zufällige diese sehr unwahrscheinlichen Ergebnisse erhalten. Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

18 ● Entweder ist die Münze in Wirklichkeit doch ideal, man hat nur zufällige diese sehr unwahrscheinlichen Ergebnisse erhalten. ● Die Münze ist tatsächlich nicht ideal und man erhält dieses Ergebnis, weil bei dieser Münze die Wahrscheinlichkeit für Wappen größer oder kleiner als 0,5 ist. Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

19 ● Entweder ist die Münze in Wirklichkeit doch ideal, man hat nur zufällige diese sehr unwahrscheinlichen Ergebnisse erhalten. ● Die Münze ist tatsächlich nicht ideal und man erhält dieses Ergebnis, weil bei dieser Münze die Wahrscheinlichkeit für Wappen größer oder kleiner als 0,5 ist. ● In dieser Situation wird man sich aufgrund der sehr kleinen Wahrscheinlichkeit (1 – 0,95 = 0,05) für die zweite Interpretationsmöglichkeit entscheiden und im Weiteren davon ausgehen, dass die Münze nicht ideal ist. Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik

20 Zusammenfassung: In der Beurteilenden Statistik versucht man, aus den bei mehrmaligen Durchführungen eines Zufallsexperimentes auftretenden Ergebnissen auf die unbekannte, dem Zufallsexperiment tatsächlich zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu schließen. Das Grundproblem der Beurteilenden Statistik