Aufgaben zum Umgang mit Wissen „Es kommt nicht darauf an, den Schülern einige Rezepte zu geben, es ist 'unendlich besser, ihr Denken und Können so zu entwickeln, dass sie sich bei den verschiedenen Vorfällen des Lebens selbst zu helfen, selbst Rezepte zu schreiben wissen. '“ (Lietzmann 1926) Referentin: Elisa Unbehend Seminar zum semesterbegleitenden fachdidaktischen Praktikum WS 2009/2010 Datum:

Übersicht 1. Mathematikaufgaben im Wandel der Zeit 2. Explorative Aufgaben mit Beispielen (innermathematisch vernetzte Aufgaben) 3. Eigenes Formulieren explorativer Aufgaben 4. Problemlösestrategien nach Polya 5. Bearbeiten konkreter Aufgaben 6. Diskussion

Mathematikaufgaben im Wandel der Zeit Produktorientierte Aufgaben (z.B. eingekleidete Textaufgaben) werden von Anwendungsaufgaben mit hohem Realitätsbezug und Authentizität abgelöst → eine neue „Aufgabenkultur“ Ziel der neuen Aufgaben sollte es sein, die SchülerInnen auf unterschiedlichstem Kompetenzniveau anzusprechen und ihren Umgang mit Wissen so vielfältig wie möglich zu gestalten

Wissensumgang Wissensexploration Wissensorganisation Wissensreflexion als wichtige Merkmale zum Umgang mit Wissen

Explorative Aufgaben Heuristische Aufgaben: Rückwärtsarbeiten, Vorwärtsarbeiten Beispiel: Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um mit seiner Ernte in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An jedem Tor steht ein Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie viele hatte er am Anfang? Aktivitäten: auskundschaften, erforschen, erproben, entdecken, ergründen, erkunden, erfinden, vermuten, schätzen, überschlagen

Explorative Aufgaben Divergente Aufgaben: mehrere Lösungswege möglich, unterschiedliche Ziele können erreicht werden (divergente Aufgaben als eine Unterart offener Aufgaben) Beispiel: Suche (z.B. 10) möglichst verschieden artig aussehende quadratische Gleichungen, die alle die Lösungsmenge {-4; 3} haben. Aktivitäten: erfinden, auswerten, variieren, entwickeln, vermuten, verallgemeinern, abstrahieren, kreieren, konstruieren

Explorative Aufgaben Beziehungshaltige Aufgaben: (Freudenthal) erlauben inner- und außermathematische Verbindungen (Welche Beziehung besteht zwischen Aufgabe und Ergebnis?) Beispiel: Das Entdeckerpäckchen Aktivitäten: verbinden, vernetzen, verknüpfen, Zusammenhänge herstellen, systematisieren, Schlüsse ziehen, Modelle bilden

Das Entdeckerpäckchen A B C = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ __ + __ = ___ __ + __ = ___ __ + __ = ___ D E = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ = ___ __ + __ = ___ Aufgabe: Rechne die 4 Aufgaben in den Päckchen aus. Einige Päckchen kannst du fortsetzen. Trage dort die 5. Aufgabe ein.

Innermathematisch vernetzte Aufgaben Zum Lösen von vernetzten, innermathematischen Aufgaben brauchen die Schüler Wissen und Fertigkeiten aus mehreren Bereichen der Schulmathematik. (z.B. sowohl Wissen aus Algebra, als auch aus der Geometrie) Weiterhin ist es auch möglich, dass die Teilthemen, die in der vernetzten Aufgabe angesprochen werden, in zeitlichem Abstand im Unterricht besprochen wurden.

Innermathematisch vernetzte Aufgaben Beispiel: Gib Gleichungen von Funktionen aus möglichst vielen verschiedenen Funktionsklassen an, deren Graphen symmetrisch zum Ursprung sind.... durch (1/1) und (-1/-1) gehen.... durch (0/1) gehen und monoton Wachsen. Weiteres Beispiel: Formuliere die Gleichung … als Zahlenrätsel. Weiteres Beispiel: Zeichne den Graphen von 2x+12

Eigenes Formulieren explorativer Aufgaben Beispiel: Wandle den Bruch 1/19 in eine Dezimalzahl um. → Beim Umwandeln von 1/19 stöhnt Peter: „Ich glaube, diese Rechnung nimmt nie ein Ende. Die Periode hat mindestens 50 Stellen.“ Petra: „Bisher war die Periodenlänge immer kleiner als der Nenner der umzuwandelnden Bruchzahl. Ich vermute, dass das kein Zufall ist.“ a)Überprüfe Peters Behauptung b) Nimm Stellung zu Petras Vermutung.

Problemlösestrategien und Prinzipien nach Polya Vorwärtsarbeiten Rückwärtsarbeiten Systematisches Probieren Zerlegungsprinzip Invarianzprinzip Transformationsprinzip Analogieprinzip...

Promblemlösestrategien nach Polya 1. Vorwärtsarbeiten: Was ist gegeben? Was weiß ich über das gegebene? Was kann ich daraus ermitteln? Beispiel: Berechne die fehlenden Winkel (Bild)

Problemlösestrategien nach Polya 2. Systematisches Probieren: Bestimmung einer Reihenfolge die mit Sicherheit alle Fälle/Elemente enthält (z.B. mithilfe von Tabellen,...) Beispiel: Zwei Kerzen brennen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ab: Kerze A ist 36 cm lang und brennt mit 3cm pro Stunde ab, Kerze B ist 10 cm lang und brennt mit 1cm pro Stunde ab. Wann sind die beiden Kerzen gleich lang? Weiteres Beispiel: Welche sinnvollen Wörter können aus den Buchstaben E;N;I gebildet werden, wenn jeder Buchstabe nur einmal benutzt werden darf?

Problemlösestrategien nach Polya 3. Invarianzprinzip: Unveränderlichkeit von Aufgabenelementen (es existiert mindestens eine Sache, die sich nicht ändert) Beispiel: Bei einem Puzzle: Ich beginne mit den Randstücken, die alle eine gerade Seite haben

Problemlösen nach Polya Verstehen der Aufgabe : Was ist unbekannt? Was ist gegeben? Wie lautet die Bedingung? Was ist die Absicht der Aufgabe? Welche Art Aufgabe ist es? (z.B. Beweisaufgabe, Bestimmungsaufgabe)? Welche Indikatoren kann ich erkennen? (Hypothese und Folgerung bei Beweisaufgaben, Unbekannte, Daten und Bedingung bei Bestimmungsaufgaben) Ziel : Vertrautwerden mit der Aufgabe (ausgehend von der Formulierung)

Problemlösen nach Polya Ausdenken eines Plans: Habe ich die Aufgabe schon früher gesehen? Kommt sie mir bekannt vor? Kenne ich ähnliche Aufgaben? Habe ich Regeln zum Rechnen solcher Aufgaben? Kann ich die Aufgabe umformulieren? Kann ich verwandte/allgemeinere/speziellere/analoge Aufgaben lösen? Wie? Ziel: Berührungspunkte mit früherem Wissen finden und dadurch eine Grundidee zum Lösen der Aufgabe erhalten

Problemlösen nach Polya Ausführen des Plans: Überzeuge dich von der Richtigkeit jedes Schritts! Kann ich beweisen, dass der Schritt richtig ist? Intuitiv oder formal? Ziel: Die Lösung der Aufgabe darstellen, wobei alle Schritte richtig sind.

Diskussion Elke behauptet: „Die Zahl 0, ist keine rationale Zahl. „ Martina: „Doch, denn sie ist eine periodische Dezimalkommazahl.“ Antje: „ Sprecht ihr über Darstellungen oder Vorstellungen? Ich denke, ihr habt beide Recht.“

Quellen Herget: Mathe-(Klausur-)aufgaben – einmal anders?! In: Hirscher (Hrsg): Wieviel Termumformung braucht der Mensch? Hildesheim: Franzbecker S Herget: Rechnen können reicht...eben nicht! In: mathematik lehren Heft 100, 2000, S Polya: Schule des Denkens. Francke 1949 Sjuts: Aufgabenstellungen zum Umgang mit Wissen(srepräsentationen). MU 47(2001)1 Schulbücher