Quantencomputer Markus Langpeter

Inhalt ● Einleitung ● Grundlagen – Qubits – Quantenregister – Quantengatter ● Algorithmen ● Probleme

Quantencomputer ● Viele mathematische Probleme sind durch klassische Computer „nicht lösbar“ ● Arbeitsgrundlage sind die Gesetze der Quantenmechanik ● Benioff, Feynman, Deutsch

Qubit ● Quanten-Bit – kleinste Informationseinheit ● zwei Basiszustände: |0> und |1> – Spin, Polarisation eines Photons, Energieniveaus in Atomen ● Superpositionsprinzip (Überlagerung): – Qubit kann sich in unendlich vielen Zwischenzuständen gleichzeitig befinden – Messung liefert Basiszustand, zerstört Superposition (Dekohärenz)

Qubit ● Zustand: | ψ > = c 0 |0> + c 1 |1> mit c 0,c 1 ϵ C – |c 0 | 2 +|c 1 | 2 =1 – P(|0>)=|c 0 | 2, P(|1>)=|c 1 | 2 |1> |0> Bloch-Sphere

Quantenregister ● Menge von endlich vielen geordneten Qubits ● 2 n Basiszustände: z.B.: |00>, |01>, |10>, |11> ● Superpositionsprinzip: – Zustand: | ψ > = c o |00>+c 1 |01>+c 2 |10>+c 3 |11> – Messung liefert Basiszustand – Superposition verfällt bei Messung ● Initialisierbarkeit

Quantenregister ● | ψ > = |00>+|10> = (|0>+|1>) |0> – beide Qubits sind voneinander unabhängig ● | ψ > = |00>+|11> – verschränkter Zustand – korreliert

Messung

Quantenregister ● Realisierung z.B. durch Ionenfallen – Ionen werden mittels elektrischer und magnetischer Felder festgehalten – Kühlung in mK Bereich – Zugriff/Manipulation durch Laser

Quantengatter ● Gezielte unitäre Manipulation von Qubits ● technische Realisierung abhängig von Bauweise des Quantencomputers ● Reversibel – Anzahl Eingangssignale = Ausgangssignale

Quantengatter ● NOT aa' N(a|0>+b|1>) = b|0>+a|1> N(|0>-|1>) = -|0>+|1>

Quantengatter ● Hadamard-Transformation aa' H

Quantengatter ● CNOT (Controlled NOT) bb' aa' cN(|01>+|10>) = |01>+|11>

Quantengatter ● CNOT (Controlled NOT) bb' aa' cN(|01>+|10>) = |01>+|11> =XOR

Quantengatter ● Hadamard + CNOT Gatter realisieren Verschränkung b b' a a' H 0 0 | ψ > = |00>| ψ > = |00>+|10>| ψ > = |00>+|11>

Quantengatter ● CCNOT (Toffolio Gatter) – universell (ähnlich NAND) bb' aa' cc' ccN(|011>+|111>) = |011>+|110>

Quantengatter ● CCNOT (Toffolio Gatter) – universell (ähnlich NAND) bb' aa' cc' c' = a b, wenn c=1 = NAND ccN(|011>+|111>) = |011>+|110>

Quantengatter ● CCNOT (Toffolio Gatter) – universell (ähnlich NAND) bb' aa' cc' c' = a b, wenn c=0 = AND ccN(|011>+|111>) = |011>+|110>

Quantengatter ● Halbaddierer (Quantenschaltkreis) b b' (Summe) = a + b a a' c c' (Carry) = a b 0

Algorithmen ● SHOR's Algorithmus – 1994, Peter Shor (AT&T Bell Labs.) – Faktorisierung beliebig großer Zahlen in polynomialer Laufzeit – Quanten-Fouriertransformation – gefährdet u.A. RSA – Faktorisierung der Zahl 15 durch IBM im Jahr 2001 mit einem 7 Qubit Quantencomputer

Algorithmen ● GROVER's Algorithmus – 1996, Lov Grover (AT&T Bell Labs.) – Suche in einer unsortierten Datenbank in O(Sqr(N)) Schritten – gefährdet u.A. DES

Probleme ● Extrem schwierige technische Realisierung ● Relaxation ● Dekohärenz