Effiziente Faktorisierung

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1 Effiziente Faktorisierung
Shors Algorithmus Effiziente Faktorisierung

2 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung
I Motivation Kryptographie (RSA): p, q: große Primzahlen, n: d: relativ prim zu (p-1)(q-1), e aus Schlüssel: öffentlich (e, n), geheim (d, n) Verschlüsseln Entschlüsseln 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Brechen von RSA: n faktorisierbar: p,q: geheimer Schlüssel errechenbar Allerdings exponentielle Laufzeit! „Killerapplikation“ für Quantenrechner 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

4 II Der Algorithmus von Shor
1. Klassische Faktorisierung 2. Faktorisierung mit Quantencomputern 3. Shors Faktorisierung 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

5 1. Klassische Faktorisierung
Mathematische Grundlagen n groß, soll faktorisiert werden Periodisch: (Periode/Ordnung r) 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Besonderheiten: r gerade! Teiler können auch 1 und sein 2 Teiler: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Effizienz Geeignete a: hohe Wahrscheinlichkeit Richtige Periode r: Zufall: raten oder rechnen (alle Möglichkeiten durchprobieren) leider exponentiell viele Möglichkeiten! Worst Case: n ist prim 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Bester klassischer Algorithmus (n: L Bits): Zeitkomplexität: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

9 2. Faktorisierung mit Quantenrechnern
Wo? Bestimmung der Periode Wie? Superposition: alle möglichen Perioden gleichzeitig! rechnen Fourier-Transformation: Extraktion von Frequenzen periodischer Funktionen 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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3. Shors Algorithmus Effizientes Raten von r: Lade alle nötigen x (Superposition!) Anwenden von Fouriertransformation Frequenzen von Grundfrequenz Brauchbares Ergebnis mit hoher Wahrscheinlichkeit 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Shors Algorithmus Schritt 1: Vorbereitung: Zahl n (m Bits) 1<a<n beliebig q beliebig mit Register laden: Zweierpotenz 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Shors Algorithmus Schritt 2: Funktion berechnen: Hadamard-Operator auf 4. Register anwenden: Superposition aller Werte von 0, 1, ... , q-1 im 4. Register 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Berechnung 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Shors Algorithmus Schritt 3: Messung letztes Register Ergebnis y uninteressant Wirkung auf vorderes Register: Vielfache von r, um Offset l verschoben Zustand: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Shors Algorithmus Schritt 4: Fourier-Transformation QFT Offset l jetzt in Phase, nicht im Zustand 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Shors Algorithmus Schritt 5: Messung 4. Register: c aus Messung, q bekannt: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Shors Algorithmus Schritt 6: Errechnen der Periode r aus Kettenbruchzerlegung Bestimmen der Faktoren: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Shors Algorithmus Mögliche Probleme: r ungerade Faktoren sind n und 1 r nicht bestimmbar, Kettenbruchzerlegung endet nicht 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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III Anhang 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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1. Keine Messung Messung setzt 4. Register auf 0 außer an Werten für x von periodische Funktion: Grundfrequenz + Oberschwingungen (in Superposition): Fouriertransformation extrahiert Frequenzspektrum (in Superposition) Ohne Messung: QFT auf 5. Register anwenden 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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2. QFT Verwandt mit FFT Effizienz: Hadamard- und X-Gatter 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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23 3. Kettenbruchzerlegung
Messergebnis: Genauer (Shor): liegt mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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Algorithmus: Terminiert, wenn: Ergebnis: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung

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4. Komplexität Für Shors Algorithmus: 300 lg n Elementargatter n: 130 Stellen: 2 Wochen bei 1MHz n: 260 Stellen: 32 Wochen bei 1MHz Beckman et al. (1996): m-Bit Integer: Zeit: Speicher: 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung