Fachrichtung 6.1 Mathematik Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik Professor Dr. Anselm Lambert Vorbereitungsseminar zum fachdidaktischen Praktikum APO 2003 Aufgaben im Mathematikunterricht Authentische Modellbildung im Mathematikunterricht SS 2010 Referenten: Christian Wiehr & Christian Bohnenberger

Inhaltsverzeichnis 1) Aufgabe zum Maximalvolumen 2) Handyaufgabe aus den Bildungsstandards 3) Aufgaben aus Schulbüchern 4) Trassen

1) Aufgabe zum Maximalvolumen

Quelle: H. Büchter, H. - W. Henn (2008): Der <Mathekoffer, Funktionaler Zusammenhang; Klett-Verlag.

Aufgabe: Berechnung Maximalvolumen Kisten basteln Maximalvolumen schätzen Berechnung mit Wertetabelle, … Veranschaulichung mit dynageo

2) Handyaufgabe aus den Bildungsstandards

13) Vertragshandy oder Kartenhandy? Aufgabenstellung Eine Firma bietet Vertragshandys und Kartenhandys zu folgenden Konditionen an: Vertragshandy Teddy Active AIKON 3410 Handy 0,00 € Grundgebühr monatlich:9,95 € Gesprächskosten pro Minute 0,175 €* SMS 0,19 € Bereitstellungsgebühr:24,95 € (Einmalige Zahlung) Weitere Kosten: keine Kartenhandy Teddy ExtraPlus AIKON 3410 Handy 129,95 € einschließlich 15 € Gesprächsguthaben Grundgebühr monatlich:0,00 € Gesprächskosten pro Minute 0,412 €* SMS 0,19 € Weitere Kosten: keine * Bei der Errechnung der Gesprächskosten pro Minute wurde ein durchschnittlicher Wert angenommen. AIKON 3410 Beschlüsse der KMK, Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, Beschluss vom ; Herausgegeben vom Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland Wolters Kluwer Deutschland GmbH, München. Satz: Satz- und Verlags-GmbH, Darmstadt S. 33/34

Geben Sie eine Kaufberatung, die hilfreich ist für eine Entscheidung zwischen Vertragshandy und Kartenhandy. Gehen Sie bei Ihren Überlegungen von einer Nutzungsdauer von 24 Monaten aus (Vertragslaufzeit) und berücksichtigen Sie die „telefonierten“ Minuten pro Monat. Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung Die Bearbeitung der Aufgabe erfordert die Modellierung einer komplexen realen Situation. Die Schülerinnen und Schüler vertreten die Ergebnisse ihrer Überlegungen argumentativ. Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeine mathematische Kompetenz – mathematisch modellieren (K 3) im Rahmen der Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L 4) erworben haben. Zugelassenes Hilfsmittel ist der Taschenrechner. Beschlüsse der KMK, Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, Beschluss vom ; Herausgegeben vom Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland Wolters Kluwer Deutschland GmbH, München. Satz: Satz- und Verlags-GmbH, Darmstadt S. 33/34

Lösungsskizze mit der Angabe von Leitideen und allgemeinen mathe- matischen Kompetenzen sowie deren Zuordnung zu Anforderungs- bereichen Lösungen und HinweiseLeitideeAnforderungsbereich I II III Lösungsmöglichkeiten: – Berechnung unterschiedlicher konkreter Gesamtkosten für einen Monat (10 min, 20 min, …) und Vergleich. – Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms – Graphisches Lösen – Lösen eines linearen Gleichungssystems

Dabei wird berücksichtigt: – Anschaffungskosten – Grundgebühr – Bereitstellungsgebühr – Gesprächsguthaben – Kosten für monatliche Gesprächsdauer – Die Tatsache, dass eine SMS in beiden Tarifen gleich viel kostet Mögliche Kundenberatung könnte sein: „Wenn Sie mehr als 26 Minuten im Monat telefonieren, dann lohnt sich ein Vertragshandy.“ (Der genaue mathematische Wert beträgt 26,2 min.) L4K3 Beschlüsse der KMK, Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, Beschluss vom ; Herausgegeben vom Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland Wolters Kluwer Deutschland GmbH, München. Satz: Satz- und Verlags-GmbH, Darmstadt S. 33/34

Nach den Bildungsstandards (Beschluss vom ): (K 3) Mathematisch modellieren Dazu gehört: – den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, (L 4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang Die Schülerinnen und Schüler – erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar,

– lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen, – interpretieren lineare Gleichungssysteme graphisch, – bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen und stellen Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph her, – beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen, auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms,

3) Aufgaben aus Schulbüchern

Quelle: H. Heil, J. Kläsner, R. Rau, H. Umla (2003): Mathematik 7, Prozentrechnung Rechnen in Tabellen Funktionen; Softfrutti Verlag –S.69.

Quelle: H. Heil, J. Kläsner, R. Rau, H. Umla (2003): Mathematik 7, Prozentrechnung Rechnen in Tabellen Funktionen; Softfrutti Verlag –S.57.

Quelle: A. Lergenmüller, G. Schmidt (2007): Mathematik Neue Wege 8, Arbeitsbuch für Gymnasien Rheinland-Pfalz; Schroedel-Verlag -S.56.

Quelle: Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur (Hrsg.)(2006): Kompetenzorientierte Diagnose, Aufgaben für den Mathematikunterricht; Stuttgart:: Klett-Verlag – S. 52.

4) Trassen

Aufgabe Gegeben sind zwei Funktionen: f(x) = 0 definiert im Intervall ]- ∞ ; 0] g(x) = x definiert im Intervall [1 ; +∞[ Verbinde die Funktionen durch ein geeignetes Polynom p(x) vom Grad 3! Achte darauf, dass an den Übergängen keine Sprünge oder Knicke vorhanden sind, sodass das Verbindungsstück die beiden Funktionen „glatt“ verbindet.

Lösung 4 Bedingungen müssen erfüllt sein: p(0) = 0 p(1) = 1 p‘(0) = 0 p‘(1) = 1 Nach Lösung des Gleichungssystem ergibt sich folgende Lösung: p(x) = -x³ + 2x²

Paraplot

Beispielaufgabe (Henn, 1991) Ein Bauingenieurteam steht vor folgender Aufgabe: Es soll die beiden parallelen, geradlinigen Straßenenden geeignet miteinander verbinden: a. Begründen Sie, wieso folgende Lösungen unfallträchtig und daher nicht zweckmäßig sind: Hinweis: Beachten Sie, wie ein Autofahrer bei den Punkten A und B jeweils das Lenkrad halten muß.

b. Begründen Sie, warum daher die fragliche Kurve sowohl bei A als auch bei B einen Wendepunkt haben muß. Setzen Sie die Funktionsgleichung dieser Kurve als ein Polynom möglichst kleinen Grades an, und bestimmen Sie dieses Polynom. Wählen Sie für den Ansatz ein geeignetes Koordinatensystem. c. Für welche a,b ε IR ist die aufgestellte Funktion definiert? Wie könnte man die Lage der beiden Straßenstücke deuten, wenn man in der Funktion a< 0 bzw. b< 0 setzt? Gibt der Graph dieser Funktion dann auch eine sinnvolle Lösung des Straßenbauproblems? A. Lambert, U. Peters (2005): Straßen sind keine Splines; Universität des Saarlandes, Fachrichtung 6.1 – Mathematik, Preprint Nr. 139; Saarbrücken

Anmerkung zur Aufgabe von Henn Problem: „Kann der Graph der anvisierten Funktion überhaupt in irgendeinem Fall eine sinnvolle Lösung des Straßenbauproblems geben? Bei der Modellierung und Mathematisierung wird hier eine Straße real endlicher, positiver Breite auf eine irreal unendlich schmale „fragliche Kurve“ reduziert. Vor allem aus dieser Modellannahme folgt dann das Problem des Krümmungsrucks – ein Problem, das es in Wirklichkeit zunächst nicht geben muss und häufig auch gar nicht gibt, denn bei hinreichender Straßenbreite ist stets genug Platz zum Einlenken vorhanden!...“  Kombination von Gerade und Kreisbogen ist gar nicht so schlecht A. Lambert, U. Peters (2005): Straßen sind keine Splines; Universität des Saarlandes, Fachrichtung 6.1 – Mathematik, Preprint Nr. 139; Saarbrücken

Beispielaufgabe Zwei Fernstraßen s1, von links oben kommend, und s2, welche auf der x-Achse verläuft, treffen sich mitten im Ort. Um die Belästigung der Anwohner abzuwenden, wird eine Umgehungsstraße geplant. Gesucht ist eine Funktion, die in den Punkten P1 und P2 glatt an die bestehenden Straßen s1 und s2 anschließt und den Ortskern dadurch umgeht, dass sie durch den Punkt P3 verläuft. [...] Bestimmen Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion, die die obigen Bedingungen erfüllt [...] An welchen Stellen ändert sich die Lenkrichtung auf der Trasse zum Graphen von f ? [...] A. Lambert, U. Peters (2005): Straßen sind keine Splines; Universität des Saarlandes, Fachrichtung 6.1 – Mathematik, Preprint Nr. 139; Saarbrücken

Anmerkung Mathematisierung Hinführung zu einem Polynom Wendepunkte in „Änderung der Lenkrichtung“ eingekleidet  zweite Ableitung muss Vorzeichenwechsel haben ABER: Die Lenkrichtung ändert sich nicht nur an den Wendepunkten, sondern ändert sich bei einem Polynom an beinahe jeder Stelle.  Polynome werden in Wirklichkeit nicht zur Trassierung verwendet, weil man konstante Krümmungen benötigt vgl. A. Lambert, U. Peters (2005): Straßen sind keine Splines; Universität des Saarlandes, Fachrichtung 6.1 – Mathematik, Preprint Nr. 139; Saarbrücken

Unauthentische Aufgaben d ) Der Graph der Funktion f soll den Straßenverlauf durch einen Naturpark wiedergeben, der landschaftlich sehr reizvoll ist, so dass die Autofahrer nicht zu schnell fahren, um auch die Aussicht genießen zu können. Dazu müssen die beiden schon bestehenden Straßenteile für x 3 geeignet miteinander verbunden werden. Die positive x-Achse stellt einen großen Fluss dar, dem die zu bauende Straße nicht zu nahe kommen darf. [...] Beurteilen Sie kritisch die Qualität Ihrer Lösung anhand einer graphischen Skizze [...]. A. Lambert, U. Peters (2005): Straßen sind keine Splines; Universität des Saarlandes, Fachrichtung 6.1 – Mathematik, Preprint Nr. 139; Saarbrücken

Diskussion Maßnahmen der „Aufgabenmacher“: Zum Zwecke der Prüfungsaufgaben, müssen Aufgaben vereinfacht werden Trassen werden somit als Polynome dargestellt Erstellung vieler Aufgaben, die sehr wirklichkeitsfremd vereinfacht wurden vgl. A. Lambert, U. Peters (2005): Straßen sind keine Splines; Universität des Saarlandes, Fachrichtung 6.1 – Mathematik, Preprint Nr. 139; Saarbrücken

Beispielrechnung einer Schulklasse (optional)

Ergebnis Polynom 5. Grades ist gemäß unserer rechnerischen Fähigkeiten am besten geeignet  aber: Straßen sind keine Polynome In Realität Verwendung von Klothoiden, da diese proportionalen Krümmungsanstieg zur Länge aufweisen vgl. A. Lambert, U. Peters (2005): Straßen sind keine Splines; Universität des Saarlandes, Fachrichtung 6.1 – Mathematik, Preprint Nr. 139; Saarbrücken

Klothoiden A. Lambert, U. Peters (2005): Straßen sind keine Splines; Universität des Saarlandes, Fachrichtung 6.1 – Mathematik, Preprint Nr. 139; Saarbrücken

Klothoiden A. Lambert, U. Peters (2005): Straßen sind keine Splines; Universität des Saarlandes, Fachrichtung 6.1 – Mathematik, Preprint Nr. 139; Saarbrücken

Literaturverzeichnis H. Büchter, H. - W. Henn (2008): Der <Mathekoffer, Funktionaler Zusammenhang; Klett-Verlag H. Heil, J. Kläsner, R. Rau, H. Umla (2003): Mathematik 7, Prozentrechnung Rechnen in Tabellen Funktionen; Saarbrücken: Softfrutti Verlag –S.69 H. Heil, J. Kläsner, R. Rau, H. Umla (2003): Mathematik 7, Prozentrechnung Rechnen in Tabellen Funktionen; Saarbrücken: Softfrutti Verlag –S.57. A. Lambert, U. Peters (2005): Straßen sind keine Splines; Universität des Saarlandes, Fachrichtung 6.1 – Mathematik, Preprint Nr. 139; Saarbrücken A. Lergenmüller, G. Schmidt (2007): Mathematik Neue Wege 8, Arbeitsbuch für Gymnasien Rheinland-Pfalz; Hannover: Schroedel-Verlag - S.56. Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur (Hrsg.) (2006): Kompetenzorientierte Diagnose, Aufgaben für den Mathematikunterricht; Stuttgart: Klett-Verlag – S. 52. Beschlüsse der KMK, Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, Beschluss vom ; Herausgegeben vom Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland Wolters Kluwer Deutschland GmbH, München. Satz: Satz- und Verlags-GmbH, Darmstadt S. 33/34