I NTEGRALRECHNUNG Referenten: Judith Neuthard und Eric Barré 1 Didaktik III: Der GTR im MU StRin Pia Scherer

G LIEDERUNG Einordnung in den Lehrplan Einführendes Beispiel: Rundkursaufgabe Arbeitsphase 1: Von der Änderung zum Bestand Arbeitsphase 2: Herleitung des Integrals Arbeitsphase 3: Eigenschaften des Integrals Reflexion 2

E INORDNUNG IN DEN L EHRPLAN Klassenstufe 11, 2. Halbjahr 3 Quelle: Lehrplan Saarland (Mathematik) für Gymnasium: E-Kurs (GOS)

E INORDNUNG IN DEN L EHRPLAN 4 Quelle: Lehrplan Saarland (Mathematik) für Gymnasium: E-Kurs (GOS)

V ERLAUF DER U NTERRICHTSREIHE – E RSTER S CHRITT Beispiele zu „Von der Änderung zum Bestand“ → Rekonstruktion eines Bestandes aus Änderungsraten durch Berechnen von Flächeninhalten Beispiel: Rundkursaufgabe (händisch) Beispiel: Pumpspeicherwerk (unter Einsatz eines GTR) 5

E INFÜHRENDES B EISPIEL Rundkurs: 6 Quelle: Geist 2005

E INFÜHRENDES B EISPIEL Lösung 7 Quelle: Geist 2005

E INFÜHRENDES B EISPIEL Ermitteln Sie anhand des Geschwindigkeit-Zeit-Diagramms näherungsweise die in den Intervallen [0; 0,3], [0,3; 0,5], [0,7; 0,8] zurückgelegten Strecken (Hinweis s = v x t) 8 Quelle: Geist 2005

E INFÜHRENDES B EISPIEL Lösung: 9 Quelle: Geist 2005

E INFÜHRENDES B EISPIEL Ermitteln Sie die ungefähre Länge des Rundkurses! 10 Quelle: Geist 2005

E INFÜHRENDES B EISPIEL Lösung: 11 Quelle: Geist 2005

E INFÜHRENDES B EISPIEL – R EFLEXION 12 Wir entdecken: Die zurückgelegte Weglänge entspricht dem Flächeninhalt „unter dem Geschwindigkeits- Zeit-Diagramm“ (d. h. dem Inhalt der Fläche, die von der Zeit-Geschwindigkeits-Kurve, der x-Achse, der y-Achse und der Senkrechten x = 1,5 begrenzt wird) (Scherer, 2009) Worin besteht hier der Bezug zu „Von der Änderung zum Bestand“? Änderung: Bestand: Geschwindigkeit (in km/h) als Änderung des Weges bezüglich der Fahrtzeit (in min.) Die zurückgelegte Strecke (in km)

A RBEITSPHASE 1 Aufgabe 1: Pumpspeicherwerk Zeit: ca. 15 min. 13

A RBEITSPHASE 1 14 a.) Stellen Sie die Daten mit dem GTR graphisch dar. b.) Wie groß ist näherungsweise die Gesamtwassermenge die zwischen 20 Uhr und 22 Uhr einfließt? c.)Zusatz: Nähern Sie den Flächeninhalt mit Hilfe von Trapezsummen an. Quelle: Griesel et al a, S. 225

A RBEITSPHASE 1 Lösung: Aufgabe 1 a.) Graphische Darstellung der Messwerte. 15 Mit Hilfe der Tabellenkalkulation werden die Werte für die x- und y- Achse eingegeben. Anschließend werden die Daten mit Graph visualisiert. Dabei ist darauf zu achten, dass es sich hierbei um eine diskrete Funktion handelt.

A RBEITSPHASE 1 Lösung: Aufgabe 1 b.) Berechnung der Ober- und Untersumme. 16 In Spalte C wird die Obersumme berechnet. In Spalte D wird die Untersumme berechnet. Die Intervallbreite beträgt dabei 15 (min.). Die Obersumme berechnet sich aus der Summe von C1:C9. Die Untersumme berechnet sich aus der Summe von D1:D9. Der Mittelwert ergibt sich aus (Obersumme + Untersumme) ÷ 2.

A RBEITSPHASE 1 Lösung: Aufgabe 1.c) In Tabellenkalkulation: C1 = (B1 + B2) ÷ 2 x 15 Flächeninhalt eines Trapezes allgemeine Formel: A = (a + c) ÷ 2 x h  mit C1 Copy und Paste die Spalte D bis D9 füllen D1 = CellSum (C1 : C9) Hier wird die Summe aller Trapeze berechnet 17

V ERLAUF DER U NTERRICHTSREIHE – A USBLICK AUF DEN NÄCHSTEN S CHRITT Reflexion zu Aufgabe 1: Pumpspeicheraufgabe Warum eignet sich hier der Einsatz eines GTR? 18

V ERLAUF DER U NTERRICHTSREIHE – Z WEITER S CHRITT Die Bearbeitung von Aufgaben zu „Von der Änderung zum Bestand“ führt zu dem Problem der Berechnung von krummlinig begrenzten Flächen. Das Problem der Ermittlung von krummlinig begrenzten Flächen wird nun von einem Kontext losgelöst und als innermathematisches Problem betrachtet. 19

A RBEITSPHASE 2 Aufgabe 2: Entdecken des Integrals Zeit: ca. 15 min 20

A RBEITSPHASE 2 Lösung: Aufgabe 2.) Approximation des Flächeninhaltes unter f(x) = x² 21 Mit Hilfe der gezeigten Summenformel wird die Untersumme beispielhaft für 10 Teilintervalle berechnet. Mit Hilfe der gezeigten Summenformel wird die Obersumme beispielhaft für 10 Teilintervalle berechnet. Der tatsächliche Wert liegt zwischen Ober- und Untersumme. Annäherung durch den Mittelwert.

V ERLAUF DER U NTERRICHTSREIHE – A USBLICK AUF DEN NÄCHSTEN S CHRITT Reflexion zu Aufgabe 2: Approximation des Flächeninhaltes Gegeben ist die Normalparabel. Entwickeln Sie ein Verfahren, um den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall [0; 1] möglichst genau zu bestimmen! 22 Die Annäherung wird mit der Anzahl der Zerlegungen immer genauer  Obersumme = Untersumme

H ERLEITUNG DER I NTEGRALDEFINITION Der gesuchte Flächeninhalt A liegt zwischen der Summe der Flächeninhalte der „unteren“ Kästchen und der Summe der Flächeninhalte der „oberen“ Kästchen: Je feiner die Zerlegung des Intervalls [0, 1] in Teilintervalle (d. h. je größer die Zahl n ), desto genauer wird der Flächeninhalt approximiert. Man beobachtet in Aufgabe 2: Unter- und Obersumme über dem Intervall [0;1] konvergieren für n → ∞ gegen denselben Grenzwert, Unter- und Obersumme sowie ihr Grenzwert für n → ∞ werden in einem nächsten Schritt für beliebige Intervalle [a, b] betrachtet und schließlich - falls er existiert - als Integral definiert 23 Untersumme (s n ) < A < Obersumme (S n )

24 Quelle: Griesel et al a, S.231

A RBEITSPHASE 3 Aufgabe 3 - 5: Entdecken der Eigenschaften des Integrals Zeit: ca. 20 min. 25

A RBEITSPHASE 3 Lösung: Aufgabe 3 26 Quelle: Griesel et al a, S. 233

A RBEITSPHASE 3 Lösung: Aufgabe 4 27 Quelle: Griesel et al b, S. 263

A RBEITSPHASE 3 Lösung: Aufgabe 5 28 Quelle: Griesel et al b, S. 264

V ERLAUF DER U NTERRICHTSREIHE – A USBLICK AUF DEN NÄCHSTEN S CHRITT 29 Quelle: Griesel et al a, S. 231

D ISKUSSION – R EFLEXION Mehrwert durch den GTR 30 o Der Einsatz eines GTR bietet die Möglichkeit der Behandlung des Integralbegriffs, ohne eine zwingend vorhergehende Behandlung von Stammfunktionen. → Fokus wird gelegt auf: o die Verknüpfung des Integralbegriffs mit der Vorstellung des gemeinsamen Grenzwertes von Ober- und Untersummen, nicht auf die Berechnung von Stammfunktionen o die Abgrenzung von integrierbaren Funktionen zu Funktionen, die eine Stammfunktion besitzen. o das selbstständige Entdecken der geometrischen Definition des Integralbegriffs als Summe orientierter Flächeninhalte sowie der Eigenschaften des Integrals

D ISKUSSION – R EFLEXION Mehrwert durch den GTR 31 o GTR als „Rechenknecht“: bei der Berechnung der Ober- und Untersummen bzw. Rechtecksummen sowie bei der Berechnung von bestimmten Integralen  Konzentration auf die Ausbildung des Integralbegriffs o GTR als Medium zur Darstellung: Anschauliche graphische Darstellung des Flächeninhaltes o GTR als Entdecker: Schüler entdecken eigenständig das Integral (als gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersumme) und dessen Eigenschaften

A USBLICK – WEITERFÜHRENDE A UFGABEN 32 Annäherung von Volumenintegralen mittels Ober- und Untersummen: Quelle: Griesel et al a, S.226

A USBLICK – WEITERFÜHRENDE A UFGABEN 33 Berechnung des Inhaltes von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen Quelle: Griesel et al a, S.256

L ITERATURVERZEICHNIS Geist, Lutz (2005): Bericht über die ersten drei Wochen des Einsatzes des Taschencomputers VOYAGETM 200 im Grundkurs Mathematik, Klasse 12. In: Lehmann, Eberhard: Mathematik mit CAS im Grundkurs. Unterricht – Strategien – Klausuren – Abitur. Das Berliner CAS-Projekt Sekundarstufe 2. Materialien für Texas Instruments CAS-Rechner. Griesel, Heinz et al. (2006 a): Elemente der Mathematik. Gesamtband SII. Mathematik mit neuen Technologien. Schroedel. Griesel, Heinz et al. (2006 b): Elemente der Mathematik. Gesamtband SII. Mathematik mit neuen Technologien. Lösungen Teil 1: Analysis. Schroedel. Lehrplan Saarland (Mathematik) für Gymnasium: E-Kurs (GOS) Juni2008.pdf Scherer, Pia (2009): Einführung in die Integralrechnung im LK Mathematik unter Verwendung eines CAS-Rechners. Pädagogische Arbeit für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen im Fach Mathematik 34

ENDE Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! 35