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Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Konvektive Massenflüsse III In dieser Vorlesung wollen wir uns nochmals mit den konvektiven Massenflüssen befassen,

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1 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Konvektive Massenflüsse III In dieser Vorlesung wollen wir uns nochmals mit den konvektiven Massenflüssen befassen, da uns immer noch ein umfassendes Bild der Physik solcher Vorgänge fehlt. Wir wollen damit beginnen, uns den kapazitiven Feldern nochmals zuzuwenden. Wir werden uns sodann mit der inneren Energie der Materie befassen. Schliesslich werden wir diese Erkenntnisse auf allgemeine Transportphänomene ausdehnen, bei welchen Massen- flüsse einen integralen Bestandteil der Energieflüsse ausmachen.

2 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Übersicht Kapazitive FelderKapazitive Felder Die innere Energie der MaterieDie innere Energie der Materie Der Bus-bond und die Bus-verknüpfungDer Bus-bond und die Bus-verknüpfung Wärmeleitung Volumenarbeit Das allgemeine AustauschelementDas allgemeine Austauschelement Mehrphasensysteme Verdunstung und KondensationVerdunstung und Kondensation Mischungsthermodynamik Multielementsysteme

3 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Kapazitive Felder III Betrachten wir kurz die folgende elektrische Schaltung: C1C1 C2C2 C3C3 i1i1 i2i2 i3i3 i 1 -i 3 i 2 +i 3 u1u1 u2u2 i 1 – i 3 = C 1 · du 1 /dt i 2 + i 3 = C 3 · du 2 /dt i 3 = C 2 · (du 1 /dt – du 2 /dt ) i 1 = ( C 1 + C 2 ) · du 1 /dt – C 2 · du 2 /dt i 2 = – C 2 · du 1 /dt + ( C 2 + C 3 ) · du 2 /dt C1C1 C2C2 C3C3 i1i1 i2i2 i3i3 i3i3 i3i3 i 1 -i 3 i 2 + i 3 u1u1 u1u1 u1u1 u2u2 u2u2 u2u2 u 1 -u 2

4 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Kapazitive Felder IV i 1 = ( C 1 + C 2 ) · du 1 /dt – C 2 · du 2 /dt i 2 = – C 2 · du 1 /dt + ( C 2 + C 3 ) · du 2 /dt i1i2i1i2 = ( C 1 + C 2 ) – C 2 – C 2 ( C 2 + C 3 ) · du 1 /dt du 2 /dt i1i2i1i2 = ( C 2 + C 3 ) C 2 C 2 ( C 1 + C 2 ) · du 1 /dt du 2 /dt C 1 C 2 + C 1 C 3 + C 2 C 3 Symmetrische Kapazitätsmatrix C1C1 C2C2 C3C3 i1i1 i2i2 i3i3 i3i3 i3i3 i 1 -i 3 i 2 + i 3 u1u1 u1u1 u1u1 u2u2 u2u2 u2u2 u 1 -u 2 0 CF i1i1 u1u1 0 i2i2 u2u2

5 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Volumen- und Entropiespeicher Sehen wir uns nochmals die Situation der letzten Vorlesung an. 010 C I C C th 0SF0 C th S/V Es war kein Zufall, dass ich die beiden Kapazitäten so nahe beieinander ge- zeichnet habe. In Wirklichkeit handelt es sich um zwei Ports desselben kapazitiven Feldes. Schliesslich sind ja Wärme und Volumen nur zwei verschiedene Eigenschaften derselben Materie.

6 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Die innere Energie der Materie I Wie wir bereits gesehen haben, gibt es drei verschiedene Speichergrössen der Materie: Diese drei Speichergrössen sind verschiedene Speicher- eigenschaften desselben Mediums. Somit handelt es sich um ein Speicherfeld. Dieses Speicherfeld ist kapazitiver Natur. Das kapazitive Feld speichert die innere Energie der Materie. Masse Volumen Wärme

7 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Innere Energie II Die Änderung der inneren Energie in einem System, d.h. der Gesamtleistungsfluss in das kapazitive Feld hinein, kann wie folgt geschrieben werden: Dies ist die Gibbssche Gleichung. U = T · S - p · V + i · N i i ···· WärmeflussMassenfluss Volumenfluss Fluss der inneren Energie Chemisches Potential Molarer Massenfluss

8 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Innere Energie III Die innere Energie ist proportional zur Gesamtmasse n. Durch Normierung mit n können wir alle extensiven Variablen intensiv machen. Somit: u = U n s = S n v = V n n i = NiNi n i d dt (n·u) = T · d dt (n·s) - p · d dt (n·v) + i · (n· n i ) d dt i d dt (n·u) - T · d dt (n·s) + p · d dt (n·v) - i · (n· n i ) = 0 d dt

9 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Innere Energie IV i d dt (n·u) - T · d dt (n·s) + p · d dt (n·v) - i · (n· n i ) = 0 d dt i du dt - T · + p · - i · n · [ ds dt dv dt dnidni ] = 0 + dn dt · [ u - T · s + p · v - i · n i i ] Diese Gleichung muss gelten unabhängig von der Menge n, somit: = 0 u - T · s + p · v - i · n i i i du dt - T · + p · - i · ds dt dv dt dnidni = 0 Fluss der inneren Energie Innere Energie Hier nun endlich die Erklärung, warum mit merkwürdigen Ab- leitungen gerechnet werden durfte.

10 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Innere Energie V U = T · S - p · V + i ·N i i U = T · S - p · V + i · N i + T · S - p · V + i · N i i ···· i · · · = T · S - p · V + i · N i i · · · T · S - p · V + i · N i = 0 · · · Dies ist die Gibbs-Duhem Gleichung.

11 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Das kapazitive Feld der Materie C C C GY T S · p q i i V p · p · V T · T · S S i · i · nini nini CF

12 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Vereinfachung Für den Fall, dass keine chemischen Reaktionen stattfinden, ist es möglich, die molaren Massenflüsse durch gewöhn- liche Massenflüsse zu ersetzen. In diesem Fall wird das chemische Potential durch das Gibbssche Potential ersetzt.

13 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Bus-Bond und Bus-0-Verknüpfung Die drei äusseren Beine des CF-Elements können zusammen- gebunden werden. p q T S g M CF CC C 3 Ø CF

14 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Nochmals Wärmeleitung CF CF 1 T 2 T S. T S. 1 S mGS 2 T ØØ T T S. 1 2 S. 1 2 S. 1x S. 2x T 1 33 CF 1 CF 2 33 HE

15 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Die Volumenarbeit p q q 1 1 p 2 0 GS 2 T 1 T Ø Ø 3 3 CF 1 CF 2 pq p p 2 q 2 q S 1x. S 2x. CF 1 CF 2 33 PVE Druck wird ausgeglichen. Es wird hier angenommen, dass die Trägheit vernachlässigt werden darf (relativ kleine Massen und/oder Geschwin- digkeiten), und dass beim Ausgleich Reibung im Spiel ist. Das Modell ist sinnvoll, wenn der Ausgleich lokal erfolgt, d.h. wenn das Medium nicht sehr stark bewegt wird.

16 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Allgemeines Austauschelement I p q 1 GS 0 1 p q mGS 0 T S. 1 T S g M. 1 g M. 2 Sw Die drei Flüsse sind über die RS-Elemente miteinander gekop- pelt. Schaltelement in Bond- graphennotation. Dieses wurde noch nicht vor- gestellt.

17 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Allgemeines Austauschelement II Beim allgemeinen Austauschvorgang werden gleichzeitig die Temperaturen, die Drücke und die Gibbsschen Potentiale ausgeglichen. Es handelt sich dabei um ein Widerstandsfeld. ØØ 3 RF 3 33 CF 1 CF 2, S 11, S 22

18 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Mehrphasensysteme Wir müssen nun auch Phänomene wie Verdunstung und Kondensation berücksichtigen. CF gas 3 Ø HE, PVE, Verdunstung (und Kondensation) 3 CF fl 3 Ø 3

19 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Verdunstung (Verdampfung) Der Massen- und Energieaustausch zwischen kapazitiven Materiespeichern (CF-Elementen), die verschiedene Phasen repräsentieren, wird durch spezielle Widerstands- felder (RF-Elemente) bewerkstelligt. Die Massenflüsse werden als Funktion des Drucks und des entsprechenden Sättigungsdrucks berechnet. Die Volumenflüsse werden als Produkt der Masseflüsse mit dem Sättigungsvolumen bei der gegebenen Temperatur berechnet. Die Entropieflüsse werden überlagert mit der Verdunstungsenthalpie (bei der Verdunstung wird dem thermischen Bereich Wärme entzogen latente Wärme ).

20 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Kondensation an kalten Oberflächen Hier muss die Grenzschicht berücksichtigt werden. CF fl CF Gas CF Oberfläche 3 3 Ø Ø Rand- schicht 3 3 Wärmeleitung (HE) Volumenarbeit (PVE) Kondensation und Verdunstung 33 HE PVE RF 3 3 HE PVE RF CF fl CF Gas 3 3 Ø Ø 3 3 T S. Wärmeleitung (HE) Volumenarbeit (PVE) Kondensation und Verdunstung HE gas s T S HE fl s. Grenzschicht Ø 3

21 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Mischungsthermodynamik Beim Mischen von Flüssigkeiten oder Gasen entsteht zusätzliche Entropie. Diese Mischungsentropie muss unter den teilnehmenden Komponenten verteilt werden. Die Verteilung ist eine Funktion der Massenanteile. Normalerweise sollten CF-Elemente nichts voneinander wissen. Beim Mischen ist dies unvermeidbar. Die benötigte Information wird ausgetauscht. CF 1 2 MI {M 1 } {x 1 {M 2 } {x 2

22 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Mischungsentropie Die Mischungsentropie wird dem Gibbsschen Potential entzogen. T S. p q g 1 (T,p) 1 M. 1 T S. p q 1 1 M. 1 mix T RS M. 1 g 1 S id mix 1 CF 11 CF 12 T S. p q g 2 (T,p) 1 M. 2 T S. p q 2 2 M. 2 mix T RS M. 2 g 2 S id mix 2 CF 21 CF 22 MI x 21 x 11 M 21 M 11 HE PVE.. Es wurde hier ange- nommen, dass die zu mischenden Liquide dieselben Temperaturen und Drücke aufweisen.

23 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 T2T2 S. p2p2 q g 2 (T 2,p 2 ) 1 M. 2 T 2 mix S. p 2 mix q 2 2 g 2 (T 2,p 2 ) M2M2. mix CF 21 CF 22 MI HE PVE RS M. 2 g 2 S 2. RSmRS 0 p 2 T 2 q 2 S2S2. T 2 mix T1T1 S. p1p1 q g 1 (T 1,p 1 ) 1 M. 1 T 1 mix S. p 1 mix q 1 1 g 1 (T 1,p 1 ) M1M1. mix CF 11 RS M. 1 g 1 S 1. RSmRS 0 p 1 T 1 q1q1 S1S1. T 1 mix CF 12 Die zu mischenden Liquide können auch unterschiedliche Tem- peraturen oder Drücke aufweisen.

24 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Konvektion in Multielementsystemen

25 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Zweielement-, Zweiphasen-, Zweiunterteilungs- konvektives System Gas CF 11 Fl. CF 11 Fl. CF 21 Gas CF 21 Ø Ø Ø Ø 3 PVE HE 3 Kondensation/ Verdunstung PVE HE Kondensation/ Verdunstung PVE Gas CF 12 Fl. CF 12 Fl. CF 22 Gas CF 22 Ø Ø Ø Ø 3 PVE HE 3 Kondensation/ Verdunstung PVE HE 3 Kondensation/ Verdunstung PVE 3 HE 3 RF PVE E HE PVE RF HE PVE RF 3 3 PVE HE Phasen- grenze 3 PVE HE 3 3 PVE HE 3 3 PVE HE 3 3 PVE HE 3 MI {x 21, S E 21, V E 21 } {M 21, T 21, p 21 } MI V ges + {M 11, T 11, p 11 } {x 21, S E 21, V E 21 } {M 12, T 12, p 12 } {x 12, S E 12, V E 12 } {M 22, T 22, p 22 } {x 22, S E 22, V E 22 }

26 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Konzentrationenaustausch Es mag sein, dass verschiedene Unterteilungen nicht völlig homogen sind. Dann müssen auch Konzentrationen aus- getauscht werden. CF i 3 Ø 33 HE PVE CE 3 Ø CF i

27 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Referenzen I Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 9.Continuous System ModelingChapter 9 Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), Modeling convective flows using bond graphs, Proc. ICBGM01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 276 – 284.Modeling convective flows using bond graphs

28 Anfang Präsentation 12. Januar, 2005 Referenzen II Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), Modeling multi- phase systems using bond graphs, Proc. ICBGM01, Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, Arizona, pp. 285 – 291.Modeling multi- phase systems using bond graphs Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), Modeling multi- element systems using bond graphs, Proc. ESS01, European Simulation Symposium, Marseille, France, pp. 758 – 766.Modeling multi- element systems using bond graphs


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