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Versuchsplanung Literatur Ledolter, Burrill, Statistical Quality Control : Kap.14: Principles of Effective Experi- mental Design; Kap.15: Principles of.

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1 Versuchsplanung Literatur Ledolter, Burrill, Statistical Quality Control : Kap.14: Principles of Effective Experi- mental Design; Kap.15: Principles of Effective Experimental Design; Kap.16: Taguchi Design Methods for Product and Process Improvement. Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.7: Design of Experiments; Kap.8: Robust Design.

2 Versuchsplanung2 Experiment Möglichkeit, Wissen über die uns interessierenden Prozesse zu erwerben, etwa um Verbesserungspotentiale zu identifizieren Entscheidung darüber, welche von mehreren in Frage kommenden Erklärungen für ein Qualitätsproblem zutrifft Systematische Methode, Information über das Wirken und Zusammen-wirken von (Prozess-)faktoren zu sammeln

3 Versuchsplanung3 Lernprozesse: Beispiele Kundenbefragung zeigt Notwendigkeit einer Änderung des Bestellprozesses, Bedarf an Schulung der Mitarbeiter, etc. Annahmekontrolle gibt Hinweise auf Mängel in der Produktion eines Lieferanten Prozesskontrolle hilft, special causes der Variation zu identifizieren

4 Versuchsplanung4 Prinzipien und Regeln, nach denen Experimente, d.i. das aktive Sammeln von Information, gestaltet werden damit sie die notwendigen Informationen bei effizientem Einsatz der Ressourcen liefern … a well-planned experiment increases the precision of the results 10- to 12-fold for the same cost … (R.A. Fisher)

5 Versuchsplanung5 Experimente - Fragestellungen Material A oder Material B? Verfahren mit bestem Output? Ertrag verbessern? (Kombination von Temperatur und Druck) Stahl einer bestimmten Härte (Erzqualität, Zusätze, Temperatur, Abkühlgeschwindigkeit, etc.) Produktionsprozess: Zielwert, geringste Variation? (Welche Kombination der Input-Faktoren?)

6 Versuchsplanung6 20 Studierende, Material der Sohle: A, B Plan 1: Je 10 Studierende tragen Schuhe mit A und B; A und B werden zufällig zugeordnet (vollständig randomisiertes Experiment) Plan 2: Jeder Studierende trägt je einen Schuh mit A und B; A wird zufällig am linken oder rechten Schuh getragen (randomisiertes Block-Experiment) Dauerhaftigkeit von Sohlen

7 Versuchsplanung7 Ertrag eines chem. Prozesses hängt ab von Temperatur (500 o, 600 o ) Druck (60kg/cm 2, 80kg/cm 2 ) Katalysator (A, B) 8 Faktorkombinationen je Kombination ein Durchlauf des Experiments (eine Wiederholung) Randomisierung der Reihenfolge!

8 Versuchsplanung8 Aushärtezeit von Gips Variabilität soll kontrolliert werden Große Zahl von potentiellen Einflussfaktoren z.B.: die Wirkung der Kalzinierung (Ausglühen der Mischung von Gipskörnern und Zitronensäure) hängt vermutlich ab von Menge, Temperatur und Säurekonzentration

9 Versuchsplanung9 Experimente: Wichtige Themen Ziele eines Experiments Verallgemeinerbarkeit Response-Variable Faktoren

10 Versuchsplanung10 Ziele eines Experiments Vergleich zweier Methoden (z.B.: Material von Schuhsohlen) Optimierung des Ertrages (Ertrag eines chemischen Prozesses) Minimieren der Variabilität der Response- Variablen (Aushärtezeit von Gips) Adjustieren der Response-Variablen nahe dem Zielwert

11 Versuchsplanung11 Verallgemeinerbarkeit Gültigkeit eines Experiments ist beschränkt auf Bedingungen des Experiments (Faktorwerte, regional, etc.) Achtung! Off-line Experiment vs. on- line Produktion

12 Versuchsplanung12 Response-Variable univariat (z.B. Ertrag) oder multivariat (z.B. Ertrag, Reinheit) quantitativ (z.B. Menge) oder qualitativ (z.B. Geschmack, Qualität)

13 Versuchsplanung13 Faktoren interessierende (primäre) Faktoren nicht interessierende (sekundäre) Faktoren Blocken ist gute Strategie, den Effekt von sekundären Faktoren zu eliminieren

14 Versuchsplanung14 Beispiel: Kugelschreiber Ausschussquote hängt ab von Qualität der Tinte (A oder B) Tag der Produktion? Nicht geblockt: Do, Fr: 1.5% (A), Sa, So: 5.8% (B) Blocken hilft gegen Vermengen DoBABABBAAAB FrBBABBAABAA SaAAABBBABBA SoBAABBAABAB

15 Versuchsplanung15 Statistische Prinzipien Verwenden des Blockdesigns Block: Teilmenge der UE, die ähnliche Bedingungen hinsichtlich eines sekundären Faktors aufweist Randomisieren: Zufälliges Zuordnen der UE zu den Behandlungen Eliminiert die Wirkung nicht kontrollier- barer Faktoren "Blocke alles, was zu blocken ist, und randomisiere, was nicht zu blocken ist"

16 Versuchsplanung16 Statistische Prinzipien, Forts. Beachte Wechselwirkung von Faktoren Vermeide change-one-factor-at-a-time Vorgangsweise Strategie des Experimentierens Kleine Schritte, sequentielle Vorgangsweise Beste Zeit, ein Experiment zu planen, ist nach dem Experiment 25%-Regel (Box, Hunter & Hunter)

17 Versuchsplanung17 Begriffe Durchlauf des Experiments Behandlung der UE: Faktorkombination Wiederholung

18 Versuchsplanung18 Vergleich von Mittelwerten Beispiel: Bruchlast von Bleistiftminen Marke A: n A = 6, x-bar A = 45.8, s A = 4.31 Marke B: n B = 6, x-bar B = 39.5, s B = 4.59 Vergleich: x-barA x-barB = = 6.3 unabhängige Stichproben, vollständig randomisiertes Experiment

19 Versuchsplanung19 Statistische Signifikanz Merkmal X Population i (i=1,2): X i, E(X i ) = i, SD(X i ) = i ; Stichprobe: n i, x-bar i, X-bar i N( i, i 2 /n i ) Differenz: d = X-bar 1 X-bar 2 N( d, d 2 ) mit d = 1 2 und d = [ 1 2 /n /n 2 ]

20 Versuchsplanung20 Bruchlast, Forts. s d = [ / /6] = 2.57 Test von H 0 : 1 = 2 gegen H 1 : 1 2 p-Wert = 2*P{Z > 6.3/2.57} = H 0 wird verworfen Ist der Unterschied von praktischer Relevanz?

21 Versuchsplanung21 Vergleich von Schuhsohlen Material A: n A = 20, x-bar A = 5.13, s A = 2.03 Material B: n B = 20, x-bar B = 5.40, s B = 1.94 Vergleich: x-barA x-barB = = s d = [( )/20] = p-Wert = 2*P{Z < -0.27/0.628} = 0.628; H 0 wird nicht verworfen

22 Versuchsplanung22 Vergleich von Schuhsohlen Randomisiertes Block-Experiment: Jeder Studierende trägt je einen Schuh mit A und B Response-Variable: Differenz d = x A x B d 1,..., d 20 ; d-bar = -0.27; s d = SD(d-bar) = s d /n = p-Wert = 2*P{Z < -0.27/0.067} = ; H 0 wird verworfen!

23 Versuchsplanung23 Faktorielle Experimente Die Response hängt von mehr als einem Faktor ab Bei einem (2-stufigen) faktoriellen Experiment interessieren bei jedem Faktor zwei Werte (Niveaus) Beispiel: Ertrag eines chem. Prozesses Temperatur (110 0, ) Reaktionszeit (50 min, 70 min)

24 Versuchsplanung24 Ertrag eines chem. Prozesses Ertrag Temp.R.ZeitDSLf 1Lf o 50min o 50min o 70min o 70min

25 Versuchsplanung25 Ertrag eines chem. Prozesses Ertrag TRDSLf 1Lf

26 Versuchsplanung26 Notation 2 k -faktorielles Experi- ment: 2-stufiges Experi- ment in k Faktoren Tabellierung (standard form): Jede Spalte entspricht einem Faktor Jede Zeile entspricht einer Faktorkombination (einem Durchlauf) Faktor 123… ---… +--… -+-… ++-… --+… +-+… -++… +++…

27 Versuchsplanung27 Analyse der Ergebnisse graphische Darstellung Schätzen der Effekte der Faktoren (Haupteffekte): Effekt einer Änderung der Temperatur von 110 o auf 130 o T = ( )/2 ( )/2 = = 4.8 = ( )/2 R = ( )/2 ( )/2 = = 8.4 = ( )/2

28 Versuchsplanung28 Wechselwirkung graphische Darstellung Effekt der Temperatur hängt vom Niveau der Reaktionszeit ab TxR = ( )/2 ( )/2 = 0.8 = ( )/2

29 Versuchsplanung faktorielles Experiment Ertrag eines chemischen Prozesses interessierende Faktoren: Temperatur (T; : 160 o, +: 180 o ) Konzentration (C; : 20 %, +: 40 %) Katalysator (K; : Typ A, +: Typ B)

30 Versuchsplanung faktorielles Experiment, Fts. Haupteffekte T = ( )/4 ( )/4 = = 23.0 = ( )/4 C = 5.0 K = 1.5

31 Versuchsplanung faktorielles Experiment, Fts. 2-Faktoren Wechselwirkungen T(K:+) = (80+83)/2 (52+45)/2 = = 33.0 T(K:) = (72+68)/2 (60+54)/2 = = 13.0 TxK = (33 13)/2 = 10.0 = ( )/4 Analog TxC = 1.5, KxC =0.0

32 Versuchsplanung faktorielles Experiment, Fts. 3-Faktoren Wechselwirkung TxKxC: TxK(C:+) = (8045)/2 (6854)/2= 10.5 TxK(C:) = (8352)/2 (7260)/2= 9.5 TxKxC = ( )/2 = 0.5 = ( )/4

33 Versuchsplanung33 Statistische Signifikanz der geschätzten Effekte Experiment ohne Wiederholungen: Graphische Darstellungen Punkt-Diagramm QQ-Plot (normal probability plot) Experiment mit Wiederholungen: Schätzer für, Berechnung von Konfidenzintervallen

34 Versuchsplanung34 Q-Q Plot Zu einem Datensatz soll überprüft werden, ob die Daten von einem normalverteilten Merkmal stammen Q-Q Plot oder Quantil-Quantil Plot, auch normal probability plot

35 Versuchsplanung35 Ermitteln des Q-Q Plots 1.Stichprobe x 1,…,x n 2.Sortiere die Beobachtungen aufsteigend 3.Bestimme die Rangzahlen 4.Bestimme die Ordnung i /(n +1) [oder (i -0.5)/n], die sich für die Beobachtung mit Rang i ergibt, wenn wir sie als (empirisches) Quantil auffassen 5.Bestimme zur Ordnung i /(n +1) das (erwartete) Quantil der Standard-Normalverteilung (Normal Score) 6.Bestimme zur Ordnung i /(n +1) das (erwartete) Quantil der Normalverteilung mit Parametern 7.Streudiagramm (Normal Scores über X)

36 Versuchsplanung36 Konfidenzintervall für Effekte s i : Schätzer aus Beobachtungen im i- ten von n Läufen eines 2 k -faktoriellen Experiments (i=1,…, 2 k ) s p : Schätzer aus "gepoolten" Daten s p = [(s i ) 2 /2 k ] 95%-iges Konfidenzintervall für T T - (2)SD(T), T + (2)SD(T) mit SD(T) = s p /[(n)2 k-2 ]

37 Versuchsplanung37 Ertrag eines chem. Prozesses iTRDSLf 1Lf 2sisi s p = [(0.50+…+0.50)/4] = 0.61 SD = 0.61 /[(2)2 2-2 ] = 0.44

38 Versuchsplanung38 Ertrag eines chem. Prozesses, Fts. 95%-iges Konfidenzintervall für TxR -0.8 ± 2(0.44), (-1.68, 0.08) 95%-iges Konfidenzintervall für T 4.8 ± 2(0.44), (3.9, 5.7) 95%-iges Konfidenzintervall für R 8.4 ± 2(0.44), (7.5, 9.3)

39 Versuchsplanung39 Suppenwürze "Intermix" Beigefügte Menge soll möglichst gleichmäßig sein. Faktoren Zahl der ports (P; : 1, +: 3) Temperatur (T; : Zimmertemperatur, +: gekühlt) Chargen-Gewicht (W; : 1500 lb, +: 2000 lb) Zeit bis zum Abpacken (D; : 1 Tag, +: 7 Tage)

40 Versuchsplanung40 Fraktionale faktorielle Experimente Reduktion der Zahl der notwendigen Läufe durch Verzicht auf Schätzen der Wechselwirkungen Beispiel 1: frakti- onales faktorielles Experiment mit drei Faktoren A, B und C (C = A x B) ABC

41 Versuchsplanung41 Beispiel 2: Experiment Kommt mit 8 Läufen aus (2 7 = 128!) ABCD=ABE=ACF=BCG=ABC

42 Versuchsplanung42 Confounding (Vermengen) Preis für Reduktion der Anzahl der Läu- fe: Es können nicht mehr alle Effekte und Wechselwirkungen unabhängig voneinander geschätzt werden Beispiel 1: Letzte Spalte entspricht C und AxB; der sich ergebende (confounded) Schätzer vermengt die beiden Beispiel 2: Spalte 4 entspricht Faktor D und Wechselwirkung AxB, …, Spalte 7 entspricht Faktor G und Wechselwirkung AxBxC

43 Versuchsplanung43 Suppenwürze "Intermix, Fts fraktionales faktorielles Experiment mit fünf Faktoren P, T, W, D und Mischdauer (M; : 60 sec, +:80 sec) Schätzer von M: vermengt mit Wechselwirkung PxTxWxD Beachte: vermengt sind auch P und TxWxDxM, PxT und WxDxM, PxTxW und DxM, etc.

44 Versuchsplanung44 Genichi Taguchi Japanischer Ingenieur; Pionier in der Anwendung von Versuchsplanung zur Verbesserung von Produkten und Prozessen; entwickelt Philosophie der Qualitätsverbesserung Methode der Versuchsplanung Deming-Preisträger Taguchis Methoden seit ca auch in den USA sehr populär

45 Versuchsplanung45 Taguchi's Impulse Bücher, seit ca auf Englisch Taguchi & Wu (1985), Introduction to Off- Line Quality Control. Taguchi (1986) Introduction to Quality Engineering: Designing Quality into Products and Processes. Konzepte Qualitätskosten Robuste Produkte und Prozesse

46 Versuchsplanung46 Qualitätskosten Verlust durch Abweichung von idealem Produkt/Prozess höherer Aufwand für Gewährleistung geringere Kundenzufriedenheit schlechteres Image high quality Produkt: geringe Abweichung vom Zielwert während der gesamten Lebensdauer unter beliebigen Bedingungen der Verwendung

47 Versuchsplanung47 Verlustfunktion enthält Kosten (pro Einheit) des Produzenten und Konsumenten L(y) = A(y-) 2 / 2 A: erwartete Kosten bei Abweichung vom Zielwert Bei Kosten B für Ausschuss: maximal tolerierte Abweichung = [B/A]

48 Versuchsplanung48 Robuste Produkte und Prozesse Effekte von ungünstigen Faktoren während der Produktion und während des Gebrauchs minimiert Produkt wird beschrieben in Produkt-Charakteristika: Variable, die das Produkt am Markt positionieren Qualitäts-Charakteristika: Variable, in denen Abweichungen vom idealen Produkt auftreten

49 Versuchsplanung49 Negative Faktoren Äußere Störungen (Umgebung während der Verwendung; Temperatur-, Spannungsschwankungen, etc.) Innere Störungen (innerhalb des Produktes; Abnutzung, etc.) Variationen der Produktion (Vorprodukte, Kompetenz der Mitarbeiter, Qualität der Ausrüstung, etc.)

50 Versuchsplanung50 Reduktion der Variabilität des Produktes und des Produktionsprozesses durch Verbesserung des Designs des Produktes und Verbesserung des Designs des Produktionsprozesses

51 Versuchsplanung51 Taguchis Designmethode Für Experimente (orthogonale Versuchspläne) Analyse der Variation der Responsevariablen Produkt Design Prozess System Design Parameter Design Toleranz Design

52 Versuchsplanung52 System Design Entwurf des Produktes entsprechend den Anforderungen der Konsumenten den Möglichkeiten der Produktion Ergebnis ist ein Prototyp; Identifizierung möglicher Störfaktoren in Produktion und Verwendung kontrollierte Faktoren (Parameter) nicht kontrolliert Faktoren (noise)

53 Versuchsplanung53 Parameter Design Festlegung jener Zielwerte der kontrol- lierten Faktoren, bei denen die Variabi- lität minimal ist; Experimente Behandlung von noise: Behandlung als kontrollierter Faktor, wenn Ursache für Fehler Wahl der Werte der kontrollierten Faktoren so, dass Effekt des noise minimiert; Robustifizieren des Produktes!

54 Versuchsplanung54 Parameter Design, Forts. Aufgabe des Design Prozesses ist die Festlegung, welche Faktoren kontrolliert werden sollen und welche nicht, die Festlegung der Werte der Faktoren so, dass der Effekt des noise minimiert wird

55 Versuchsplanung55 Toleranz Design Festlegung von reduzierten Toleranzbereichen für die einzelnen Faktoren, um die Variabilität des Produktes zu verkleinern höherer Aufwand teurere Maschinen etc.

56 Versuchsplanung56 Versuchsplan inner array: Versuchsplan für die kontrollierten Faktoren; deckt relevanten Wertebereich ab (zwei bis vier Niveaus) outer array: Versuchsplan für ausgewählte noise Faktoren orthogonale Versuchspläne (faktorielle Designs, fraktional faktorielle Designs, Lateinische Quadrate Design)

57 Versuchsplanung57 Ziel des Versuchs Kombination von Faktorenwerten so, dass der Produktionsprozess ein Produkt liefert nahe dem gewünschten Output mit minimaler Variation oder maximalem signal-to-noise Verhältnis

58 Versuchsplanung58 signal-to-noise Verhältnis SN small, wenn y möglichst klein sein soll SN small = -10 log 10 [y i 2 /n] SN large, wenn y möglichst groß sein soll SN large = -10 log 10 [(1/y i ) 2 /n] SN target, wenn y möglichst nahe einem Zielwert sein soll SN target = 10 log 10 [y-bar 2 /s 2 – 1/n] oder SN target = 10 log 10 [y-bar 2 /s 2 ]

59 Versuchsplanung59 Kritik an Taguchi Versuchspläne der vorgeschlagenen Experimente sind oft nicht effizient Interpretation der signal-to-noise Verhältnisse oft schwierig


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