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1 STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/06 13. Dezember 2005.

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1 1 STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/ Dezember 2005

2 2 Theorie Wahrscheinlichkeitsrechnung –Einführung, Begriffe, … –Zufallsvariable –Wahrscheinlichkeits- Vt. Kombinatorik Verteilungen –Diskrete Verteilungen –Stetige Verteilunge

3 3 Wahrscheinlichkeitsrechung Betrachte Ereignisse die nicht deterministisch (vorherbestimmbar) sind, Ereignisse mit Zufallscharakter. –Bsp. Werfen eines idealen Würfels, Werfen einer fairen Münze, … –Oder Ereignisse, die von so vielen Einflussfaktoren abhängen, dass das Ergebnis nicht sicher bestimmt werden kann.

4 4 Wahrscheinlichkeitsrechung Grundbegriffe: Zufallsexperiment: –Vorgang nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführt, beliebig oft wiederholbar, Ergebnis hängt vom Zufall ab, bei mehrmaligen Durchführung des Experiments beeinflussen die Ergebnisse einander nicht – unabhängig voneinander. (z.B. Münzwurf, Werfen eines Würfels, …)

5 5 Wahrscheinlichkeitsrechung Elementarereignisse (Realisationen) –Zufallsexperiment: Reihe aller möglichen elementarer Ereignisse {e 1 },…,{e n } Ereignisraum S: –Menge der Elementarereignisse S={e 1,…,e n } Ereignis: –Jede beliebige Teilmenge des Ereignisraumes (setzt sich aus einem od. mehreren Elementarereignissen zusammen)

6 6 Wahrscheinlichkeitsrechung Vereinigung –Vereinigung von 2 Ereignissen A und B: A U B Menge aller Elementarereignisse, die zu A oder B gehören Durchschnitt –Durchschnitt von 2 Ereignissen A und B: AB Menge aller Elementarereignisse, die zu A und B gehören Disjunkte Ereignisse –2 Ereignisse A und B schließen einander aus, AB=Ø (Ø unmögliches Ereignis) Komplementärereignis –Menge aller Elementarereignisse des Ereignisraumes S, die nicht in Ereignis A enthalten sind

7 7 Wahrscheinlichkeitsrechung Wahrscheinlichkeit ist ein Maß zur Quantifizierung der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Rahmen eines Zufallsexperiments.

8 8 Wahrscheinlichkeitsrechung Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Bsp. Urne mit 10 Kugeln (8 rot, 2 schwarz) –Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Kugel rot ist (Ereignis A) –Ereignisraum 10 mögl. Elementarereignisse, 8 günstige Fälle –W(A) = 8 / 10 = 0,8

9 9 Wahrscheinlichkeitsrechung Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Grenzwert der relativen Häufigkeiten des Auftretens von A

10 10 Wahrscheinlichkeitsrechung Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff: Ereignissen werden Wettchancen zugeordnet. Quote für A ist a:b, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeiten

11 11 Wahrscheinlichkeitsrechung Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Definition von mathematischen Eigenschaften 1. 0 W(A) 1 2. W(S) = 1 3. A und B disjunkt: W(A U B) = W(A) + W(B)

12 12 Zufallsvariable Zufallsvariable: Variable deren Wert vom Zufall abhängt (z.B. X, Y, Z) –Bsp. Zufallsexperiment: 2-maliges Werfen einer Münze. Frage: Wie oft erscheint Zahl? Mögliche Werte: 0, 1, 2. Variable Anzahl Zahl hängt vom Zufall ab – Zufallsvariable. Realisation (Ausprägung): Wert, den eine Zufallsvariable X annimmt (z.B. x, y, z). –Bsp. 2-maliges Werfen einer Münze, ZV X Anzahl Zahl, Ausprägungen: x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2.

13 13 Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion, die jedem Elementarereignis eine bestimmt reelle Zahl zuordnet, z.B. X(e j )=x i Definitionsbereich einer ZV: Ereignisraum S des zugrundeliegenden Zufallsexperiments. Wertebereich einer ZV: Menge der reellen Zahlen.

14 14 Zufallsvariable Diskrete Zufallsvariable: ZV mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen Ausprägungen Stetige Zufallsvariable: können (zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen) jeden beliebigen Zahlenwert annehmen.

15 15 Wahrscheinlichkeit Diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete ZV X eine spezielle Ausprägung x i annimmt, W(X=x i ): Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Elementarereignisse e j, denen Ausprägung x i zugeordnet ist:

16 16 Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV: Funktion f(x i ), die für jede Ausprägung der ZV (unterschiedliche Ausprägungen x i einer ZV X) die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens angibt: f(x i ) = W(X=x i ) Eigenschaften: –f(x i ) 0 i=1,2,… –Σ i f(x i ) = 1

17 17 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion einer diskreten ZV: Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X x) Es gilt: Treppenfunktion

18 18 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion einer stetigen ZV (kann in einem bestimmten Intervall jeden beliebigen Wert annehmen): Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X x) Stetige Funktion

19 19 Verteilungsfunktion Eigenschaften einer stetigen Vt-Funktion: 1. 0 F(x) 1 2. F(x) ist monoton wachsend (d.h. für x 1 < x 2 gilt F(x 1 ) F(x 2 ) 3. lim x- F(x) = 0 4. lim x F(x) = 1 5. F(x) ist überall stetig

20 20 Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f(x) einer stetigen ZV: Ableitung der Verteilungsfunktion. Es gilt:

21 21 Wahrscheinlichkeitsdichte Eigenschaften: 1. f(x) W(X=x) = 0 5. W(a X b) = W(a < X < b) 6. W(X a) = F(a) W(X b) = F(b) W(a X b) = F(b) – F(a)

22 22 Parameter Charakterisierung der Wahrscheinlichkeits- verteilung von Zufallsvariablen durch Parameter (Maßzahlen) Erwartungswert E(X) = Lageparameter (Entspricht dem arithm. Mittel) Varianz Var(X) = Streuungsparameter

23 23 Erwartungswert Diskrete ZV: Stetige ZV:

24 24 Varianz Diskrete ZV: Stetige ZV: Standardabweichung:

25 25 Standardisierung Lineare Transformation: Y = a + bX Spezialfall Standardisierung: a = – E(X) / σ X b = 1 / σ X Standardisierte Variable Z: Es gilt: E(Z) = 0 und Var(Z) = 1

26 26 Theoretische Verteilungen Bedeutung von theoretische Verteilungen Deskriptive Statistik: –Approximative funktionsmäßige Beschreibung empirisch beobachteter Häufigkeitsverteilungen Mathematische Statistik: –Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisse bestimmter Zufallsexperimente

27 27 Kombinatorik Wie kann eine gegebene Anzahl von Elementen unterschiedlich angeordnet und zu Gruppen zusammengefasst werden? Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente anzuordnen? Anzahl der möglichen Permutationen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, von n Elementen k auszuwählen? Anzahl der möglichen Kombinationen?

28 28 Kombinatorik Permutationen: n voneinander verschiedene Elemente: n! = n·(n-1)·(n-2)·…·1 Permutationen Bsp.1: n=3, Elemente e 1, e 2, e 3. Anzahl der möglichen Permutationen: 3! = 3·2·1 = 6 (e 1, e 2, e 3 ) (e 1, e 3, e 2 ) (e 2, e 1, e 3 ) (e 2, e 3, e 1 ) (e 3, e 1, e 2 ) (e 3, e 2, e 1 ) Bsp.2: n=10, Anzahl der möglichen Permutationen: 10! =

29 29 Kombinatorik n Elemente, wobei n i Elemente vom Typ i sind (r unterschiedliche Typen): Bsp.1: n=10, r=3 und n 1 =3, n 2 =5, n 3 =2, Anzahl der möglichen Permutationen:

30 30 Kombinatorik Kombinationen: Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden –Kombination ohne Wiederholung: jedes Element kann nur einmal gewählt werden Berücksichtigung der Reihenfolge: Anzahl der Möglichkeiten: Keine Berücksichtigung der Reihenfolge: Anzahl der Möglichkeiten:

31 31 Kombinatorik Kombinationen ohne Wiederholung: n=3, k=2, Elemente e 1, e 2, e 3. –Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e 1, e 2 ) (e 2, e 1 ) (e 1, e 3 ) (e 3, e 1 ) (e 2, e 3 ) (e 3, e 2 ), also 3!/(3-2)! = 6 Möglichkeiten –Keine Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e 1, e 2 ), (e 1, e 3 ) (e 2, e 3 ), also 3!/(2!(3-2)!) = 3 Möglichkeiten

32 32 Kombinatorik Kombinationen ohne Wiederholung: Bsp.1: Lotto, Möglichkeiten aus 49 Zahlen 6 zu wählen (Reihenfolge unberücksichtigt) Bsp.2: Pferderennen, sind 8 Pferde am Start, gibt es für die Belegung der ersten 3 Plätze 8!/(8-3)! = 336 Möglichkeiten

33 33 Kombinatorik Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden –Kombination mit Wiederholung: ein Element kann auch mehrfach ausgewählt werden. Berücksichtigung der Reihenfolge Anzahl der Möglichkeiten: n k Keine Berücksichtigung der Reihenfolge Anzahl der Möglichkeiten:

34 34 Kombinatorik Kombination mit Wiederholung: n=3, k=2, Elemente e 1, e 2, e 3. –Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e 1, e 1 ), (e 1, e 2 ), (e 1, e 3 ), (e 2, e 2 ), (e 2, e 1 ), (e 2, e 3 ), (e 3, e 3 ), (e 3, e 1 ), (e 3, e 2 ), Anzahl der Möglichkeiten: n k = 3² = 9 –Keine Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e 1, e 1 ), (e 1, e 2 ), (e 1, e 3 ), (e 2, e 2 ), (e 2, e 3 ), (e 3, e 3 ), Anzahl der Möglichkeiten: (3+2-1)! / (2!·(3-1)!) = 4! / (2!·2!) = 6

35 35 Kombinatorik Kombinationen mit Wiederholung: Bsp.1: Würfelt man viermal hintereinander, sind 6 4 = Abläufe möglich Bsp.2: Hat man vier verschiedene Sorten Süßigkeiten, gibt es 286 Möglichkeiten eine Tüte mit 10 Süßigkeiten zu füllen.

36 36 Theoretische Verteilungen Diskrete Verteilungen –Binomialverteilung –Hypergeometrische Verteilung –Poissonverteilung –... Stetige Verteilungen –Gleichverteilung –Exponentialverteilung –Normalverteilung –Chi-Quadrat Verteilung –t-Verteilung (Studentverteilung) –F-Verteilung –...

37 37 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Eintreffens bestimmter Ereignisse bei Bernoulli-Experimenten berechnen. Bernoulli-Experiment: Folge von Bernoulli- Versuchen. Urnenmodell mit Zurücklegen –Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: A und Ā –Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A (θ) und Ā (1- θ) sind konstant –Versuche sind voneinander unabhängig.

38 38 Binomialverteilung Bsp. Bernoulli-Experiment: –fünfmaliges Werfen einer Münze, Zufallsvariable X Anzahl der Zahlen, Realisation x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 –Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A: W(X=x) = f(x) = ?

39 39 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Realisation x: W(X=x) = f(x) Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

40 40 Binomialverteilung Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass genau 2-mal Zahl geworfen wird: W(X=2)

41 41 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt: Verteilungsfunktion F B (x;n,θ)

42 42 Binomialverteilung Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass höchstens 2-mal Zahl geworfen wird: W(X 2)

43 43 Binomialverteilung Erwartungswert der Binomialverteilung: E(X) = n·θ Varianz der Binomialverteilung: Var(X) = n·θ·(1-θ) Bsp. Münzwurf: –E(X) = 5·0,5 = 2,5 –Var(X) = 5·0,5·(1-0,5) = 1,25

44 44 Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen: –Urne mit N Kugeln (M schwarze, N-M weiße) –Zufallsstichprobe: ziehe n Kugeln ohne Zurücklegen –Wahrscheinlichkeit, dass unter den n gezogenen Kugeln genau x schwarze zu finden sind? Ziehen ohne Zurücklegen, keine Berücksichtigung der Reihenfolge.

45 45 Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell: –Aus M schwarzen Kugeln genau x auswählen: Anzahl der Kombinationen –Aus N-M weißen Kugeln genau n-x auswählen: Anzahl der Kombinationen –Jede mögl. Stpr. x schwarze aus M kann mit jeder mögl. Stpr. n-x weiße aus N-M kombiniert werden. –Daher: Gesamtzahl der Möglichkeiten genau x schwarze zu ziehen: –Gesamtzahl der Möglichkeiten aus N Kugeln n zu ziehen:

46 46 Hypergeometrische Verteilung Wahrscheinlichkeit genau n schwarz Kugeln zu ziehen: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung:

47 47 Hypergeometrische Verteilung Verteilungsfunktion: Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten Liefert Wahrscheinlichkeit für höchstens x schwarze Kugeln

48 48 Hypergeometrische Verteilung Bsp. Sortiment von N=8 Dioden, es werden n=3 zufällig gezogen (ohne Zurücklegen), M=5 der Dioden sind defekt. Ges: Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 (=x) der 3 gezogenen Dioden defekt sind.

49 49 Hypergeometrische Verteilung Erwartungswert: E(X) = n · M/N Varianz Var(X) = n · M/N · (N-M)/N · (N-n)/(n-1) Approximation durch Binomialverteilung: –Wenn N, M, N-M groß und n klein, Parameter der Binomialverteilung: θ = M/N –Faustregel: Approximation, wenn n/N < 0,05

50 50 Poissonverteilung Verteilung seltener Ereignisse Große Zahl von Versuchen n, Wahrscheinlichkeit θ für Auftreten eines Ereignisses sehr klein Wahrscheinlichkeitsfunktion:

51 51 Poissonverteilung Erwartungswert: E(X) = μ Varianz: Var(X) = μ Approximation der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung: –n groß und θ klein, Parameter μ = n·θ –Faustregel: n > 10 und θ < 0,05. Approximation der Hypergeometrischen Vt. –M/N = θ klein, N im Vergleich zu n groß, Parameter μ = n · M/N –Faustregel: M/N < 0,05 und n/N < 0,05

52 52 Poissonverteilung Bsp. Wahrscheinlichkeit bei einer Prüfung von n=2000 Buchungen genau 3 (=x) Fehlbuchungen zu finden, Anteil der Fehlbuchungen: θ=0,001. Poissonverteilung: μ = n·θ = 2

53 53 Gleichverteilung Diskrete Zufallsvariable: Jede der k möglichen Ausprägungen hat gleiche Wahrscheinlichkeit P(X=x i ) = 1/k (i=1,…,k) Bsp. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl eines idealen Würfels: P(X=x i ) = 1/6(i=1,…,6)

54 54 Gleichverteilung Stetige Zufallsvariable: Realisationen der stetigen Zufallsvariablen X liegen im Intervall [a;b] Dichtefunktion: P(x X x+Δx) = 1/(b-a) · Δx

55 55 Gleichverteilung

56 56 Gleichverteilung Verteilungsfunktion (Integration der Dichte)

57 57 Gleichverteilung

58 58 Gleichverteilung Erwartungswert: E(X) = (a+b)/2 Varianz: Var(X) = (b-a)² / 12 Bsp. Wegzeit ist gleichverteilt im Intervall [30;40]. Ges. Wahrscheinlichkeit zw. 32 und 35 Min. zu benötigen. P(32 X 35) = 1/(b-a) · Δx = 1/(40-30) · (35-32) = 0,3 Durchschnittlich benötigte Zeit: E(X) = 35

59 59 Normalverteilung Wichtigste theoretische Verteilung: Normalverteilung: –stetige Verteilung –symmetrische Dichtefunktion –S-förmige Verteilungsfunktion –Erwartungswert: E(X) = µ –Varianz: Var(X) = σ² –Maximum der Dichte bei x=µ –Wendepunkte bei x=µ σ

60 60 Normalverteilungen Normalverteilung: Dichtefunktion (für - 0) : Verteilungsfunktion:

61 61 Normalverteilung Normalverteilungen mit unterschiedlichen Parametern

62 62 Normalverteilung Verteilungsfunktion

63 63 Normalverteilung Standardnormalverteilung: –Erwartungswert µ = 0 –Varianz σ² = 1 Dichtefunktion:

64 64 Normalverteilung Standardnormalverteilung

65 65 Normalverteilung Approximation durch Normalverteilung: Mit wachsendem n nähern sich viele theoretische Vt. der Normalverteilung Empirische Verteilungen lassen sich ebenfalls oft durch die N-Vt. annähern.

66 66 Normalverteilung Reproduktionseigenschaft (od. Additivitäts- eigenschaft) der Normal-Vt. Additionstheorem der Normalverteilung: –Die Summe (X) von n unabhängig normalverteilten Zufallvariablen X 1,…,X n ist ebenfalls normalverteilt. X = X 1 + … + X n –Der Erwartungswert von X ist die Summe der einzelnen Erwartungswerte μ 1,…,μ n E(X) = μ = μ 1 + … + μ n –Die Varianz von X ist die Summe der einzelnen Varianzen σ 1 ²,…σ n ² Var(X) = σ ² = σ 1 ² + … + σ n ²


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