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1 STATISIK LV Nr.: 0028 SS 2005 25. Mai 2005. 2 Poissonverteilung Verteilung seltener Ereignisse Große Zahl von Versuchen n, Wahrscheinlichkeit θ für.

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1 1 STATISIK LV Nr.: 0028 SS Mai 2005

2 2 Poissonverteilung Verteilung seltener Ereignisse Große Zahl von Versuchen n, Wahrscheinlichkeit θ für Auftreten eines Ereignisses sehr klein Wahrscheinlichkeitsfunktion:

3 3 Poissonverteilung Erwartungswert: E(X) = μ Varianz: Var(X) = μ Approximation der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung: –n groß und θ klein, Parameter μ = n·θ –Faustregel: n > 10 und θ < 0,05. Approximation der Hypergeometrischen Vt. –M/N = θ klein, N im Vergleich zu n groß, Parameter μ = n · M/N –Faustregel: M/N < 0,05 und n/N < 0,05

4 4 Poissonverteilung Bsp. Wahrscheinlichkeit bei einer Prüfung von n=2000 Buchungen genau 3 (=x) Fehlbuchungen zu finden, Anteil der Fehlbuchungen: θ=0,001. Poissonverteilung: μ = n·θ = 2

5 5 Gleichverteilung Diskrete Zufallsvariable: Jede der k möglichen Ausprägungen hat gleiche Wahrscheinlichkeit P(X=x i ) = 1/k (i=1,…,k) Bsp. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl eines idealen Würfels: P(X=x i ) = 1/6(i=1,…,6)

6 6 Gleichverteilung Stetige Zufallsvariable: Realisationen der stetigen Zufallsvariablen X liegen im Intervall [a;b] Dichtefunktion: P(x X x+Δx) = 1/(b-a) · Δx

7 7 Gleichverteilung

8 8 Verteilungsfunktion (Integration der Dichte)

9 9 Gleichverteilung

10 10 Gleichverteilung Erwartungswert: E(X) = (a+b)/2 Varianz: Var(X) = (b-a)² / 12 Bsp. Wegzeit ist gleichverteilt im Intervall [30;40]. Ges. Wahrscheinlichkeit zw. 32 und 35 Min. zu benötigen. P(32 X 35) = 1/(b-a) · Δx = 1/(40-30) · (35-32) = 0,3 Durchschnittlich benötigte Zeit: E(X) = 35

11 11 Normalverteilung Wichtigste theoretische Verteilung: Normalverteilung: –stetige Verteilung –symmetrische Dichtefunktion –S-förmige Verteilungsfunktion –Erwartungswert: E(X) = µ –Varianz: Var(X) = σ² –Maximum der Dichte bei x=µ –Wendepunkte bei x=µ σ

12 12 Normalverteilungen Normalverteilung: Dichtefunktion (für - 0) : Verteilungsfunktion:

13 13 Normalverteilung Normalverteilungen mit unterschiedlichen Parametern

14 14 Normalverteilung Verteilungsfunktion

15 15 Normalverteilung Standardnormalverteilung: –Erwartungswert µ = 0 –Varianz σ² = 1 Dichtefunktion:

16 16 Normalverteilung Standardnormalverteilung

17 17 Normalverteilung Approximation durch Normalverteilung: Mit wachsendem n nähern sich viele theoretische Vt. der Normalverteilung Empirische Verteilungen lassen sich ebenfalls oft durch die N-Vt. annähern.

18 18 Normalverteilung Reproduktionseigenschaft (od. Additivitäts- eigenschaft) der Normal-Vt. Additionstheorem der Normalverteilung: –Die Summe (X) von n unabhängig normalverteilten Zufallvariablen X 1,…,X n ist ebenfalls normalverteilt. X = X 1 + … + X n –Der Erwartungswert von X ist die Summe der einzelnen Erwartungswerte μ 1,…,μ n E(X) = μ = μ 1 + … + μ n –Die Varianz von X ist die Summe der einzelnen Varianzen σ 1 ²,…σ n ² Var(X) = σ ² = σ 1 ² + … + σ n ²

19 19 Stichproben Arithmetische Mittel der Stichprobe: Varianz der Stichprobe: Anteilswert P einer Stichprobe:

20 20 Stichprobenverteilung Verteilung des arithmetischen Mittels der Stichprobe (Zufallsstichprobe): –Zufallsvariable X 1,…,X n –Konkrete Realisation: x 1,…,x n Arithmetische Mittel: –Arithm. Mittel von ZV ist wieder eine ZV (Funktion von n ZV)

21 21 Stichprobenverteilung Erwartungswert der Verteilung des arithmetischen Mittels: Varianz der Verteilung des arithm. Mittels Standardabweichung od. Standardfehler

22 22 Stichprobenverteilung Erwartungswert u. Varianz bekannt Verteilung des arithm. Mittels? Annahme: Grundgesamtheit ist N(μ,σ²)-vt. –Reproduktionseigenschaft der N-Vt: Summe von n unabhängig normal-vt. ZV ist wieder n-vt –Daher ist auch das arithm. Mittel normalverteilt

23 23 Grenzwertsätze Verhalten des Mittelwert von n unabhängig identisch verteilten (i.i.d.) ZV X 1,…,X n, wenn n laufend erhöht wird (n ) Gesetz der Großen Zahlen Satz von Glivenko-Cantelli Zentraler Grenzwertsatz

24 24 Grenzwertsätze Gesetz der Großen Zahlen: Beinhaltet die Aussage, dass sich der Mittelwert mit wachsendem n immer mehr um den gemeinsamen Erwartungswert µ der X i konzentriert.

25 25 Grenzwertsätze Gesetz der Großen Zahlen: Beinhaltet die Aussage, dass der Wert der empirischen Verteilungsfunktion an der Stelle t mit wachsendem n gegen den entsprechenden Wert der Verteilungsfunktion von X konvergiert.

26 26 Grenzwertsätze Satz von Glivenko-Cantelli: Wert der empirischen Verteilungsfunktion konvergiert an der Stelle t mit wachsendem n gegen den entsprechenden Wert der Verteilungsfunktion von X.

27 27 Grenzwertsätze Zentraler Grenzwertsatz: Aussage über die Form der Verteilung des Mittelwertes (standardisierte ZV Z n ). Die Verteilungsfunktion von Z n konvergiert gegen die Standardnormalverteilung (Φ … Vt-Fkt. der N(0,1) Vt.)

28 28 Grenzwertsätze Aus dem Zentralen Grenzwertsatz folgt: Die Verteilung des arithm. Mittels von n unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen X i (X 1,…,X n ) strebt mit wachsendem Stichprobenumfang n gegen eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert µ und Varianz σ²/n. Gleichbedeutend: Das arithmetische Mittel ist asymptotisch normalverteilt. Faustregel: n > 30, N-Vt. ist gute Näherung für die Vt. des arithmetischen Mittels der Stichprobe.

29 29 Stichprobenverteilung Verteilung der Varianz S² der Stichprobe: Annahme: Grundgesamtheit ist N(µ,σ²)-vt. X i sind n unabhängige normal-vt. ZV mit E(X i )=µ und Var(X i )= σ² (i=1,…,n) Stichprobenvarianz S² ist eine Funktion von n ZV X i und somit wieder eine ZV.

30 30 Stichprobenverteilung Verteilung der Varianz S² der Stichprobe: Chi-Quadrat Verteilung mit v=n-1 Freiheitsgraden, χ² n-1 Es gilt: –Ist Z² = X i ² + … + X n ² (Summe von n quadrierten unabhängigen N(0,1)-verteilten ZV X i ), dann folgt Z² einer Chi-Quadrat Verteilung mit v Freiheitsgraden. Anzahl der unabhängigen ZV, die Z² bilden, nennt man Anzahl der Freiheitsgrade.

31 31 Stichprobenverteilung χ² v Verteilung: –Erwartungswert: E(Z²)=v –Varianz: Var(Z²)=2v –Mit wachsendem v nähert sich die χ² v Vt. einer N-Vt. mit Parametern µ=v und σ²=2v.

32 32 Stichprobenverteilung Anteilswert P einer Stichprobe (P=X/n) 2 Modelle: –Ziehen mit Zurücklegen –Ziehen ohne Zurücklegen Bsp. Urne, N Kugeln, M schwarz, (N-M) weiße, ziehe n Kugeln (mit bzw. ohne Zurücklegen der gezogenen Kugeln), θ ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer schwarzen Kugel.

33 33 Stichprobenverteilung Ziehen mit Zurücklegen –Exakte Verteilung: Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion der ZV X: –Erwartungswert: E(X) = nθ –Varianz: Var(X) = nθ(1- θ)

34 34 Stichprobenverteilung Ziehen mit Zurücklegen –Erwartungswert des Stichprobenanteilswertes P: E(P) = 1/n E(x) = θ –Varianz des Stichprobenanteilswertes P: Var(P) = 1/n² Var(X) = θ(1- θ) / n –Standardfehler des Anteilswertes:

35 35 Stichprobenverteilung Approximation durch Normalverteilung (Faustregel: nθ(1- θ) 9) Erwartungswert: E(P) = µ = nθ Varianz: Var(P) = σ P ² = nθ(1- θ)

36 36 Stichprobenverteilung Ziehen ohne Zurücklegen –Exakte Verteilung: Hypergeometrische Vt. –Wahrscheinlichkeitsfunktion der ZV X: –Erwartungswert: E(X) = n M/N –Varianz: Var(X) = nθ(1- θ) · (N-n)/(N-1)

37 37 Stichprobenverteilung Ziehen ohne Zurücklegen: –Erwartungswert des Stichprobenanteilswertes: E(P) = 1/n E(X) = θ –Varianz des Stichprobenanteilswertes: Var(P) = 1/n² Var(X) = θ(1- θ)/n · (N-n)/(N-1) –Standardfehler des Anteilswertes: –Endlichkeitskorrektur = 1 setzen, wenn n bzgl. N sehr klein ist (Faustregel: n/N < 0,05)

38 38 Stichprobenverteilung Approximation durch Normalverteilung µ = E(P) = θ σ² = Var(P) = θ(1- θ)/n · (N-n)/(N-1)

39 39 Stichprobenverteilung Die Stichprobenverteilungen des arithmetischen Mittels, der Varianz und des Anteilswertes können also durch die Normalverteilung approximiert werden.

40 40 Stichprobenverteilung Differenz zweier arithmetischer Mittel: Annahmen: –2 unabhängige Stichproben –Beide Grundgesamtheiten sind annähernd N-vt Stichprobenverteilung der Differenz: N-Vt –Erwartungswert: –Varianz:

41 41 Stichprobenverteilung Differenz zweier Anteilswerte: Annahmen: –2 unabhängige Stichproben –P 1, P 2 annähernd n-vt. und N 1, N 2 so groß, dass Endlichkeitskorrektur vernachlässigbar ist. Stichprobenverteilung: N-Vt –Erwartungswert: –Varianz:

42 42 Stichprobenverteilung Quotient zweier Varianzen: Annahmen: –2 unabhängige Stichproben (n 1, n 2 ) –σ 1 ² und σ 2 ² aus n-vt Grundgesamtheiten –Quotient:

43 43 Stichprobenverteilung Stichprobenverteilung: F-Verteilung mit v 1 und v 2 Freiheitsgraden, F v1,v2. Für v 2 > 2 gilt: –Erwartungswert: E(F) = v 2 / (v 2 -2) –Varianz:

44 44 Schätzverfahren Schluss von der Grundgesamtheit auf eine Stichprobe: Inklusionsschluss (direkter Schluss) Schluss von einer Stichprobe auf Parameter einer Grundgesamtheit: Repräsentationsschluss (indirekter Schluss) Unterscheidung: –Punktschätzer (einziger Schätzwert) –Intervallschätzer (Konfidenzintervall)

45 45 Schätzverfahren Punktschätzer: Für den zu schätzenden Parameter wird nur ein einziger Schätzwert angegeben. –Bsp. Schätze das unbekannte arithm. Mittel einer Grundgesamtheit μ durch das arithm. Mittel der Stichprobe Vorsicht: Die in einer Stichprobe realisierten Merkmalsausprägungen sind zufallsabhängig, Punktschätzer stimmen daher nur in den seltensten Fällen mit dem wahren Parameter überein.

46 46 Schätzverfahren Intervallschätzer: Ausgehend von einer Stichprobe wird ein Intervall bestimmt, in dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit liegt (Konfidenzintervall). Irrtumswahrscheinlichkeit α Konfidenzintervall zum Niveau 1-α (Vertrauensbereich od. Vertrauensintervall)

47 47 Schätzverfahren Ges: Konfidenzintervall für das arithm. Mittel: ZV Symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervall Symmetrie: z (α /2) = –z (1-α/2) daher: z = –z (1-α/2) und –z = z (α /2) und

48 48 Schätzverfahren In diesem Wahrscheinlichkeitsintervall liegt das arithm. Mittel mit der Wahrscheinlichkeit 1- α. Gesucht ist ist aber nicht das Ws-Intervall der ZV, sondern das Konfidenzintervall für das unbekannte arithm. Mittel µ der Grundgesamtheit. –Varianz σ² der Grundgesamtheit bekannt –Varianz σ² der Grundgesamtheit unbekannt

49 49 Schätzverfahren Konfidenzintervall für µ bei bekannter Varianz σ² der Grundgesamtheit: Konkreter Stichprobenmittelwert

50 50 Schätzverfahren Konfidenzintervall für µ bei unbekannter Varianz σ² der Grundgesamtheit: Statt der unbekannte Varianz σ² wird die Stichprobenvarianz S² verwendet. Zufallsvariable: T ist t- verteilt mit v=n-1 Freiheitsgraden

51 51 Verteilungen Es gilt: –Ist T der Quotient einer Standardnormalverteilung und der Quadratwurzel des Mittelwerts von n quadrierten unabhängigen N(0,1)-verteilten ZV X i, dann folgt T einer t-Verteilung mit v=n Freiheitsgraden. Zufallsvariable: T ist t- verteilt mit v=n Freiheitsgraden T~t n t-Verteilung ist symmetrisch

52 52 Verteilungen t- Verteilung mit v Freiheitsgraden: –Erwartungswert (für n>1): E(T) = 0 –Varianz (für n>2): Var(T) = n / (n-2) Für n geht die t-Verteilung in die N(0,1) über. Approximation durch N(0,1)-Vt für n 30

53 53 Wahrscheinlichkeitsintervall für das arithm. Mittel bei unbekannter Varianz: Wobei t = t (1-α/2);n-1 = – t (α/2);n-1 die Punkte sind, bei denen die Verteilungsfunktion der t- Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden die Werte 1-α/2 bzw. α/2 besitzt. Schätzverfahren

54 54 Konfidenzintervall für das arithm. Mittel bei unbekannter Varianz: Konkreter Stichprobenmittelwert Konkrete Stichprobenvarianz Schätzverfahren

55 55 Schätzverfahren Konfidenzintervall für den Anteilswert: Ann. genügend großer Stichprobenumfang, d.h. Approximation durch N-Vt möglich, E(P) = θ und Var(P) = σ P ² Standardisierte ZV:

56 56 Schätzverfahren Wahrscheinlichkeitsintervall: Konfidenzintervall: Ist σ P unbekannt, verwendet man stattdessen die Stichprobenvarianz des Anteilswertes als Schätzer.

57 57 Schätzverfahren Konfidenzintervall für die Varianz ZV (n-1)S² / σ² ist χ² verteilt mit v=n-1 Freiheitsgraden Wahrscheinlichkeitsintervall: Konfidenzintervall:

58 58 Stichprobenumfang Bisher: –Geg: Stichprobenumfang n, Sicherheitsgrad 1-α –Ges: Konfidenzintervall Jetzt: –Geg: Konfidenzintervall, Sicherheitsgrad 1-α –Ges: Stichprobenumfang Absoluter Fehler Δμ = zσ X ist ein Maß für die Genauigkeit der Schätzung Breite des Konfidenzintervalls: 2Δμ

59 59 Stichprobenumfang Frage: Welchen Stichprobenumfang benötigt man, um einen Parameter (arithm. Mittel) bei vorgegebener Genauigkeit und vorgegebenem Sicherheitsgrad zu schätzen?

60 60 Eigenschaften von Schätzern Eigenschaften von Schätzfunktionen: Erwartungstreue Effizienz Konsistenz Suffizienz

61 61 Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue Eine Schätzfunktion heißt erwartungstreu (unverzerrt, unbiased), wenn ihr Erwartungswert mit dem wahren Parameter übereinstimmt. Bedingung: Es gilt:

62 62 Eigenschaften von Schätzern Effizienz: Von 2 erwartungstreuen Schätzfunktionen gilt jene als effizienter (wirksamer), die die kleinere Varianz aufweist. Eine Schätzfunktion heißt effizient, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

63 63 Eigenschaften von Schätzern Konsistenz: Eine Schätzfunktion heißt konsistent, wenn der Schätzwert bei laufender Vergrößerung des Stichprobenumfangs (n oder nN) mit dem zu schätzenden Parameter zusammenfällt.

64 64 Eigenschaften von Schätzern Suffizienz: Eine Schätzfunktion heißt suffizient (erschöpfend), wenn sie sämtliche Informationen über den zu schätzenden Parameter, welche die Stichprobe enthält ausschöpft.

65 65 Schätzverfahren Methode der Kleinsten Quadrat Maximum Likelihood Momentenmethode


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