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1 STATISIK LV Nr.: 0028 SS 2005 23. Mai 2005. 2 Zufallsvariable Zufallsvariable: Variable deren Wert vom Zufall abhängt (z.B. X, Y, Z) –Bsp. Zufallsexperiment:

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1 1 STATISIK LV Nr.: 0028 SS Mai 2005

2 2 Zufallsvariable Zufallsvariable: Variable deren Wert vom Zufall abhängt (z.B. X, Y, Z) –Bsp. Zufallsexperiment: 2-maliges Werfen einer Münze. Frage: Wie oft erscheint Zahl? Mögliche Werte: 0, 1, 2. Variable Anzahl Zahl hängt vom Zufall ab – Zufallsvariable. Realisation (Ausprägung): Wert, den eine Zufallsvariable X annimmt (z.B. x, y, z). –Bsp. 2-maliges Werfen einer Münze, ZV X Anzahl Zahl, Ausprägungen: x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2.

3 3 Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion, die jedem Elementarereignis eine bestimmt reelle Zahl zuordnet, z.B. X(e j )=x i Definitionsbereich einer ZV: Ereignisraum S des zugrundeliegenden Zufallsexperiments. Wertebereich einer ZV: Menge der reellen Zahlen.

4 4 Zufallsvariable Diskrete Zufallsvariable: ZV mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen Ausprägungen Stetige Zufallsvariable: können (zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen) jeden beliebigen Zahlenwert annehmen.

5 5 Wahrscheinlichkeit Diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete ZV X eine spezielle Ausprägung x i annimmt, W(X=x i ): Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Elementarereignisse e j, denen Ausprägung x i zugeordnet ist:

6 6 Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV: Funktion f(x i ), die für jede Ausprägung der ZV (unterschiedliche Ausprägungen x i einer ZV X) die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens angibt: f(x i ) = W(X=x i ) Eigenschaften: –f(x i ) 0 i=1,2,… –Σ i f(x i ) = 1

7 7 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion einer diskreten ZV: Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X x) Es gilt: Treppenfunktion

8 8 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion einer stetigen ZV (kann in einem bestimmten Intervall jeden beliebigen Wert annehmen): Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X x) Stetige Funktion

9 9 Verteilungsfunktion Eigenschaften einer stetigen Vt-Funktion: 1. 0 F(x) 1 2. F(x) ist monoton wachsend (d.h. für x 1 < x 2 gilt F(x 1 ) F(x 2 ) 3. lim x- F(x) = 0 4. lim x F(x) = 1 5. F(x) ist überall stetig

10 10 Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f(x) einer stetigen ZV: Ableitung der Verteilungsfunktion. Es gilt:

11 11 Wahrscheinlichkeitsdichte Eigenschaften: 1. f(x) W(X=x) = 0 5. W(a X b) = W(a < X < b) 6. W(X a) = F(a) W(X b) = F(b) W(a X b) = F(b) – F(a)

12 12 Parameter Charakterisierung der Wahrscheinlichkeits- verteilung von Zufallsvariablen durch Parameter (Maßzahlen) Erwartungswert E(X) = Lageparameter (Entspricht dem arithm. Mittel) Varianz Var(X) = Streuungsparameter

13 13 Erwartungswert Diskrete ZV: Stetige ZV:

14 14 Varianz Diskrete ZV: Stetige ZV: Standardabweichung:

15 15 Standardisierung Lineare Transformation: Y = a + bX Spezialfall Standardisierung: a = – E(X) / σ X b = 1 / σ X Standardisierte Variable Z: Es gilt: E(Z) = 0 und Var(Z) = 1

16 16 Theoretische Verteilungen Bedeutung von theoretische Verteilungen Deskriptive Statistik: –Approximative funktionsmäßige Beschreibung empirisch beobachteter Häufigkeitsverteilungen Mathematische Statistik: –Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisse bestimmter Zufallsexperimente

17 17 Kombinatorik Wie kann eine gegebene Anzahl von Elementen unterschiedlich angeordnet und zu Gruppen zusammengefasst werden? Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente anzuordnen? Anzahl der möglichen Permutationen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, von n Elementen k auszuwählen? Anzahl der möglichen Kombinationen?

18 18 Kombinatorik Permutationen: n voneinander verschiedene Elemente: n! = n·(n-1)·(n-2)·…·1 Permutationen Bsp.1: n=3, Elemente e 1, e 2, e 3. Anzahl der möglichen Permutationen: 3! = 3·2·1 = 6 (e 1, e 2, e 3 ) (e 1, e 3, e 2 ) (e 2, e 1, e 3 ) (e 2, e 3, e 1 ) (e 3, e 1, e 2 ) (e 3, e 2, e 1 ) Bsp.2: n=10, Anzahl der möglichen Permutationen: 10! =

19 19 Kombinatorik n Elemente, wobei n i Elemente vom Typ i sind (r unterschiedliche Typen): Bsp.1: n=10, r=3 und n 1 =3, n 2 =5, n 3 =2, Anzahl der möglichen Permutationen:

20 20 Kombinatorik Kombinationen: Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden –Kombination ohne Wiederholung: jedes Element kann nur einmal gewählt werden Berücksichtigung der Reihenfolge: Anzahl der Möglichkeiten: Keine Berücksichtigung der Reihenfolge: Anzahl der Möglichkeiten:

21 21 Kombinatorik Kombinationen ohne Wiederholung: n=3, k=2, Elemente e 1, e 2, e 3. –Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e 1, e 2 ) (e 2, e 1 ) (e 1, e 3 ) (e 3, e 1 ) (e 2, e 3 ) (e 3, e 2 ), also 3!/(3-2)! = 6 Möglichkeiten –Keine Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e 1, e 2 ), (e 1, e 3 ) (e 2, e 3 ), also 3!/(2!(3-2)!) = 3 Möglichkeiten

22 22 Kombinatorik Kombinationen ohne Wiederholung: Bsp.1: Lotto, Möglichkeiten aus 49 Zahlen 6 zu wählen (Reihenfolge unberücksichtigt) Bsp.2: Pferderennen, sind 8 Pferde am Start, gibt es für die Belegung der ersten 3 Plätze 8!/(8-3)! = 336 Möglichkeiten

23 23 Kombinatorik Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden –Kombination mit Wiederholung: ein Element kann auch mehrfach ausgewählt werden. Berücksichtigung der Reihenfolge Anzahl der Möglichkeiten: n k Keine Berücksichtigung der Reihenfolge Anzahl der Möglichkeiten:

24 24 Kombinatorik Kombination mit Wiederholung: n=3, k=2, Elemente e 1, e 2, e 3. –Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e 1, e 1 ), (e 1, e 2 ), (e 1, e 3 ), (e 2, e 2 ), (e 2, e 1 ), (e 2, e 3 ), (e 3, e 3 ), (e 3, e 1 ), (e 3, e 2 ), Anzahl der Möglichkeiten: n k = 3² = 9 –Keine Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e 1, e 1 ), (e 1, e 2 ), (e 1, e 3 ), (e 2, e 2 ), (e 2, e 3 ), (e 3, e 3 ), Anzahl der Möglichkeiten: (3+2-1)! / (2!·(3-1)!) = 4! / (2!·2!) = 6

25 25 Kombinatorik Kombinationen mit Wiederholung: Bsp.1: Würfelt man viermal hintereinander, sind 6 4 = Abläufe möglich Bsp.2: Hat man vier verschiedene Sorten Süßigkeiten, gibt es 286 Möglichkeiten eine Tüte mit 10 Süßigkeiten zu füllen.

26 26 Theoretische Verteilungen Diskrete Verteilungen –Binomialverteilung –Hypergeometrische Verteilung –Poissonverteilung –... Stetige Verteilungen –Gleichverteilung –Exponentialverteilung –Normalverteilung –Chi-Quadrat Verteilung –t-Verteilung (Studentverteilung) –F-Verteilung –...

27 27 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Eintreffens bestimmter Ereignisse bei Bernoulli-Experimenten berechnen. Bernoulli-Experiment: Folge von Bernoulli- Versuchen. Urnenmodell mit Zurücklegen –Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: A und Ā –Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A (θ) und Ā (1- θ) sind konstant –Versuche sind voneinander unabhängig.

28 28 Binomialverteilung Bsp. Bernoulli-Experiment: –fünfmaliges Werfen einer Münze, Zufallsvariable X Anzahl der Zahlen, Realisation x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 –Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A: W(X=x) = f(x) = ?

29 29 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Realisation x: W(X=x) = f(x) Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

30 30 Binomialverteilung Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass genau 2-mal Zahl geworfen wird: W(X=2)

31 31 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt: Verteilungsfunktion F B (x;n,θ)

32 32 Binomialverteilung Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass höchstens 2-mal Zahl geworfen wird: W(X 2)

33 33 Binomialverteilung Erwartungswert der Binomialverteilung: E(X) = n·θ Varianz der Binomialverteilung: Var(X) = n·θ·(1-θ) Bsp. Münzwurf: –E(X) = 5·0,5 = 2,5 –Var(X) = 5·0,5·(1-0,5) = 1,25

34 34 Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen: –Urne mit N Kugeln (M schwarze, N-M weißen) –Zufallsstichprobe: ziehe n Kugeln ohne Zurücklegen –Wahrscheinlichkeit, dass unter den n gezogenen Kugeln genau x schwarze zu finden sind? Ziehen ohne Zurücklegen, keine Berücksichtigung der Reihenfolge.

35 35 Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell: –Aus M schwarzen Kugeln genau x auswählen: Anzahl der Kombinationen –Aus N-M weißen Kugeln genau n-x auswählen: Anzahl der Kombinationen –Jede mögl. Stpr. x schwarze aus M kann mit jeder mögl. Stpr. n-x weiße aus N-M kombiniert werden. –Daher: Gesamtzahl der Möglichkeiten genau x schwarze zu ziehen: –Gesamtzahl der Möglichkeiten aus N Kugeln n zu ziehen:

36 36 Hypergeometrische Verteilung Wahrscheinlichkeit genau n schwarz Kugeln zu ziehen: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung:

37 37 Hypergeometrische Verteilung Verteilungsfunktion: Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten Liefert Wahrscheinlichkeit für höchstens x schwarze Kugeln

38 38 Hypergeometrische Verteilung Bsp. Sortiment von N=8 Dioden, es werden n=3 zufällig gezogen (ohne Zurücklegen), M=5 der Dioden sind defekt. Ges: Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 (=x) der 3 gezogenen Dioden defekt sind.

39 39 Hypergeometrische Verteilung Erwartungswert: E(X) = n · M/N Varianz Var(X) = n · M/N · (N-M)/N · (N-n)/(n-1) Approximation durch Binomialverteilung: –Wenn N, M, N-M groß und n klein, Parameter der Binomialverteilung: θ = M/N –Faustregel: Approximation, wenn n/N < 0,05


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