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Gekoppelte Oszillatoren. Inhalt Gekoppelte Pendel Gekoppelte elektrische Schwingkreise Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie –Orbitale.

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Präsentation zum Thema: "Gekoppelte Oszillatoren. Inhalt Gekoppelte Pendel Gekoppelte elektrische Schwingkreise Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie –Orbitale."—  Präsentation transkript:

1 Gekoppelte Oszillatoren

2 Inhalt Gekoppelte Pendel Gekoppelte elektrische Schwingkreise Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie –Orbitale der Elektronen –Molekülschwingungen –Schwingungen in Festkörpern

3 Feder und Massenpunkt EinheitBezeichnung 1 NFederkraft 1 NTrägheitskraft 1 N Schwingungs- gleichung d Alembertsches Prinzip

4 Erste Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht Symmetrische Auslenkungen

5 Zweite Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren Höhere Frequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht Anti-Symmetrische Auslenkungen

6 Versuch: Gekoppelte Pendel Verhalten eines einzelnen Schwingkreises Kopplung über die Feder Schwebungen durch Überlagerung von zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz Suche nach den Eigenfrequenzen durch spezielle Startbedingungen Unterschiedliche Eigenschwingungen zeigen unterschiedliche Symmetrie

7 Schwingungart Symmetrie bei Spiegelung Muster Erste Eigenschwingung Symmetrisch Zweite Eigenschwingung Anti-symmetrisch Beliebig, das ist eine Überlagerung beider Eigenschwingungen Unsymmetrisch Schlüsselexperiment Doppelpendel

8 Effekt der Kopplung Ohne Kopplung: Beide Oszillatoren zeigen die gleiche Eigenfrequenz Mit Kopplung: –Zwei Schwingungsmoden mit unterschiedlichen Eigenfrequenzen –Die Symmetrie der Auslenkungen beider Moden ist unterschiedlich

9 Versuch: Gekoppelte elektrische Schwingkreise Verhalten eines einzelnen Schwingkreises Kopplung über die Feldstärken Schwebungen durch Überlagerung von zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz Suche nach den Eigenfrequenzen mit Fourier-Analyse

10 Kopplung von zwei elektrischen Schwingkreisen über das magnetische Feld Kopplung ohne Materie gibt es nur in elektromagnetischen Feldern!

11 Über das Magnetfeld gekoppelte Schwingkreise Schwebungen aufgrund des Austauschs der Energie zwischen den Schwingkreisen Grund: Überlagerung der beiden Eigenschwingungen mit –leicht unterschiedlichen Frequenzen – unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften Erste Eigenschwingung mit gleichphasigen Feldstärken in beiden Kreisen Zweite Eigenschwingung mit gegenphasigen Feldstärken in beiden Kreisen

12 Gekoppelte Schwingungen in der Materie Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung –gekoppelte Pendel Bei Teilchenzahl n wächst - im dreidimensionalen Raum - die Zahl der Freiheitsgrade auf 3n Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen –Symmetrie-Eigenschaften –Energie-Werten An jeder Eigenschwingung sind immer alle Oszillatoren beteiligt

13 Beispiele Gekoppelte Pendel Orbitale des Elektronensystems Molekülschwingungen Schwingungen im Festkörper, Phononen

14 Orbitale Die Elektronen in einer Schale n eines Atoms bilden ein System identischer, gekoppelter Oszillatoren –Hier verlässt man das Bohrsche Atommodell Die Eigenschwingungen dieses Systems werden mit den Quantenzahlen l, m bezeichnet –und zeigen unterschiedliche Symmetrie-Eigenschaften Orbitale zeigen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen –was bei Oszillatoren sinnvoll ist

15 Drehung erlaubt? X-AchseY-AchseZ-Achse JaNein JaNein Ja Symmetrie der drei p Orbitale einer Unterschale (l=1) bei beliebiger Drehung um eine Achse

16 Orbitale mit ihren Quantenzahlen Symmetrie

17 Haupt- quantenzahl Drehimpuls- oder Nebenquantenzahl Orientie- rungs- Quanten- zahl Max. Zahl der Zustände Form der Orbitale NSchale Schale, Orbital Typ Spin 1K0s0 2 2L 0s0 2 1p Beispiel: Orbitale im Neon

18 Molekülschwingungen, Beispiel CO 2, erste Streckschwingung, symmetrisch z x

19 Beispiel CO 2, zweite Streckschwingung antisymmetrisch z x

20 Beispiel CO 2, erste Deformationsschwingung z x

21 Beispiel CO 2, erste Deformationschwingungen, Ansicht von der Längs-Seite z y

22 Beispiel CO 2, zweite Deformationschwingung, Ansicht von der Längs-Seite z y

23 1 ja nein ja neinjanein Symmetrieeigenschaften dieser Schwingungen bei der Einheitsoperation, Drehung und Spiegelung Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?

24 Beispiel: Anregung der ersten Deformationsschwingung von CO 2 im Infrarot-Bereich

25 Kristalline Festkörper Bei n Teilchen gibt es n Schwingungsmoden mit Auslenkungsmuster unterschiedlicher Symmetrie Die n Eigenfrequenzen der Moden liegen zum Teil sehr dicht beisammen, es entstehen Energiebänder

26 Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

27 TranslationInnere Schwingung Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

28 Beispiel für eine Eigenschwingung

29 Phononen Zu jedem Auslenkungsmuster gehört eineEigenfrequenz Normalschwingungen der Teilchen in kristallinen Festkörpern werdenPhononen genannt Die Schwingungen der Teilchen, die Phononen, koppeln an die Anregung der Elektronen

30 Wirkung der Kopplung: Vergleich der Spektren von Gasen/Flüssigkeiten/Festkörpern C6H6C6H6

31 Beispiele für Emission und Absorption an freien Atomen und im Vergleich dazu – an heißen Festkörpern Abbildung: Emissionsspektrum der Quecksilberdampflampe und Absorptionslinien im Sonnenspektrum. Quelle: Meyers Enzyklopädisches Lexikon Absorptionslinien von Wasserstoff vor der Weissen Strahlung der Sonne (an der Oberfläche ca K)

32 Zuammenfassung Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung –gekoppelte Pendel Bei Teilchenzahl n wächst die Zahl der Freiheitsgrade auf 3n Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen –Symmetrie-Eigenschaften –Energie-Werten

33 Finis Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht Symmetrische Auslenkungen


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