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Schaltnetze Klaus Becker 2003. KB Schaltsysteme 2 Funktionale Schaltsysteme 1 d0d0 d1d1 s & & MUX b.

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1 Schaltnetze Klaus Becker 2003

2 KB Schaltsysteme 2 Funktionale Schaltsysteme 1 d0d0 d1d1 s & & MUX b

3 KB Schaltsysteme 3 Teil 1 Steuern mit logischen Operationen

4 KB Schaltsysteme 4 Aufzugssteuerung Ein Aufzug soll sich nur dann nach oben bewegen, wenn der Knopf gedrückt und die Tür zu ist. nach H. Bühler: Grundlagen einer Verständigung mit Computern

5 KB Schaltsysteme 5 Technische Lösung – mit Stromkreis Schalter Nur wenn der Stromkreis geschlossen ist, kann der Motor den Aufzug bewegen. Schalter

6 KB Schaltsysteme 6 Binäre Kodierung mit Schaltvariablen x1x1 x2x2 y x 1 = 0: Tür ist offen x 1 = 1: Tür ist geschlossen x 2 = 0: Schalter ist nicht gedrückt x 2 = 1: Schalter ist gedrückt y = 0: Motor ist inaktiv y = 1: Motor ist aktiv Schaltvariable Binäre Kodierung: Kodierung mit zwei Werten: 0 / 1

7 KB Schaltsysteme 7 Beschreibung des Systemverhaltens x1x1 x2x2 y x 1 = 0: Tür ist offen x 1 = 1: Tür ist geschlossen x 2 = 0: Schalter ist nicht gedrückt x 2 = 1: Schalter ist gedrückt y = 0: Motor ist inaktiv y = 1: Motor ist aktiv x10011x10011 x20101x20101 y0001y0001 Schalttabelle / Schaltfunktion

8 KB Schaltsysteme 8 Logische Deutung x1x1 x2x2 y x10011x10011 x20101x20101 y0001y0001 x 1 : Tür ist geschlossen x 2 : Schalter ist gedrückt y: Motor ist aktiv 0: falsch 1: wahr Aussagen Schaltfunktion Wahrheitswerte

9 KB Schaltsysteme 9 Logische Verknüpfung x1x1 x2x2 y x10011x10011 x20101x20101 y0001y0001 Motor ist aktiv genau dann, wenn Tür ist geschlossen und Schalter ist gedrückt Schaltterm Schaltfunktion

10 KB Schaltsysteme 10 Technische Lösung – mit Logikgatter x1x1 x2x2 y Und-Gatter x1x1 & x2x2 y Kontaktschalter Motor

11 KB Schaltsysteme 11 Elektronik-Logik-Schichtung Logik x1x1 & x2x2 y Kontaktschalter Motor Logikgatter x 1 : Tür ist geschlossen x 2 : Schalter ist gedrückt y: Motor ist aktiv SystemgrößenSystemverhalten Elektronik

12 KB Schaltsysteme 12 Idee: Logik-basierte Systembeschreibung x1x1 x2x2 y x 1 : Tür ist geschlossen x 2 : Schalter ist gedrückt y: Motor ist aktiv Binäre Kodierung der Systemgrößen mit Schaltvariablen Beschreibung des Systemverhaltens mit einer logischen Schaltfunktion

13 KB Schaltsysteme 13 Steuerung eines Türöffners Die Haustür soll sich öffnen, wenn der Türöffner im ersten oder im zweiten Stock gedrückt wird. nach H. Bühler: Grundlagen einer Verständigung mit Computern

14 KB Schaltsysteme 14 Lösung x 1 : Türöffner im 1. Stock ist gedrückt x 2 : Türöffner im 2. Stock ist gedrückt y: Türverriegelung ist deaktiviert x10011x10011 x20101x20101 y0111y0111 x1x1 1 x2x2 y Binäre Kodierung mit Schaltvariablen Beschreibung des Systemverhaltens mit logischen Operationen

15 KB Schaltsysteme 15 Steuerung einer Kühlschrankbeleuchtung Öffnet man den Kühlschrank, so geht das Licht im Kühlschrank automatisch an. nach H. Bühler: Grundlagen einer Verständigung mit Computern

16 KB Schaltsysteme 16 Lösung x: Tür ist geschlossen y: Licht im Kühlschrank ist an x01x01 y10y10 x1y Binäre Kodierung mit Schaltvariablen Beschreibung des Systemverhaltens mit logischen Operationen bzw.

17 KB Schaltsysteme 17 Logische Grundoperationen x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x01x01 x10x10 x1x1 1 x2x2 y x1x1 & x2x2 yx1y UND-Gatter Konjunktion / UND-Operation Disjunktion / ODER-Operation Negation / NICHT-Operation ODER-GatterNICHT-Gatter Logik Elektronik

18 KB Schaltsysteme 18 Übung Aufgabe: Testen Sie die Gatter zu den logischen Grundoperationen mit Hilfe von Hades.

19 KB Schaltsysteme 19 Teil 2 Schaltfunktionen und Schaltnetze

20 KB Schaltsysteme 20 Multiplexer – Demultiplexer Ein Problem der Vermittlungstechnik: Zwei Teilnehmer sollen wahlweise ihre Daten (in binärer Form kodiert) über eine gemeinsame Leitung senden. MUXDEMUX 01

21 KB Schaltsysteme 21 Funktionale Modellierung MUXDEMUX 01 s d0d0 d1d1 b s MUX d0d0 d1d1 b Steuersignal Binäre Daten Steuersignal Ein-/Ausgabe-Modellierung (Black-Box-Modellierung)

22 KB Schaltsysteme 22 Logische Systembeschreibung s DEMUX d0d0 d1d1 b s MUX d0d0 d1d1 b s = 0: b = d 0 s = 1: b = d 1 s = 0: d 0 = b s = 1: d 1 = b Entwicklung von Schalttermen

23 KB Schaltsysteme 23 Schaltnetz s DEMUX d0d0 d1d1 b s MUX d0d0 d1d1 b 1 d0d0 d1d1 s & & & & d0d0 d1d1 b s

24 KB Schaltsysteme 24 Idee: Funktionale Modellierung s MUX d0d0 d1d1 b 1 d0d0 d1d1 s & & Realisierung des Systems mit Hilfe eines Logik-basierten Schaltnetzes Beschreibung des Systemverhaltens mit einer logischen Schaltfunktion

25 KB Schaltsysteme 25 Übung Aufgabe: Erstellen und testen Sie mit Hilfe von Hades das entwickelte Schaltnetz. 1 d0d0 d1d1 & & & & d0d0 d1d1 b ss

26 KB Schaltsysteme 26 Übung Aufgabe: Entwickeln und testen Sie ein Multiplexer-Demultiplexer-System mit 4 Datenleitungen. Benutzen Sie zur Auswahl der Datenleitung 2 Steuerleitungen. Adressieren Sie die Datenleitungen wie unten angezeigt. MUX DEMUX 0010 d0d0 d2d2 d1d1 d3d3 d0d0 d2d2 d1d1 d3d3 s1s1 s0s0 s1s1 s0s0 b

27 KB Schaltsysteme 27 Teil 3 Schaltalgebra

28 KB Schaltsysteme 28 Steuerung einer Autoinnenbeleuchtung Öffnet man eine der beiden Türen, so geht das Licht im Auto an. nach H. Bühler: Grundlagen einer Verständigung mit Computern

29 KB Schaltsysteme 29 Steuerung einer Autoinnenbeleuchtung x 1 : Fahrertür ist geschlossen x 2 : Beifahrertür ist geschlossen y: Licht im Auto ist an x10011x10011 x20101x20101 y1110y1110 F x1x1 x2x2 y Binäre Kodierung der Systemgrößen mit Schaltvariablen Beschreibung des Systemverhaltens mit einer Schaltfunktion

30 KB Schaltsysteme 30 Steuerung einer Autoinnenbeleuchtung x 1 x x10011x10011 x20101x20101 y1110y1110 x10011x10011 x20101x20101 x 1 x Beschreibung der Schaltfunktion mit einem Schaltterm – Version 1 Korrektheitsnachweis

31 KB Schaltsysteme 31 Steuerung einer Autoinnenbeleuchtung Schaltfunktion: Schaltnetz: x1x1 & x2x2 1y x1x1 & x2x2 y NAND-Gatter

32 KB Schaltsysteme 32 Steuerung einer Autoinnenbeleuchtung x10011x10011 x20101x20101 y1110y1110 x 1 x x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x 1 x (y 1 y 2 ) y y1y1 y2y2 y3y3 Beschreibung der Schaltfunktion mit einem Schaltterm – Version 2 Korrektheitsnachweis

33 KB Schaltsysteme 33 Steuerung einer Autoinnenbeleuchtung Schaltfunktion: Schaltnetz: x1x1 x2x2 y & & & 1 1

34 KB Schaltsysteme 34 Vergleich der Schaltnetze x1x1 x2x2 y & & & 1 1 x1x1 & x2x2 y x10011x10011 x20101x20101 y1110y Gatter 9 Gatter Schaltfunktion Schaltterme Schaltnetze

35 KB Schaltsysteme 35 Minimierungsproblem x1x1 x2x2 y & & & 1 1 x1x1 & x2x2 y 2 Gatter 9 Gatter Wie findet man (möglichst einfache) Schaltterme zur Repräsentation von vorgegebenen Schaltfunktionen? x10011x10011 x20101x20101 y1110y1110

36 KB Schaltsysteme 36 Exkurs: Boolesche Algebra / Schaltalgebra Objekte: 0 (FALSE) 1 (TRUE) Operationen: ¯ (NOT) (AND) (OR) x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x01x01 x10x10 Entwickelt 1854 von George Boole ( )

37 KB Schaltsysteme 37 Schaltterme Ein Schaltterm ist aufgebaut aus - den Konstanten 0 (FALSE) und 1 (TRUE) - Schaltvariablen - den Operationen (AND), (OR), ¯ (NOT). Beispiele: Eine Schaltvariable ist eine Variable, für die nur die Werte 0 und 1 eingesetzt werden können. Schaltvariable Schaltterm

38 KB Schaltsysteme 38 Aufstellen von Schalttermen Wert des Minterms ist 1 gdw Wert(x 1 ) = 1 und Wert(x 2 ) = 1 gdw Wert(x 1 ) = 0 und Wert(x 2 ) = 1 x10011x10011 x20101x20101 y1110y1110 x 1 x x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x 1 x (y 1 y 2 ) y y1y1 y2y2 y3y3 Minterm (Elementarkonjunktion) Wert(y) ist 1 gdw Wert eines Minterms ist 1 Term in disjunktiver Normalform (Disjunktion von Mintermen)

39 KB Schaltsysteme 39 Aufstellen von Schalttermen Wert des Maxterms ist 0 gdw Wert(x 1 ) = 0 und Wert(x 2 ) = 0 gdw Wert(x 1 ) = 1 und Wert(x 2 ) = 1 Wert(y) = 0 gdw Wert eines Maxterms ist 0 x 1 x x10011x10011 x20101x20101 y1110y1110 x10011x10011 x20101x20101 Maxterm (Elementardisjunktion) Term in konjunktiver Normalform (Konjunktion von Maxtermen)

40 KB Schaltsysteme 40 Äquivalenz von Schalttermen x 1 x x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x11100x11100 x21010x21010 x 1 x (y 1 y 2 ) y y1y1 y2y2 y3y3 x 1 x x10011x10011 x20101x20101 x 1 x Zwei Schaltterme t 1 und t 2 sind (logisch) äquivalent gdw gilt: Der Wert von t 1 und t 2 ist für alle möglichen Einsetzungen der in t 1 und t 2 vorkommenden Variablen durch 0 bzw. 1 gleich.

41 KB Schaltsysteme 41 Gesetze der Schaltalgebra x 1 x x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x11100x11100 x21010x21010 x 1 x (y 1 y 2 ) y y1y1 y2y2 y3y3 x 1 x x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x11100x11100 x21010x21010 x 1 x y 1 (y 2 y 3 ) 1 0

42 KB Schaltsysteme 42 Gesetze der Schaltalgebra a a b b a b 0 1 c c (a b) c 0 1 b c a (b c) 0 1 Assoziativgesetz für Disjunktionen:

43 KB Schaltsysteme 43 Gesetze der Schaltalgebra Assoziativgesetze: Kommutativgesetze: Distributivgesetze: Gesetze der neutralen Elemente:

44 KB Schaltsysteme 44 Gesetze der Schaltalgebra 0-1-Gesetze: Komplementgesetze: De Morgansche Gesetze: Adsorptionsgesetze:

45 KB Schaltsysteme 45 Vereinfachung von Schalttermen Ergebnis: Die Terme sind logisch äquivalent.

46 KB Schaltsysteme 46 Vereinfachung der Schreibweise x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x10011x10011 x20101x20101 x 1 + x x01x01 x10x10 x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x10011x10011 x20101x20101 x 1 x x01x01 x10x10

47 KB Schaltsysteme 47 Termumformung mit Boolescher Algebra

48 KB Schaltsysteme 48 Übung Aufgabe: Gegeben ist eine Schaltfunktion in Tabellenform. Entwickeln Sie (möglichst einfache) Schaltterme zur Beschreibung der Schaltfunktion. Überprüfen Sie die Korrektheit mit Hilfe eines Schaltnetzes. c c a a b b y y

49 KB Schaltsysteme 49 Teil 4 Rechnen mit Schaltalgebra

50 KB Schaltsysteme 50 Zahldarstellungen Wie viele Blätter sind hier dargestellt? (10010) 2 18(12) 16

51 KB Schaltsysteme 51 Stellenwertsysteme A B C D E F Dualzahlen Hexadezimalzahlen

52 KB Schaltsysteme 52 Addiersystem Summand A Summand B Übertrag Summe Ziel ist es, ein Addiersystem für Dualzahlen zu entwickeln. Schriftliche Addition im Zehnersystem Summand A Summand B Übertrag Summe Schriftliche Addition im Dualsystem

53 KB Schaltsysteme 53 Funktionale Modellierung Summand A Summand B Übertrag Summe HA a b s 1 1 ü 0 1 VA a c s 0 1 ü 1 0 b 0 VolladdiererHalbaddierer

54 KB Schaltsysteme 54 Halbaddierer HA a b s 1 1 ü 0 1 a0011a0011 b0101b0101 s0110s0110 ü0001ü0001

55 KB Schaltsysteme 55 c c Volladdierer a a b b s s ü ü VA a c s 0 1 ü 1 0 b 0

56 KB Schaltsysteme 56 Volladdierer mit Halbaddierer-Bausteinen ab HA 1 c s ü s ü ü s Halbaddierer- Baustein

57 KB Schaltsysteme 57 Hinweise: Erzeugung von Bausteinen Schritt 1: Schaltnetz erzeugen und abspeichern (Halbaddierer.hds) Schritt 2: Neues Symbol erzeugen: [Edit][Create symbol] Schritt 3: Neuen Baustein erzeugen: [Create][Create Subdesign...] Halbaddierer.hds

58 KB Schaltsysteme 58 4-Bit-Paralleladdierer mit Bausteinen a3a3 a2a2 HA VA a1a1 a0a0 b3b3 b2b2 b1b1 b0b0 100 s0s0 s1s1 s2s2 s3s3 ü (1001) + (1011) = 1(0100)

59 KB Schaltsysteme 59 Übung Aufgabe: Erstellen und testen Sie zunächst einen Halb- und Volladdierer. Entwickeln Sie anschließend einen 4-Bit-Paralleladdierer mit Hilfe geeigneter Bausteine.

60 KB Schaltsysteme 60 Übung Aufgabe: Entwickeln Sie analog zum 4-Bit-Addierer einen 4-Bit- Inkrementierer. Idee: Zahl Inkrement Übertrag Nachfolger

61 KB Schaltsysteme 61 Übung Aufgabe: Entwickeln Sie einen 4-Bit-Komparator, der überprüft, ob zwei 4- Bit-Dualzahlen gleich sind. Idee: Zahl A Zahl B Hilf Ergebnis 0

62 KB Schaltsysteme 62 Lösung - Addierer

63 KB Schaltsysteme 63 Lösung - Inkrementierer Zahl Inkrement Übertrag Nachfolger Idee:

64 KB Schaltsysteme 64 Lösung - Komparator Idee: Zahl A Zahl B Hilf Ergebnis 0

65 KB Schaltsysteme 65 Teil 5 Exkurs: Binäre Kodierung

66 KB Schaltsysteme 66 Kodierung von Information Soll Information übermittelt, gespeichert oder verarbeitet werden, muss sie in geeigneter Weise durch Zeichen dargestellt werden. Man nennt diesen Vorgang Kodierung. (R. Baumann: Informatik für die Sekundarstufe II, Band 2. Klett-Verlag 1993.) Mondsichel

67 KB Schaltsysteme 67 Binäre Repräsentation Mondsichel Benutzt man zur Repräsentation der Information nur zwei Zeichen (Binärzeichen / Bit), so spricht man von einer binären Repräsentation. Als Binärzeichen verwendet man in der Regel die Zeichen 0 und 1. Eine endliche Folge von Binärzeichen heißt Binärwort. Ein Binärwort der Länge 8 nennt man Byte.

68 KB Schaltsysteme 68 Prinzip der Zweiwertigkeit Mondsichel ASCII-Code M o n d Mit Farbkodierung: 0000 – weiß 0010 – gelb.... Jede Information lässt sich binär darstellen. Alles, was sich mit Zeichen repräsentieren lässt, kann auch binär repräsentiert werden. Dies gilt insbesondere für Zahlen, kontinuierliche Größen (wie Farbe), Sprache, Bilder, Filme, Musik etc..

69 KB Schaltsysteme 69 Logische Deutung Binärzeichen lassen sich immer als Wahrheitswerte deuten. Jede Verarbeitung von Binärzeichen kann dann mit Hilfe der logischen Grundoperationen AND, OR, NOT dargestellt werden A = E

70 KB Schaltsysteme 70

71 KB Schaltsysteme 71 Teil 6 Zusammenfassung

72 KB Schaltsysteme 72 Entwicklung von Schaltsystemen Binäre Repräsentation der Systemgrößen (Schaltvariablen) Modellierung des Systemverhaltens mit Hilfe von Aussagenlogik (Schaltterm, Boolesche Algebra,...) Technische Realisierung des modellierten Systems mit Hilfe von Elektronikbausteinen (Logikgatter,...)

73 KB Schaltsysteme 73 Literaturhinweise Gasper, Leiß, Spengler, Stimm: Technische und theoretische Informatik. Bayerischer Schulbuch-Verlag Eckhart Modrow: Automaten Schaltwerke Sprachen. Dümmler Verlag H. Bühler: Grundlagen einer Verständigung mit Computern. Skript....

74 KB Schaltsysteme 74 Simulationssoftware HADES (the Hamburg Design System) LOCAD (CAD-System für Logikschaltungen) WinLog Cornelsen Software


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