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Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/05.

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Präsentation zum Thema: "Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/05."—  Präsentation transkript:

1 Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/05

2 Organisatorisches Vorlesung: Mi c.t. Übung: Fr (ab ) Schein: Fachgespräch Zuordnung T2,T3 Voraussetzung: Vordiplom (Informatik, Mathematik oder Physik) Website:

3 Literatur Nielsen/Chuang: Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge) Ebenfalls empfohlen (online): John Preskill's lecture notes Umesh Vazirani's course Nielsen/Chuang: Quantum Computation and Quantum Information John Preskill's lecture notes Umesh Vazirani's course

4 Warum Quantum Computing? Quantenmechanik: physikalische Theorie (vor allem) der mikroskopischen Welt Moores Law: Alle... (18 Mon?) verdoppelt sich die Rechenleistung/Anzahl der Transistoren pro mm 2 Grenze: 1 Transistor pro Elektron Quantenmechanische Effekte ! (binnen <20 Jahren)

5 Hitzeentwicklung in integrierten Schaltungen: Löschen von Information nur möglich durch Abstrahlen von Wärme ) Reversible Berechnungen! Quantenberechnungen sind reversibel Warum Quantum Computing?

6 Können Quanteneffekte sogar nützlich sein? Es gibt einen Quantenalgorithmus, der ganze Zahlen in polynomieller Zeit in Primfaktoren zerlegt, und so das RSA Kryptoverfahren bricht Es gibt Quantenkryptographische Verfahren, die sicher sind (unter der Annahme, dass QM korrekt ist)

7 Weitere Gründe Landauer: Information is physical Computation is physical Quantenmechanik ist ein Berechnungsmodell

8 Quantenmechanik

9 Selber Ausgang des Experimentes, wenn einzelne Elektronen/Photonen ausgestossen werden ) Wellenverhalten nicht bloss statistisch

10 Quantenmechanik

11 Historisches Entwicklung der Quantenmechanik: Planck 1900, Schrödinger, Heisenberg, Bohr, Einstein..... von Neumanns Formalismus 1935: Einstein, Podolsky, Rosen beschreiben quantenmech. Verschränkung (entanglement) heute bestbestätigte physikalische Theorie

12 (Quanten) Informatik 1936: Turing schlägt universelle Berechnungsmaschine vor (Church Turing These) 1948 Shannons Informationstheorie 1965 Moores Law 1982: Feynman beobachtet, dass Quantensysteme nicht effizient auf klassischen Computern simulierbar sind, schlägt quantenmechanische Computer 1982 Wiesner: Quantenkryptographie

13 Quanten Informatik 1985 Deutsch: erster Quantenalgorithmus 1993 Quantum Teleportation 1994 Shor: Quantenalgorithmus zum Faktorisieren ganzer Zahlen 1996 Grovers Algorithmus: unsortierte Datenbank mit n Elementen kann Zeit durchsucht werden

14 Qubits Quantenmechanik ist eine Theorie von Zuständen und Transformationen Zustände: Vektoren Bits: 0 oder 1, in einem Register Zugeordnete Zustände |0 i, |1 i Beispiele: Weg eines Elektrons im Doppelschlitzexperiment, Polarisation Photon Quantenzustände: |0 i + |1 i, | | 2 +| | 2 =1

15 Qubits (II) |0 i, |1 i Basisvektoren im 2-dimensionalen komplexen Vektorraum C 2 Qubits: |0 i + |1 i, | | 2 +| | 2 =1, : Amplituden Einheitsvektoren (euklidische Norm) Vergleich: Wahrscheinlichkeitsverteilungen: 0 mit Ws. p, 1 mit Ws. 1-p ) Einheitsvektoren 1-Norm Qubits:, sind (komplexe) Zahlen, möglich. negativ! Quadrate ergeben Ws. Verteilung

16 Quantenformalismus Quantenzustände sind Vektoren in einem Hilbertraum (Vektorraum mit innerem Produkt) Hilbertraum entspricht Qubit Register Hilbertraum hier: C k mit Standardprodukt h (v i ) | (w i ) i = i=1…k v i * w i x * : komplex konjugierte Zahl

17 Dirac Notation h | BRA Zeilen Vektor | i KET (Spalten) Vektor h | i inneres Produkt (Produkt von Zeilenvektor und Spaltenvektor)

18 Mehrere Qubits Hilbertraum: Dimension 2 k D.h. 2 k Basisvektoren Notation |i i, i=1,...,2 k Einheitsvektoren (Zustände) sind von der Form i i |i i ; i= k Alternativ: identifiziere i=1...2 k mit x 2 {0,1} k Basiszustände |x i, x 2 {0,1} k Basiszustände entsprechen klassischen Belegungen des Registers Allgemeine Zustände sind Superposition von 2 k Strings

19 Tensorprodukt Hilberträume H, K, Dimension d H und d K Tensorprodukt H ­ K ist Raum der Dimension d H ¢ d K Tensorprodukt von Vektoren: (a 1,..., a l ) ­ (b 1,...,b r )= (a 1 b 1,a 1 b 2,...,a 1 b r,a 2 b 1,......,a l b r ) Beispiel: |0 i = (10) T ; |1 i = (01) T und |01 i = |0 i­ |1 i = (0100) T Basiszustände von H ­ K: |x i ­ |y i =|xy i

20 Was geschieht man mit Qubits? Quantensysteme evolvieren gemäss der Schrödinger Gleichung Ergebnis: Quantentransformation; entspricht unitärer Transformation auf Zuständen

21 Lineare Algebra Lineare Abbildungen A(x+y)=Ax+Ay x,y: Vektoren in C k, A: k £ k Matrix Reelle Zahlen: Abbildungen O orthogonal, wenn OO T =I komplexe Zahlen: U unitär, wenn UU y =I U * : Einträge komplex konjugiert U y = (U * ) T unitäre Abbildungen bewahren die Länge von Vektoren (bilden Zustände auf Zustände ab) Transformation in QM: unitäre Abbildung (reversibel)

22 Beispiel unitäre Transf. Auf einem Qubit: klassische Transformationen: Identität, Negation Hadamard Transformation:

23 Beispiel Transformation

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26 Unitäre Transformationen U |x i definiert für alle x 2 {0,1} k ) U definiert Tensorprodukt: A ­ B= Beispiel: H ­ n =H ­ ­ H: n-faches Produkt von H, Hadamard Transformation auf n Qubits H ­ n ( |0 i ) ­ n = ( H|0 i ) ­ n

27 Messungen Quantenzustände (Vektoren in C k ) werden durch unitäre Abbildungen transformiert Wie bekommt man eine Ausgabe in einer Berechnung? Messe i i |i i Ergebnis: i mit Wahrscheinlichkeit | i | 2 i | i 2 |=1 Nach der Messung ist der Zustand zu |i i kollabiert, wenn Ausgabe i beobachtet Messprozess ist Postulat wie unitäre Entwicklung

28 Zusammenfassung Zustände: Einheitsvektoren in Hilbertraum, log Dimension entspricht Anzahl Qubits Superposition der Strings Länge k ergibt ein Register mit k Qubits, Hilbertraum dim 2 k Evolution: unitäre Transformation Messung: i |i i ergibt Ausgabe i mit Ws | i | 2, Zustand kollabiert zu |i i bei Ausgabe i

29 Quanteninformatik Jede lokale unitäre Transformation ist berechenbar (auf 2 Qubits) Globale Transformation aus lokalen zusammensetzen (Quanten Schaltkreise)

30 Zeit für einen Algorithmus David Deutsch s Algorithmus Setup: Input ist Black Box Funktion f:{0,1} {0, 1} unbekannt (Eingabe) Zugriff: Lese f(0), f(1) Entweder f(0)=f(1) oder f(0) f(1) Problem: Welcher Fall?

31 Deutschs Problem Zugriff f:{0,1} {0,1} durch Lesen von f(0) oder f(1) klassische deterministische Algorithmen ohne Fehler müssen f(0) und f(1) lesen. Randomisierte Algorithmen mit 1 Frage haben Fehlerwahrscheinlichkeit 1/2

32 Quantenfragen randomisierte Fragen: Ws verteilung auf 0 oder 1 Quanten Frage: Superposition Notwendig: unitäre Operation! U f |i i |a i =|i i |a © f(i) für alle i,a 2 {0,1}; © ist XOR Operation: 0 © 0=0; 0 © 1=1; 1 © 1=0 U f auf allen Basiszuständen definiert ) U f definiert

33 Idee Parallele Berechnung U f : Frage an das f-Orakel Zwei Qubits (H ­ I) |00 i I: Identität =1/2 1/2 (|00 i +|10 i ) Wende U f an Ergebnis 1/2 1/2 ( |0,f(0) i +|1,f(1) i ) f:{0,1} n {0,1}: wende U f H ­ n an Ergebnis:

34 Parallele Berechnung Was kann man mit diesem Zustand anfangen? Messung ergibt nur uniforme Verteilung auf x,f(x)

35 Deutschs Algorithmus Starte mit |01 i Wende H ­ H an Ergebnis: 1/2 (|0 i +|1 i ) ­ (|0 i -|1 i ) Wende U f an Ergebnis: 1/2 ( |0,f(0) i -|0,f(0) © 1 i +|1,f(1) i -|1,f(1) © 1 i )

36 Deutschs Algorithmus Idee für Analyse: Effekt U f auf |x i­ 1/2 1/2 (|0 i -1 i ): (-1) f(x) |x i ­ 1/2 1/2 (|0 i -|1 i ) U f |0 i ­ 1/2 1/2 ( |0 i -|1 i ) = |0 i ­ 1/2 1/2 ( |f(0) i -|f(0) © 1 i ) = (-1) f(0) |0 i ­ 1/2 1/2 ( |0 i -|1 i )

37 Deutschs Algorithmus Idee für Analyse: Effekt U f auf |x i­ 1/2 1/2 (|0 i -1 i ): (-1) f(x) |x i ­ 1/2 1/2 (|0 i -|1 i ) U f |1 i ­ 1/2 1/2 ( |0 i -|1 i ) = |1 i ­ 1/2 1/2 ( |f(1) i -|f(1) © 1 i ) = (-1) f(1) |1 i ­ 1/2 1/2 ( |0 i -|1 i ) Zweites Qubit ist nur zur Hilfe.... und kann jetzt vergessen werden

38 Deutschs Algorithmus Wende Hadamard an (auf verbleibendem Qubit) Zustand vorher: f(0) = f(1): § 1/2 1/2 (|0 i +|1 i ) f(0) f(1): § 1/2 1/2 (|0 i -|1 i ) Fall 1: f(0)=f(1): H § 1/2 1/2 (|0 i +|1 i ) = § |0 i Fall 2: f(0) F(1): H § 1/2 1/2 (|0 i -|1 i ) = § |1 i Messung unterscheidet Fälle sicher

39 Deutsch Algorithmus H UfUf H |0 i |1 i Messung H

40 Deutsch-Josza Algorithmus f:{0,1} n {0,1} Ist f balanciert (50% 0, 50 % 1) oder konstant? Annahme: einer der beiden Fälle, ansonsten Ausgabe egal Quantum : 1 Frage Deterministisch: 2 n /2+1 Fragen! Warum? Lege f abhängig von den Fragen eines Algorithmus fest, f(x 1 )=0,...,f(x l )=0 Bis l > 2 n /2 keine korrekte Entscheidung möglich Algorithmus funktioniert für f nicht Adversary Argument

41 Deutsch Josza Algorithmus n Qubits im Zustand |0 n i 1 Qubits im Zustand |1 i Wende H ­ n+1 an, dann U f Ergebnis: Wende H ­ n an und messe Ergebnis: 0 n iff f ist konstant

42 Diskussion Deterministisch: 2 n /2+1 Fragen Quantum: 1 Frage, O(n) Gatter (lokale Transformationen), kein Fehler Randomisierte Algorithmen sind ebenfalls effizient, aber nur mit Fehler


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