Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/06 10.11.

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1 Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/06 10.11.

2 A) Quantenschaltkreise und klassische Berechnungen

3 Quantenschaltkreise n Qubits initialisiert mit der Eingabe s Arbeitsqubits Unitäre Operationen auf zwei Qubits U 1,…,U m ; zusammen mit Wahl der zwei Qubits Operation U i wird als Tensorprodukt mit der Identität auf den n+s-2 restlichen Qubits angewendet Zu messendes Ausgabequbit sei fix

4 Quantenschaltkreise Uniforme Familien wie gehabt [hier gibt es fü uns an dieser Stelle noch ein Problem mit der Beschreibung beliebiger unitärer Transformationen, siehe einige Folien weiter] Klasse BQP: durch uniforme Familien von Quantenschaltkreisen polynomieller Grösse berechenbare Funktionen, bei Fehlerwahrscheinlichkeit < 1/3 EQP: kein Fehler erlaubt Selbe Klassen durch (Quanten) Turingmaschinen definierbar (siehe Gruskas Buch)

5 Klassische Simulation Jeder Quantenschaltkreis mit m Gattern und n+s Qubits kann durch einen klassischen deterministischen Schaltkreis der Grösse m ¢ 2 O(n+s) simuliert werden Also sind höchstens exponentielle Speedups möglich Idee: speichere den Zustandsvektor explizit, wobei die Amplituden bis zu einer bestimten Genauigkeit gerundet werden Simuliere Gatter als Matrixmultiplikation

6 Verhältnis des Klassen P µ BPP µ BQP µ PSPACE P µ EQP µ BQP Alle Inklusionen ausser der ersten und letzten brauchen einen Beweis Insbesondere enthält BQP keine nichtberechenbaren Funktionen Man glaubt, dass P=BPP Das Faktorisierungsproblem liegt in BQP, kein BPP Algorithmus ist bekannt Es ist unwahrscheinlich, dass BQP=PSPACE, man glaubt nicht, dass NP=BQP, also sind NP -vollständige Problem ws. nicht zu knacken

7 P vs. BQP Simulation klassischer Schaltkreis Probleme: Quanten Schaltkreise sind reversibel (bis auf Messung am Schluss) Fan-Out nicht implementierbar (mehrfaches Lesen von Zwischenergebnissen, No Cloning) Lösung: Zeigen, dass jeder klassische Schaltkreis durch einen klassischen reversiblen Schaltkreis simulierbar ist

8 Simulation Toffolli Gatter: bildet a,b,c auf a,b, (a Æ b) © c ab Gatter ist reversibel [gegeben a,b,d berechne c=(a Æ b) © d ] Gatter kann universelle Basis ausdrücken [AND darstellen durch c=0, NOT durch c=1, b=1] Problem des Fan-outs: um a zu kopieren setze b=1, c=0 Verwende binären Baum um beliebig viele Kopien zu erstellen Klassische reversible Schaltkreise sind implizit schon Quantenschaltkreise

9 BPP vs. BQP Probabilistische Schaltkreise werden genauso simuliert Zufallseingaben: k-fach zu lesendes Zufallsbit: Berechne 1/2 1/2 ( |0 k i +|1 k i ), messe und verwende k Qubits wie Zufallsinputs Also BPP µ BQP

10 Verhältnis des Klassen P µ BPP µ BQP µ PSPACE P µ EQP µ BQP

11 Vor der weiteren Inklusion jedoch Gibt es eine untere Schranke für die Grösse von Quantenschaltkreisen für fast alle Funktionen? Abzählargument versagt, da wir bisher unendlich viele Arten von Gattern erlaubt haben, alle unitären Transformationen auf 1 oder zwei Qubits Auch aus praktischen Gründen wollen wir eine endliche Menge von Gatterfunktionen Definition uniformer Schaltkreisfamilien benötigt ebenfalls eine endliche Menge von Gatterfunktionen

12 Resultate zu möglichen Basen Basen (d.h. Mengen von Gatterfunktionen): CNOT und jedes unitäre Gatter auf 1 Qubit CNOT, Hadamard, einige (konstant viele) Rotationsgatter Toffoli Gatter und Hadamard Für all diese gilt, dass ein Schaltkreis mit beliebigen 2 Qubit Gattern durch einen mit Gattern aus der jeweiligen Basis mit geringem Overhead approximiert werden kann Beweis später

13 Schlussfolgerung Die meisten Booleschen Funktionen brauchen Quantenschaltkreise exponentieller Grösse Denn: Abzählargument wie bei den klassischen Schaltkreisen möglich, wenn nur eine endliche Menge von Gatterfunktionen erlaubt ist

14 BQP vs. PSPACE BQP: Klasse von Funktionen f:{0,1} * ! {0,1}, die durch uniforme Quantenschaltkreise mit Fehler 1/3 berechenbar sind (Gatterfunktionen aus endlicher Menge) PSPACE: Klasse von Funktionen f:{0,1} * ! {0,1}, die durch deterministische Turingmaschinen mit polynomiellem Speicherplatz berechenbar sind Hier: BQP µ PSPACE BQP PSPACE nicht bekannt, würde P PSPACE implizieren (schwierig)

15 Simulation in PSPACE Gegeben ist uniforme Quantenschaltkreisfamilie (d.h. Bauanleitung) für Schaltkreise für alle Eingabelängen n 2 N mit polynomieller Grösse für eine Funktion f Gesucht ist polynomiell platzbeschränkter Algorithmus für f Auf Eingabe x 2 {0,1} n simuliere Schaltkreis und berechne für Ausgaben a Prob(a)= | h a|U|x0 i | 2

16 Simulation in PSPACE Idee 1: Stelle Zustand als Vektor da, beschränkte Präzision der Einträge, Matrixmultiplikation Problem: Zustand ist Vektor mit dim exp(n) Beobachtung: a|U|x0 i = h a|U T U 1 |x0 i = z(1),…,z(T-1) h a | U T | z(T-1) i h z(T-1) |U T-1 | z(T-2) i h z(2) |U 2 | z(1) i h z(1) |U 1 | x0 i z(j) 2 {0,1} n+s h z(i) |U t | z(j) i ist ein Eintrag in U t [Zeile z(i), Spalte z(j) ]

17 Simulation in PSPACE Es ist also eine Summe mit 2 (n+s)(T-1) Termen zu evaluieren. Jeder Term ist Produkt von T Matrixeinträgen, aus den T Matrizen U i Wert jedes Terms mit Präzision 1/(10 ¢ 2 (n+s)(T-1) ) ausreichend für Fehler 1/10 Term Produkt von T Zahlen, Präzision 1/(20 ¢ T ¢ 2 (n+s)(T-1) ) ausreichend Also: Runde Matrixeinträge, Darstellungg komplexer Zahlen als Paar reeller Zahlen, O((+s)T) Bits pro Zahl

18 Simulation in PSPACE Simulationsalgorithmus: Laufe durch alle z(1),...,z(T-1) Berechne h a | U T | z(T-1) i h z(T-1) |U T-1 | z(T-2) i h z(1) |U 1 | x0 i Addiere zu bisher berechnetem Wert Für jeden Matrixeintrag h z(T-1) |U T-1 | z(T-2) i benutze Turingmaschine aus der Uniformitätsbedingung, d.h. in polynomieller Zeit berechenbar Platz insgesamt: O(T(n+s)) für z(j) und für zu speichernden Wert der Teilsumme, poly(n) zur Berechnung der Matrixeinträge Zeit insgesamt: exp(T(n+s))

19 B) Approximative Berechnungen Was ist der Einfluss von Fehlern während der Berechnung?

20 Beschränkte Präzision Angenommen ein Schaltkreis berechnet | T i =U T U T-1 U 1 |x i |0…0 i U i unitäre Transformationen Angenommen statt U T wird V T angewendet Wegen unpräziser Implementierung Wegen Simulation mit beschränkt genauer Arithmetik Ergebnis V T | T-1 i =| T i +|E T i, wobei |E T i =(V T -U T ) | T-1 i (nicht normiert)

21 Beschränkte Präzision Ergebnis V T | T-1 i =| T i +|E T i, wobei |E T i =(V T -U T ) | T-1 i (nicht normiert) Wenn V i statt U i für alle i: | 1 i =V 1 | 0 i =| 1 i +|E 1 i | 2 i =V 2 | 1 i =| 2 i +|E 2 i +V 2 |E 1 i | T i =V T | T-1 i =| T i +|E T i +V T |E T-1 i + + V T V 2 |E 1 i Daher ist k | T i | T i k · i=1…T k |E i i k i=1…T k (V i -U i ) | i-1 i k

22 Approximation von Transformationen Sei U ein beliebiger unitärer Operator auf n Qubits Gegeben sei ein Operator U Wir sind an der Approximationsqualität interessiert Spektralnorm k U k =max x: k x k =1 k U x k Approximationsfehler: k U – U k

23 Approximationsfehler gesamt i=1…T k (V i -U i ) | i-1 i k · i=1…T k (V i -U i ) k Wenn also der Approximationsfehler pro Transformation /T ist, dann ist der Abstand zwischen korrektem und erreichtem Zustand k | T i | T i k ·, wie gross ist der Fehler der Berechnung? Messung Standardbasis (n+s Qubits) Messergebnis a mit Wahrscheinlichkeit P(a)=| h a| T i | 2 bzw. Q(a)=| h a| T i | 2

24 Approximationsfehler gesamt Messergebnis a mit Wahrscheinlichkeit P(a)=| h a| T i | 2 bzw. Q(a)=| h a| T i | 2 Approximationsfehler fürjede Berechnung höchstens a |P(a)-Q(a)| · 2 k | T i | T i k · 2