Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 9 SS 2000 Punkt-in-Polygon-Verfahren III (R/R + -Baum)

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1 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 9 SS 2000 Punkt-in-Polygon-Verfahren III (R/R + -Baum)

2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 92 Übersicht I Zur Erinnerung Zerlegung der Maschen in Streifen Suchstruktur Einfügen einer Kante II Zur Effizienz Effizienz II: Sonderfallbetrachtung Punkt-in-Polygon-Suche II MBR – minimum bounding rectangle Idee Neues laufendes Beispiel Rechtecke

3 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 93 Übersicht II Rechtecke mit R-Baum R-Baum R-Baum als B-Baum Der R-Baum als solcher Einfügen in einen R-Baum Strategien zum Spalten eines Knotens Suchen eines Knotens Nachteil des R-Baums Alternative: Der R+-Baum R+-Baum Suche im R+-Baum

4 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 94 Zur Erinnerung:

5 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 95 Zerlegung der Maschen in Streifen R

6 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 96 D E F G A B C Suchstruktur p1p1 A q1q1 s1s1 B C p2p2 q2q2 s2s2 s2s2 p1p1 q1q1 s1s1 D E F G p2p2 q2q2 s2s2

7 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 97 Suchstruktur p1p1 A q1q1 s1s1 B C p2p2 q2q2 s2s2 s2s2 D E F G D E F G A B C p1p1 q1q1 s1s1 p2p2 q2q2 s2s2

8 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 98 Einfügen einer Kante II D(S i-1 ) qiqi sisi sisi sisi A B D E F B D sisi A C F E C sisi pipi qiqi T(S i ) D(S i )

9 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 99 Zur Effizienz Der oben beschriebene Algorithmus hat folgende Erwartungswerte (gemittelt über alle Permutationen der Segmentmenge S): Konstruktion von D(S):O(n log n) Speicherplatz von D(S):O(n) Punkt-in-Polygon-Suche mittels D(S): O(log n)

10 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 910 Effizienz II: Der Erwartungswert bezieht sich auf die Menge aller Permutationen Pech bei der Permutation kann zum Worst – Case O(n) für die Suche und entsprechender Tiefe der Suchstruktur führen Abhilfe durch Stop-Loss-Punkt setzen: –Brich ab, falls D(S) zu tief wird, und fange neu an mit einer neuen Permutation Differenz zum Worst-Case kann O(n) für die Suche und O(n 2 ) für die Konstruktion kann beliebig klein gemacht werden, ohne daß man von der O(n log n) – Laufzeit für die Konstruktion von D(S) sehr stark abweicht

11 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 911 Sonderfallbetrachtung Was macht man, wenn 2 Knoten die gleichen x-Koordinaten haben? Beobachtung: die vertikalen Extensionen müssen eigentlich nicht vertikal, sondern nur parallel sein Wichtig sind nur die topologischen Invarianten links / rechts an den x-Knoten und oben / unten an den y-Knoten Abhilfe durch Transformation (x,y) (x + * y, y) für geeignet kleines Epsilon Diese Transformation wird aber in Wirklichkeit gar nicht durchgeführt, sondern: –(x,y) liegt rechts von (x,y) falls x > x oder x = x und y > y Oben / Unten – Vergleich an y-Knoten für Segmente in the same spirit (als Übung)

12 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 912 Punkt-in-Polygon-Suche II Bisher: –Zerlegung der Maschen in Streifen –Konstruktion einer Suchstruktur Alternatives Vorgehen: Approximation der Maschen durch umschließende achsenparallele Rechtecke –Minimal Bounding Rectangle (MBR) –Verwaltung der Rechtecke R-Baum R + -Baum

13 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 913 MBR – minimum bounding rectangle Außen x y

14 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 914 Idee In welcher Masche M liegt der Punkt P? Nutze die Bounding Boxes als Filter Verwende effizientes Verfahren, um alle Rechtecke R 1,... R n zu finden, die P enthalten –Jedem Rechteck R i entspricht eine Masche M i Prüfe, ob P in einer der Maschen M 1,... M n vorkommt Verwende dazu das Standardverfahren Problem: Zugriffsstruktur für Rechtecke Rechtecke sind einfacher zu handhaben als Maschen im allgemeinen

15 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 915 Neues laufendes Beispiel Nur die Rechtecke interessieren uns hier, nicht die zugrundeliegenden Maschen

16 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 916 Rechtecke B DG J F C I E H A

17 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 917 E H Rechtecke mit R-Baum A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

18 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 918 Rechtecke mit R-Baum A I 3 AI 3

19 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 919 Rechtecke mit R-Baum A I 3 AI 3 E H 4 4 EH

20 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 920 E H Rechtecke mit R-Baum A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

21 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 921 R-Baum 12 B DG J F C I 1 2 E H A

22 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 922 E H R-Baum 3 12 A B DG J F C I 3 AI 2 1

23 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 923 E H R-Baum 34 12 A B DG J F C I 3 4 AIEH 2 1

24 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 924 E H R-Baum A B DG J F C I 4 34 12 AIEH 5 5 BCD 2 1 3

25 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 925 E H R-Baum A B DG J F C I 34 12 AIEH 6 5 BCD 5 6 JFG 4 2 1 3

26 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 926 E H R-Baum A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

27 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 927 R-Baum als B-Baum Ein R-Baum ist ein B-Baum mit zusätzlichen Eigenschaften B-Baum (zur Erinnerung) –Ein B-Baum ist (wie der AVL-Baum) ausgeglichen –Besonders gut für Hintergrundspeicher (Festplatte), innere Knoten entsprechen Kacheln des Sekundärspeichers –Alle Informationen stehen in den Blättern –Alle Blätter haben das gleiche Niveau –Alle inneren Knoten außer der Wurzel sind mindestens zur Hälfte gefüllt –Teilung beim Überlauf eines inneren Knoten –Verteilung auf Nachbarn beim Unterlauf

28 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 928 Der R-Baum als solcher Ein Blattknoten ist ein Paar (R,O), R ist das kleinste Rechteck, welches das Objekt O umschließt Jeder innere Knoten hat n Paare (R,P) –P zeigt auf einen Teilbaum –R ist das kleinste umschließende Rechteck dieses Teilbaums Beachte Rechtecke können sich überlappen Struktur des R-Baums hängt von Reihenfolge des Einfügens ab Jedes Paar (R,O) kommt genau einmal vor R kann mehrere umschließenden Rechtecke schneiden

29 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 929 Einfügen in einen R-Baum Ausgangspunkt: Einfügen eines neuen Knotens in einen B-Baum Problem hier: an welche Stelle wird (R,O) eingefügt? –Durchlaufe den R-Baum mit der Wurzel als Ausgangspunkt –Wähle an jedem inneren Knoten den Teilbaum, der durch Einfügen von R minimal vergrößert würde –Füge (R,O) schließlich als Blatt ein –Beim Überlauf verfahre wie beim B-Baum Besonderheit gegenüber B-Baum: –Es gibt keine lineare Ordnung zwischen den Einträgen der Knoten –Verschiedene Stragegien zum Spalten eines Knotens

30 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 930 Strategien zum Spalten eines Knotens Minimierung der Gesamtfläche Minimierung des Durchschnitts

31 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 931 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5 In welchem R liegt Q?

32 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 932 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

33 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 933 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

34 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 934 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

35 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 935 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

36 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 936 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

37 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 937 Nachteil des R-Baums Um das richtige Blatt zu finden, sind meist mehrere Durchläufe erforderlich Dies gilt insbesondere dann, wenn die Suche erfolglos ist Abhilfe: R + -Baum

38 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 938 Alternative: Der R + -Baum Alle inneren Rechtecke sind disjunkt Ein Objekt / umschließendes Rechteck kann in mehreren Blättern vorkommen Jedes Blatt repräsentiert den Teil von (R,O), der von dem Vaterknoten umschlossen wird

39 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 939 R + -Baum EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 89 EGFJ

40 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 940 R + -Baum 1 2 EH A B D G JF C I 1 2

41 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 941 R + -Baum 21 3 EH A B D G JF C I 1 2 3

42 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 942 R + -Baum 231 4 AE EH A B D G JF C I 1 2 4 3

43 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 943 R + -Baum 2314 5 AEDEH EH A B D G JF C I 1 2 4 5 3

44 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 944 R + -Baum 6 231 45 AEDEH EH A B D G JF C I 1 2 4 5 6 BDI 3

45 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 945 R + -Baum 7 6231 45 AEDEH EH A B D G JF C I 1 2 4 5 6 BDI 7 BCD 3

46 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 946 R + -Baum 8 EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 8 EG

47 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 947 R + -Baum 9 EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 8 8 EG 9 FJ

48 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 948 R + -Baum EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 89 EGFJ

49 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 949 Suche im R + -Baum EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 89 EGFJ