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Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse 07_anova31 Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse 1.Haupteffekte 2.Interaktionseffekte 3.Strukturgleichung.

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1 Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse 07_anova31 Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse 1.Haupteffekte 2.Interaktionseffekte 3.Strukturgleichung 4.Quadratsummen 5.F-Test 6.Interaktionsformen 7.SPSS 8.Mehrfaktorielle ANOVA 9.Zufallseffekte

2 Zweifaktorielle Varianzanalyse 07_anova32 Zweifaktorielle Varianzanalyse Wenn mehrere unabhängige Variablen (UVs) vorliegen, muss eine mehrfaktorielle Varianzanalyse berechnet werden. Es wird dann untersucht, ob die AV von den unterschiedlichen UVs abhängt. Beispiel: Hängt die Gedächtnisleistung (AV) von der Lernbedingung (UV1) und dem Geschlecht (UV2) ab?

3 Zweifaktorielle Varianzanalyse Effekt der Lernbedingung 07_anova33 strukturellbildhaftemotional

4 Zweifaktorielle Varianzanalyse Effekt des Geschlechts 07_anova34 männlich weiblich

5 Zweifaktorielle Varianzanalyse Zweifaktorielles Design 07_anova35 strukturellbildhaftemotional männlich weiblich

6 Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Zellen und Randmittelwerte 07_anova36 Faktor B Faktor AB1: strukturellB2: bildhaftB3: emotional A1: männlich A2: weiblich

7 Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Haupteffekt A Der Haupteffekt der Stufe j des Faktors A berechnet sich als: Die Summe der Effekte ist Null 07_anova37

8 Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Haupteffekt B Der Haupteffekt der Stufe k des Faktors B berechnet sich als: Die Summe der Effekte ist Null 07_anova38

9 Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Zelleneffekte Der Effekt eine Kombination bestimmter Stufen der Faktoren A und B berechnet sich als: Die Summe der Effekte ist Null Der Zelleneffekt ist wenig aussagekräftig, da er auch von den Haupteffekten beeinflusst wird. 07_anova39

10 Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Interaktionseffekte (A x B) Ein Interaktionseffekt wird als Differenz der Zelleneffekt und der beteiligten Haupteffekte berechnet: Die Summe der Effekte ist Null Der Interaktionseffekt gibt die Wirkung der Kombination bestimmter Faktorstufen über die Haupteffekte hinaus an. 07_anova310

11 Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Interaktionseffekte (A x B) Es liegen im Beispiel keine Interaktionseffekte vor! 07_anova311

12 Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 1: Einfluss bildhafter Verarbeitung auf die Gedächtnisleistung bei Männern und Frauen Interaktion: Frauen profitieren von bildhafter Verarbeitung stärker als Männer 07_anova312 strukturellbildhaft Frauen5139 Männer

13 Beispiele für Interaktionseffekte 07_anova313 strukturellbildhaftgesamt F5 (-0.75)13 (0.75)9 M5 (0.75)10 (-0.75)7.5 G

14 Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 2: Einfluss bildhafter Verarbeitung auf die Gedächtnisleistung bei Männern und Frauen Interaktion: Frauen profitieren von bildhafter Verarbeitung stärker als Männer 07_anova314 strukturellbildhaft Frauen Männer

15 Beispiele für Interaktionseffekte 07_anova315 strukturellbildhaftgesamt F5 (0)11.5 (0)8.25 M5 (0)11.5 (0)8.25 G

16 Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 3: Einfluss von Alkohol auf die Reaktionszeit bei Männer und Frauen Interaktion: Frauen werden durch Alkohol stärker beeinträchtigt als Männer 07_anova316 ohne Alk.mit Alk. Frauen Männer

17 Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 4: Wirksamkeit der Medikamente M 1 und M 2 bei Männer und Frauen. zwei Medikamente M1 und M2 (Faktor A) an Männern und Frauen getestet (Faktor B) keinen Unterschied zwischen den Geschlechtern und den Medikamenten aber eine Wechselwirkung (Interaktion): -bei Frauen wirkt M1 gut, M2 kaum -bei Männern entgegengesetzt M1 für Frauen, M2 für Männer besser geeignet 07_anova317

18 Strukturgleichung Strukturgleichung (2-fakt. ANOVA) = Strukturgleichung einfaktorielle ANOVA + Effekt des zweiten Faktors + Interaktionseffekt 07_anova318 Gesamtmittelwert Effekt Faktor A Effekt Faktor B Interaktion Fehler

19 Quadratsummen Quadratsummenzerlegung 07_anova319 SS total = SS between + SS within SS total = SS Faktor A + SS Faktor B + SS AxB + SS within

20 Quadratsummen 07_anova320

21 Quadratsummen Mittlere Quadrate und Freiheitsgrade 07_anova321 p = Anzahl der Stufen von Faktor A q = Anzahl der Stufen von Faktor B n = Anzahl Vpn in jeder Zelle (Annahme gleichbesetzter Zellen)

22 Der F-Test Statistische Hypothesen Bei einer 2-faktorienllen ANOVA gibt es drei Nullhypothesen: 1.H 0 für Faktor A: 2.H 0 für Faktor B: 3.H 0 für A x B: 07_anova322 für alle j, oder: für alle k, oder: für alle jk, oder:

23 Der F-Test Drei F-Tests 07_anova323

24 Der F-Test Erklärte Varianzanteile 07_anova324

25 Interaktionsformen Es gibt drei Formen der Interaktion: ordinale Interaktion beide Haupteffekte sind global interpretierbar hybride Interaktion nur einer der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar disordinale Interaktion keiner der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar 07_anova325

26 Interaktionsformen Keine Interaktion Die Diagramme zeigen die Gruppenmittelwerte der vier Zellen. Beide Diagramme zeigen die gleichen Daten! 07_anova326

27 Interaktionsformen Keine Interaktion Wenn die Linien der Graphen parallel verlaufen, gibt es keine Interaktion! 07_anova327

28 Interaktionsformen Ordinale Interaktion Wenn der gleiche Trend für beide Linien in beiden Diagrammen gilt (alle Graphen steigen oder alle Graphen fallen), spricht man von einer ordinalen (geordneten) Interaktion. 07_anova328

29 Interaktionsformen Disordinale Interaktion Wenn der unterschiedliche Trends für beide Linien in beiden Diagrammen gilt (ein Graphen steigt, einer fällt), spricht man von einer disordinalen (ungeordneten) Interaktion. 07_anova329

30 Interaktionsformen Hybride Interaktion Im linken Diagramm: gleicher Trend Im rechten Diagramm: entgegengesetzte Trends Hybride Interaktion 07_anova330

31 Interaktionsformen Welch Interaktionsform? 07_anova331 B1B1 B2B2 A1A A2A B1B1 B2B2 A1A A2A B1B1 B2B2 A1A A2A2 1540

32 Darstellung der Ergebnisse Darstellung der 2-faktoriellen ANOVA Beispieltext: Die Anzahl erinnerter Wörter wurde mit einer 3 (Lernbedingung) x 2 (Geschlecht) ANOVA ausgewertet. Das Geschlecht hatte keinen signifikanten Einfluss auf die Gedächtnisleistung, F<1. Es zeigte sich jedoch ein bedeutsamer Effekt der Lernbedingung, F(2,74) = 95.84; p<.01, sowie eine Interaktion beider Faktoren, F(2,74) = 27.66; p<.01. Diese Interaktion ist auf einen bessere Gedächtnisleitung von Männern in der bildhaften Bedingung (t[25]=3.61; p=.01) und eine bessere Gedächtnisleistung von Frauen in der emotionalen Bedingung (t[24]=-6.97; p<.01) zurückzuführen. 07_anova332 strukturellbildhaftemotional Männer Frauen

33 SPSS 07_anova333

34 SPSS 07_anova334 Syntax: glm memo by sex, bed /plot=profile(bed*sex).

35 SPSS 07_anova335

36 SPSS 07_anova336

37 Mehrfaktorielle ANOVA Eine Varianzanalyse kann mit beliebig vielen Faktoren berechnet werden. Damit sind auch Interaktionen höherer Ordnung möglich: drei-, vier-, fünf, …n-fach-Interaktionen (bei n Faktoren) Die Interpretation solcher Mehrfachinteraktionen ist oft schwierig. Beispiel: Evaluation eines Entspannungstrainings – Faktor A: Geschlecht des Kursleiters – Faktor B: Geschlecht der Kursteilnehmer – Faktor C: Art des Trainings: Progressive Muskelrelaxation (PMR) vs. Autogenes Training (AT) 07_anova337

38 Mehrfaktorielle ANOVA 07_anova ATPMR

39 Mehrfaktorielle ANOVA Eine dreifach-Interaktion (AxBxC) bedeutet, dass sich die zweifach-Interaktion (AxB) für die beiden Stufen von C unterscheiden. … oder, dass sich die dass sich die zweifach-Interaktion (AxC) für die beiden Stufen von B unterscheiden. … oder, dass sich die dass sich die zweifach-Interaktion (BxC) für die beiden Stufen von A unterscheiden. Eine 4-fach Interaktion ist darauf zurückzuführen, dass sich die beteiligten 3-fach Interaktionen voneinander unterscheiden. 07_anova339

40 Mehrfaktorielle ANOVA 07_anova340 1 Faktor: SS total = SS within + SS A 2 Faktoren: SS total = SS within + SS A + SS B + SS AxB 3 Faktoren: SS total = SS within + SS A + SS B + SS C + SS AxB + SS BxC + SS AxC + SS AxBxC 4 Faktoren: SS total = SS within + SS A + SS B + SS C + SS D + SS AxB + SS AxC + SS AxD +SS BxC +SS BxD + SS CxD + SS AxBxC + SS AxBxD + SS AxCxD + SS BxCxD + SS AxBxCxD

41 Zufallseffekte Feste Effekt vs. Zufallseffekte Bisher haben wir nur Varianzanalysen für so genannte feste Effekte besprochen. Definition: Man spricht von festen Effekten, wenn alle möglichen bzw. alle interessierenden Stufen eines Faktors im Versuchsplan realisiert werden. Beispiele: Geschlecht, Therapieform, etc. In diesem Fall kann ist das Ergebnis der ANOVA nur auf die realisierten Stufen zu beziehen. 07_anova341

42 Zufallseffekte Häufig sind Gruppenbildungen jedoch nicht eindeutig, weil eine UV keine feste Abstufungen hat. Beispiel: UV: Extraversion (gering, mittel, hoch) AV: Prüfungserfolg in einer mündlichen Prüfung. In diesem Fall sollte eine ANOVA mit Zufallseffekten berechnet werden. 07_anova342

43 Zufallseffekte Definition: Wenn einen Faktor viele Abstufungen hat und für eine Untersuchung zufällig einige davon ausgesucht werden spricht man von Zufallseffekten. Beispiele: Persönlichkeitseigenschaften, Alkoholkonsum, Alter, etc. Wenn ein Faktor als Zufallsfaktor betrachte wird, so ist eine Generalisierung der Ergebnisse auf andere (nicht untersuchte) Stufen möglich. 07_anova343

44 Zufallseffekte Feste Effekt vs. Zufallseffekte 07_anova344 Feste EffekteZufallseffekte Alle möglichen / interessierenden Stufen eines Faktors werden realisiert. Einige Stufen werden aus vielen möglichen Stufen ausgesucht. Keine Generalisierbarkeit auf nicht realisierte Stufen. Generalisierbarkeit ist gegeben. Die Summe der Effekte ist Null.Die Summe der Effekte muss nicht Null sein. H 0 : Alle Effekte sind Null. α j =0 (für alle j) H 0 : Die Varianz der Effekte ist Null. σ²(α) = 0

45 Zufallseffekte Beispiel: Alter und Klausurerfolg Gruppenbildung: – Alter < 24 Gruppe 1 – Alter 24 Gruppe 2 Willkürliche Gruppenbildung Eigentlich soll untersucht werden, ob der Studienerfolg vom Alter im Allgemeinen abhängt. 07_anova345 VpAlterGruppePunkte …………

46 Zufallseffekte 07_anova346 Gruppe 1 (jung)Gruppe 2 (alt) y i1 (y i1 -m 1 )²y i2 (y i2 -m 2 )² m 1 =25Σ=76m 2 =23Σ=36 Beispiel: Alter und Klausurerfolg

47 Zufallseffekte 07_anova347 Beispiel: Alter und Klausurerfolg Bei einer einfaktoriellen ANOVA mit Zufallseffekten werden die Quadratsummen wie bisher berechnet.

48 Zufallseffekte 07_anova348 Beispiel: Alter und Klausurerfolg Der kritische F-Wert beträgt 4.35 kein statistisch bedeutsamer Unterschied! Fazit: Kein Unterschied in der Durchführung des F-Tests im Vergleich zur Analyse mit festen Effekten. Dies gilt jedoch nur für die einfaktorielle ANOVA.

49 Zufallseffekte 07_anova349 Zweifaktorielle ANOVA mit Zufallseffekten Beispiel: Wie wirkt sich das Alter (UV 1 ) und die Extraversion (UV 2 ) eines Kandidaten auf das Ergebnis einer mündlichen Prüfung aus

50 Zufallseffekte 07_anova350 Zweifaktorielle ANOVA mit gemischten Effekten Liegt ein Faktor mit festem Effekt und ein Faktor mit Zufallseffekt vor, spricht man von einer ANOVA mit gemischten Effekten. Wichtig: Es muss bei der Berechnung der F-Tests beachtet werden, welcher Faktor als Zufallsfaktor eingegeben wird. Beispiel: Der Einfluss des Geschlechts (Faktor A) und des Alters (Faktor B) auf die Ängstlichkeit einer Person. Die folgenden Berechnungen gehen davon aus, dass Faktor B der Zufallsfaktor ist.

51 Zufallseffekte 07_anova351 Zweifaktorielle ANOVA mit gemischten Effekten zufällig fest

52 Zufallseffekte 07_anova352 Überblick über die Berechnung der F-Tests Faktor AFaktor BAxB A fest, B fest A zufällig, B zufällig A fest, B zufällig

53 Zusammenfassung 07_anova353 Zusammenfassung Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden. In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben. Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion möglich. Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden Interaktionen unterschieden.

54 Zusammenfassung 07_anova354 Zusammenfassung Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden. In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben. Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion möglich. Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden Interaktionen unterschieden.

55 Zusammenfassung 07_anova355 Mehrfaktorielle ANOVAs können mit beliebig vielen Faktoren (=UVs) berechnet werden (aber alle n pq > 20!). In diesem Fall ergeben sich Interaktionen höherer Ordnung, denen auch wieder bestimmte SS zugeordnet werden können. Werden Stufen eines Faktors zufällig aus einer großen Anzahl möglicher Stufen ausgewählt, müssen ANOVS mit Zufallseffekten berechnet werden Bei der mehrfaktoriellen Varianzanalyse beeinflusst die Art des Faktors (fest vs. zufällig), welche Varianz im Nenner des F-Bruchs verwendet werden muss.


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