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Finite Elemente Methoden bgFEM
Pflichtwahlfach BuG/I HS09 Hermann Knoll
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Tragwerkstypen Eindimensionaler Spannungszustand
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Tragwerkstypen Zweidimensionaler Spannungszustand
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Tragwerkstypen Dreidimensionaler Spannungszustand
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Bedeutung der Symbole x, y, z Koordinaten u, v, w Verschiebungen
x, y, gxy, ... Dehnungen x, y, z Normalspannungen xy, xz, yz Schubspannungen E Elastizitätsmodul G Torsionsmodul, Schubmodul
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Zustandsgrössen Verschiebungsgrössen (u, v, ...) Verzerrungsgrössen
Dehnungen (, , ...) Krümmungen Kraftgrössen (F, M, ...) Spannungen (, , m, ...)
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Grundgleichungen Gleichgewichtsbedingungen
kinematische Bedingungen (Verträglichkeit der Verzerrungen mit den Verschiebungsgrössen) Materialgesetz (z.B. Hooke'sches Gesetz) Randbedingungen: Auflager, äussere Lasten
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Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe
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Vorzeichendefinition der Spannungen
Positive Spannungen zeigen an einem positiven Schnittufer in die positive Koordinatenrichtung. Das Schnittufer, dessen Normalvektor in die positive Koordinatenrichtung zeigt, heisst positives Schnittufer.
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Verzerrung und Verschiebung
Die Verzerrungen lassen sich aus den Verschiebungen durch Differenzieren ermitteln. Beim Stab gilt:
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und bei der Scheibe
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Scheibe e = L • u
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Spannungen Fachwerkstab Scheibe
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Verzerrungen Fachwerkstab Dehnung Scheibe Dehnungen
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Hooke'sches Gesetz Fachwerkstab E = Eleasitzitästmodul
Scheibe (isotropes Material) µ = Querdehnzahl
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Materialgesetze Das Hooke'sche Gesetz ist ein Materialgesetz, welches im 1-dimensionalen Fall gültig ist. Im 2-dimsensionalen Fall gibt es verschiedene Verhältnisse, je nachdem, ob das Material isotrop oder anisotrop ist. Die vorgängigen Gleichungen gelten für isotrope Materialien. isotrop = in verschiedene Richtungen gleichförmig strukturiert
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Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen
Wenn sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, ist für beliebige, infinitesimal kleine, virtuell auf den Körper einwirkende Verschiebungen, die die Auflagerbedingungen erfüllen, die gesamte innere virtuelle Arbeit gleich der äusseren virtuellen Arbeit.
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Virtuelle Verschiebung
Eine virtuelle Verschiebung ist eine kleine, fiktive Verschiebung, die man zusätzlich zu den tatsächlichen Verschiebungen annimmt.
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Virtuelle innere Arbeit im infinitesimalen Element
Fachwerkstab
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Virtuelle innere Arbeit
Die virtuelle innere Arbeit ist diejenige Arbeit, die die wirklichen inneren Kräfte leisten würden, wenn der virtuelle Verschiebungszustand aufgebracht würde.
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Scheibe
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Scheibe
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Gleichgewichtsbedingung
Virtuelle innere und virtuelle äussere Arbeit müssen gleich sein:
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Arbeit Arbeit = Kraft x Weg W = F • s = s • F
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Virtuelle äussere Arbeit
Die virtuelle äussere Arbeit ist diejenige Arbeit, die die wirklichen äusseren Kräfte leisten würden, wenn der virtuelle Verschiebungszustand zusätzlich zu den wirklichen Lasten auf das System aufgebracht würde.
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Prinzip der virtuellen Kräfte
Bringt man auf einen Körper infinitesimal kleine, virtuelle Kräfte (Spannungen) auf, so ist die äussere virtuelle Arbeit gleich der gesamten inneren virtuellen Arbeit.
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Typischer Verlauf einer FE-Berechnung
Vorlauf Festlegen des Modelltyps Erzeugen bzw. Einlesen der Geometrie der Struktur Bereitstellen der Materialdaten Vernetzen der Struktur
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Typischer Verlauf einer FE-Berechnung
Aufbau und Lösen des FE-Systems Berechnen der Elementsteifigkeitsbeziehungen Zusammenbau zur Systembeziehung Einarbeiten der Randbedingungen Lösen des Gleichungssystems Berechnen der unbekannten Verschiebungen
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Typischer Verlauf einer FE-Berechnung
Nachlauf Berechnen der Dehnungen und Spannungen in den Elementen Mitteln von Spannungsgrössen und graphische Darstellung Ergebnisauswertung
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