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Vorlesung Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik W1332 Fakultät für Wirtschaftswissenschaften W. Dangelmaier.

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Präsentation zum Thema: "Vorlesung Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik W1332 Fakultät für Wirtschaftswissenschaften W. Dangelmaier."—  Präsentation transkript:

1 Vorlesung Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik W1332 Fakultät für Wirtschaftswissenschaften W. Dangelmaier

2 Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik - Inhalt 1.Einführung: Worum geht es hier? 2.System 3.Modell 4.Modellierung von Gegenständen 5.Strukturmodelle (Gebildestruktur) 6.Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) 7.Produktion 8.Digitale Fabrik 9.Planung von Produktionssystemen 10.Wirtschaftlichkeitsrechnung 11.Prüfungen

3 Grundstrukturen von Fertigungssystemen 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) Lager Zentrale Zwischenlagerung, getrenntes Fördersystem AB Zwischenlagerung, im Fördersystem (ständig bewegtes Lagergut) C Fördern durch Lagersystem (Lagergut nur zum Fördern bewegt)

4 Lager für Kaufteile und Halbzeuge - Lageralternative Flurförderer + Tragkettenförderer Förderkettenanordnung auf dem Förderfahrzeug 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

5 Lager für Kaufteile und Halbzeuge – Modellgraph des Lagervorhofes

6 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

7 Hier sollen Systemeigenschaften modelliert werden, die sich im Zeitablauf ändern. Es gilt, Ereignisse und ihre zeitliche Abfolge zu betrachten. Dabei kann das zugrunde liegende Strukturmodell konstant sein. Petri-Netze bilden optimal solche Strukturen immer wiederkehrender Abläufe gleicher Struktur ab, wie man sie z.B. in der Serienfertigung findet. Ein Petri-Netz ist ein Stellen/Transitions-Netz. Stellen/Transitionsnetze  Stellen-/Transitionsnetze (Petri-Netze) charakterisieren Prozesse durch die möglichen Zustände und Transitionen/Ereignisse in einer Ablaufstruktur (Ereignisse  aktive Prozesselemente)  Voraussetzung: Gültigkeit bestimmter Prozesszustände  Ergebnis: Veränderung bestimmter Prozesszustände.  Die Beschreibung des Prozessablaufs erfolgt über nacheinander eingenommene Prozesszustände 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

8 Allgemein markiertes Petri-Netz  Ein allgemein markiertes Petri-Netz PN ist definiert als PN : = { S, T, F, W, K, M, m 0 } S := {p} Menge der Plätze bzw. Stellen (Systemzustand, Systembedingungen) T := {a} Menge der Transitionen F := ( S x A x S )  {0, 1} Flussrelation W := ( F  N ) Kantenbewertung K := ( S  N ) Platzkapazität (bspw. Begrenzung des Warteraums) M := ( S  N )Menge der zulässigen Platzmarkierungen m 0  M Anfangsmarkierung  Eine Markierung m  M eines Petri-Netzes ist eine Abbildung m: S  N, die jedem Platz eine Anzahl n ≥ 0 Marken zuordnet und den augenblicklichen Prozesszustand kennzeichnet. Die maximale Anzahl von Marken in einem Platz wird durch die Platzkapazität k festgelegt. 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

9 Beispiel 1: Petri-Netz N = (S, T, F, K, W, M 0 ) S = {s 1, s 2 } T = {t 1, t 2 } F = {(s 1, t 2 ), (t 2, s 2 ), (s 2, t 1 ), (t 1, s 1 )} K(s 1 ) = 8W(s 1, t 2 ) = 6 M 0 (s 1 ) = 0 K(s 2 ) = 6W(t 2, s 2 ) = 2 M 0 (s 2 ) = 2 W(s 2, t 1 ) = 2 W(t 1, s 1 ) = 1 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

10 Beispiel 2: Handhabungsgeräte Werkstück A: Beide Handhabungsgeräte Werkstück B: Handhabungsgerät II 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

11 Beispiel 2: Handhabungsgeräte 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

12 Beispiel 3: Synchronisierter Nachrichtenaustausch Stellen S1 Sender ist sendefähig S2 Nachricht auf dem Bus S3 Empfänger verarbeitet Nachricht S4 Empfänger empfangsbereit S5 Empfangsbestätigung auf Bus S6 Sender wartet auf Antwort Transitionen t1Nachricht senden t2 Nachricht empfangen t3 Empfangsbestätigung senden t4 Empfangsbestätigung empfangen Aktuelle Marken Marken des vorherigen Schrittes S1S1 S4S4 S3S3 S6S6 S5S5 S2S2 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

13 Beispiel 3: Synchronisierter Nachrichtenaustausch Stellen S1 Sender ist sendefähig S2 Nachricht auf dem Bus S3 Empfänger verarbeitet Nachricht S4 Empfänger empfangsbereit S5 Empfangsbestätigung auf Bus S6 Sender wartet auf Antwort Transitionen t1Nachricht senden t2 Nachricht empfangen t3 Empfangsbestätigung senden t4 Empfangsbestätigung empfangen Aktuelle Marken Marken des vorherigen Schrittes S1S1 S4S4 S3S3 S6S6 S5S5 S2S2 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

14 Beispiel 3: Synchronisierter Nachrichtenaustausch Stellen S1 Sender ist sendefähig S2 Nachricht auf dem Bus S3 Empfänger verarbeitet Nachricht S4 Empfänger empfangsbereit S5 Empfangsbestätigung auf Bus S6 Sender wartet auf Antwort Transitionen t1Nachricht senden t2 Nachricht empfangen t3 Empfangsbestätigung senden t4 Empfangsbestätigung empfangen Aktuelle Marken Marken des vorherigen Schrittes S1S1 S4S4 S3S3 S6S6 S5S5 S2S2 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

15 Beispiel 3: Synchronisierter Nachrichtenaustausch Stellen S1 Sender ist sendefähig S2 Nachricht auf dem Bus S3 Empfänger verarbeitet Nachricht S4 Empfänger empfangsbereit S5 Empfangsbestätigung auf Bus S6 Sender wartet auf Antwort Transitionen t1Nachricht senden t2 Nachricht empfangen t3 Empfangsbestätigung senden t4 Empfangsbestätigung empfangen Aktuelle Marken Marken des vorherigen Schrittes S1S1 S4S4 S3S3 S6S6 S5S5 S2S2 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

16 Beispiel 3: Synchronisierter Nachrichtenaustausch Stellen S1 Sender ist sendefähig S2 Nachricht auf dem Bus S3 Empfänger verarbeitet Nachricht S4 Empfänger empfangsbereit S5 Empfangsbestätigung auf Bus S6 Sender wartet auf Antwort Transitionen t1Nachricht senden t2 Nachricht empfangen t3 Empfangsbestätigung senden t4 Empfangsbestätigung empfangen Aktuelle Marken Marken des vorherigen Schrittes S1S1 S4S4 S3S3 S6S6 S5S5 S2S2 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

17 Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik Das Fertigungssegment „ Felgenfertigung“ unserer Fahrradfabrik soll eine Reihe von Arbeitsstationen enthalten, die nach dem Fließprinzip angeordnet sind. Unter einer Arbeitsstation (AS) verstehen wir in diesem Zusammenhang eine oder mehrere Produktiveinheiten gleicher Art. Angelieferte Profilstangen (s3) werden zunächst auf die richtige Länge abgesägt und die abgetrennten Teile dann auf einer Biegemaschine rundgewälzt (t2). Beide Arbeitsgänge werden zusammen in einer AS (s4) durchgeführt. Die zugeschnittenen Profile (s5) werden in der nächsten AS (s8) durch zwei gerändelte Stifte (s7) am Stoß verbunden (t4). 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

18 Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik Im Folgenden werden je nach Felgendurchmesser entweder „große“ oder „kleine“ Löcher für Speichen gebohrt. Für beide Vorgänge steht allerdings nur eine AS (s12) zur Verfügung, um die sie konkurrieren müssen. Anschließend werden Ventillöcher gebohrt bevor abschließend eine Oberflächenbehandlung folgt (hier nicht mehr abgebildet). Verbunden werden die einzelnen Arbeitsstationen durch einen Gabelstapler (s1), der die aus 10 Teilen bestehenden Lose von Station zu Station transportiert (t1,t3,t5 und t10). 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

19 s2: Profilstangen Hauptlager t1:Profilstangen anliefern s3: Lager vor AS1 s1: Gabelstapler t2: Profilstangen sägen und rundwalzen s4:Maschinen AS1 s5: Lager hinter AS1 s2 s3 s1 s5 s4 t1 t2 10 Arbeitsstation 1 Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

20 t3: Los von AS1 zu AS2 transportieren s6: Lager vor AS2 t4: verbinden am Stoß s7: gerändelte Stifte (für dieses Beispiel unbegrenzt =  verfügbar) s8: Maschine AS2 s9: Lager hinter AS2 s2 s3 s1 s5s6s9 s7s4s8 t1 t2 t3 t  Arbeitsstation 2 Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

21 t5: Los von AS2 zu AS3 transportieren s10: Lager vor AS3 t6: Rohling in Maschine (AS3) einlegen um kleine Löcher zu bohren t7: Rohling in Maschine (AS3) einlegen um große Löcher zu bohren t8: kleine Löcher bohren t9: große Löcher bohren s12: Bohrer AS3 s11: AS3 reserviert für „kleine Löcher“ s13: AS3 reserviert für „große Löcher“ s14: Lager hinter AS3 s2 s3 s1 s5s6s9 s7s4s8 s10s14 s13 s12 s11 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t  Arbeitsstation 3 Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

22 t10: fertige Felgen ins Lager (s15) bringen und Bestand an Profilstangen aufstocken s2 s3 s1 s5s6s9 s7s4s8 s10 s15 s14 s13 s12 s11 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t  Beispiel 4: Felgenfertigung in der Fahrradfabrik 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

23 Beispiel 5: Werkstückhandhabung mit Roboter Werkstück- träger leer ab Werkstück- träger voll ab Werkstück- träger voll an Werkstücke auf FTS ab Handhabungs- werkzeuge Werkstücke auf FTS an Werkstück- träger leer an

24 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) Beispiel 5: Werkstückhandhabung mit Roboter 1Roboter, Werkstückträger und Handhabungswerkzeug 2FTS ankommend mit Werkstücken 3Bereitstellen der Werkstücke 4Werkstücke, nicht fertig bearbeitet 5Werkstücke vor nächstem Arbeitsvorgang 6Werkstück bearbeitet, nicht gespannt 7Werkstück ausschleusen oder nächster Arbeitsvorgang 8FTS abfahrend 9Roboter frei 10Werkstückträger + Handhabungswerkzeug 11Aufspannen 1 12Werkstück aufgespannt, mit Handhabungswerkzeug 13Werkstückträger voll in Richtung Fertigung ab 14Werkstückträger voll mit Handhabungswerkzeug 15Abspannen 16Werkstückträger + Werkstück + Handhabungswerkzeug abgespannt 17Werkstückträger und Handhabungswerkzeug trennen 18Werkstückträger leer, ohne Handhabungswerkzeug in Puffer 19Werkstück, Roboter und Werkstückträger mit Handhabungswerkzeug trennen 20Werkstückträger leer, mit Handhabungswerkzeug 21Aufspannen 2 22Handhabungswerkzeug-Puffer 23Werkstückträger voll aus Fertigung 24Werkstückträger aus Puffer leer an 25Werkzeuge zusätzlich kommissionieren 26Werkstückträger leer, mit Handhabungswerkzeug 27Werkstückträger voll und Handhabungswerkzeug vorhanden

25  Eine Transition ist schalt- oder arbeitsfähig, wenn gilt:  Die Eingangsplätze enthalten jeweils so viele Marken, wie die Vielfachheit der sie verbindenden Kanten angibt.  Die Ausgangsplätze können die anfallenden Marken bei Einhalten der Platzkapazitäten aufnehmen.  Über die ständige Veränderung der Markierung beim Schalten der Transitionen wird die ergebnisabhängige Abarbeitung der jeweiligen Aktionen gesteuert.  Im allgemeinen Fall ändert eine Transition a eine Markierung m in eine neue Markierung m’ gemäß m (s) - V (s, t), wenn (s, t)  (S x T) s  S : m’ (s) = m (s) + V (t, s), wenn (t, s)  (T x S) m (s), sonst  Es lassen sich ohne Probleme Montage-, Kommissionier- oder Transportvorgänge darstellen. Konfliktsituationen, wie sie z. B. im obigen Beispiel für das Handhabungsgerät II auftreten, müssen über Entscheidungsregeln gelöst werden. 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

26  Will man Forderungen unterscheiden, können Marken gefärbt werden: Ein gefärbtes Petri-Netz PNC stellt eine Abbildung mehrerer allgemeiner Petri-Netze mit unterschiedlicher Struktur in einem Netz dar: PNC: = (S, T, F, C, W, K, M, m 0 ) S := {s} Menge der Plätze T := {t} Menge der Transitionen C := {c} Menge der Markenfarben F := ( S x T )  ( T x S )  {0, 1} Flussrelation W := ( F x C )  N farbenabhängige Kantenbewertung K := ( S x C )  N Platzkapazität M := ( S x C )  N zulässige Markierung m 0  M Anfangsmarkierung 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

27  Die Fortschreibung eines Stellen-/Transitionen-Netzes über eine Folge von Markierungen mittels eines Computers benutzt vier Datenbereiche die Adjazenzmatrix A, die die Netzstruktur wiedergibt. Dabei entspricht die Anzahl der Zeilen der Anzahl der Stellen, die Anzahl der Spalten der Anzahl der Transitionen. Der Matrixwert als Pfeilgewichtigung ist positiv, wenn eine Stelle im Nachbereich, und negativ, wenn eine Stelle im Vorbereich einer Transition liegt. den Markenvektor M, der die aktuelle Markenbelegung der einzelnen Stellen und damit den aktuellen Systemzustand ausdrückt. den Kapazitätsvektor K, der das maximale Fassungsvermögen einer Stelle angibt den Transitionsvektor T als Anzeige, welche Transition wie oft schalten soll.  Die Bedingung für die Aktivierung einer Transition lautet 0 ≤ M + A × T ≤ K 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

28 Weiterhin gelten t4t4 w = 2 t3t3 t2t2 t1t1 S 2 k=4 S 3 k=4 S 4 k=4 S 1 k=4 w = 2 t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 S1S S2S2 11 S3S S4S A = Transitionen Stellen 041 M=3K=4t1=t1= Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

29 Aus 0 ≤ M + A × T ≤ K und folgt, dass t 1 unter den gegebenen Voraussetzungen nicht schaltfähig ist. für t 3 =  t 3 ist schaltfähig x0 = x0 = Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

30 Petri-Netz: Beispiel Schalten von t 1 Für das Beispielnetz gilt: 0 ≤ m + t 1 ≤ k Für die Transition t 1 ergibt sich Also kann die Transition schalten. 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

31 Aufgabe 6.1 Gegeben seien folgende Netzwerke 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) a)Geben Sie eine mögliche Schaltreihenfolge an. b)Wie könnte man sich die Anwendung vorstellen? B C E AD b c f e a h d g m0m0 kabcdefgh A B C D E

32 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) c) Geben Sie eine mögliche Schaltreihenfolge an. B C E AD b c f a e d m0m0 kabcdef A B C D E

33 Lösung a) 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) Eine mögliche Schaltreihenfolge wäre bspw. ggggggdddaaaaa A B C D E B C E A D

34 Lösung b) Es eine externe taktgebende Uhr. Mit jedem Takt schaltet alles, was schalten kann „gleichzeitig“. Natürlich entstehen dann ggf. Konflikte (siehe Konflikte und Kontakte) c) 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) B C E A D

35 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) cccccccccc A B C D E 10 eeeeeeeeee A B C D E

36 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) dddaaaaaee A B C D E

37 Tote Transitionen/Markierungen  Kann bei keiner Markierung der Erreichbarkeitsmenge schalten  Totale Verklemmung (keine Transition kann schalten) Lebendiges Netz  Keine totale oder partielle Verklemmung  Alle Transitionen können schalten Konfliktfreies und konfliktbehaftete Netze  Problem bei gleichzeitig aktivierten Transitionen  Eine Transition nimmt der anderen die Aktivität 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

38 Kontaktsituationen  Vermeidung durch Aufstellung von komplementären Bedingungen  Ausschließliche Betrachtung von hinführenden Kanten 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

39 Aufgabe 6.2 Verändern Sie das gegebene Netz so, dass über die Aufstellung komplementärer Bedingungen ausschließlich hinführende Kanten betrachtet werden müssen. 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) B C E AD b c f e a h d g abcdefgh A B C D E B C E AD b c f e a d abcdef A B C D E 00001

40 Lösung a) 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) B E f g h a e C A D E‘ C‘ D‘ A‘ B‘ b c d abcdefgh A B C D E A‘ B‘ C‘ D‘ E‘

41 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) B E f c e a C A D E‘ C‘ D‘ A‘ B‘ b abcdef A B C D E A‘ B‘ C‘ D‘ E‘ d

42 Zustandsmaschinen  Die Kapazität einer Stelle kann ≥ 1 sein  Jede Transition besitzt eine Stelle im Vor- und Nachbereich  Markenanzahl bleibt stets konstant 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

43 Synchronisationsgraph  Stellen besitzen eine Transition im Vor- und Nachbereich  Verhalten wird durch Kreise bestimmt  Ein Kreis ist ein geschlossener Weg mit einer Menge von Stellen Free-Choice-Netz  Verbindung von Zustandsmaschine und Synchronisationsgraph  Konflikterlaubnis bei Transitionen im Nachbereich 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

44 Deadlock S D  Jede Transition, die beim Schalten Marken in S D einbringt, entnimmt auch wenigstens eine Marke  Eine Stellenmenge S D eines markierten PN ist ein Deadlock  Ein unmarkierter Deadlock wird nie wieder markiert Trap S T  Jede Transition, die Marken aus S T entnimmt, gibt auch mindestens eine Marke an S T zurück  Nachbereich ist zugleich Vorbereich  Ein markierter Trap wird nie unmarkiert Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

45 Zeitbehaftete Netze  Vorgänge die durch Stellen dargestellt werden und Zustände repräsentieren  Start und Ende werden durch Vor- oder Nachgeschaltete Transitionen ausgedrückt  „Vorgang ist begonnen und nicht beendet“  Zeitmaßstab zur Angabe von Start- und Endereignissen Ausführungszeit t 1 und t 3 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

46 Netze mit individuellen Marken … ist als Erweiterung der Stellen-/Transitionsnetze anzusehen  Gefärbte Petri-Netze (CP-Netze)  Prädikat/Transitionsnetze (Pr/T-Netze) Stellen/Transitionsnetz  Zusammenfassen gleichartiger Stellen (s1 und s2, Werkstücke vor Bearbeitung)  Zusammenfassen gleichartiger Transitionen 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

47 Reduziertes Netz  Marken der zusammengefassten Stellen müssen unterscheidbar sein (Marke A,B)  Kanten mit ursprünglichen Schalt- bedingungen müssen wiedergegeben werden  Festlegung welche Marken von den Stellen des Vorbereichs einer Transition abgezogen werden  Festlegung welche Marken den Stellen des Nachbereichs einer Transition zugeführt werden 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

48 Netze mit individuellen Marken Prädikat/Transitionen-Netz (Pr/T-Netz)  Aus Transition t 1 und t 2 wird „Start der Bearbeitung“  Aus Transition t 3 und t 4 wird „Ende der Bearbeitung“  Voraussetzung: Variable und Funktionen müssen als Matrixelemente zugelassen sein  Zeiten können von unterschiedlichen Klassen abhängen  Variable und Funktionen können als Schaltbedingung dienen  Prädikatenlogische Sprachen zur Beschreibung Inzidenzmatrix des Petri-Netzes als Pr/T-Netz 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

49 S 1 (8) ●●● ●● T2T2 T1T1 S 2 (6) ●● Anfangsbelegungen von: m 0 (S 1 ) = 5 m 0 (S 2 ) = 2 a)Definieren Sie das hier vorliegende Petri- Netz in angemessener Weise. b)Errechnen Sie, ob die Transition T1 schalten kann (Schaltregel). c)Errechnen Sie mit Hilfe der Schaltregel alle möglichen Transitionen, bis das Petri- Netz anhalten muss (Hinweis: Wenn Sie Aufgabenteil b gelöst haben, können Sie Ihr Endergebnis als Startzustand benutzen.). Aufgabe Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

50 a)Definieren Sie das hier vorliegende Petri-Netz in angemessener Weise. Petri-Netz: N = (S, T, F, K, W, M 0 ) mit Stellenmenge:S = {s1, s2} Transitionsmenge:T = {T1, T2} Kantenmenge: F = {(s1, t2), (t2, s2), (s2, t1), (t1, s1)} Kapazitätsangaben der Stellen K mit:K(s1) = 8, K(s2) = 6 Kantengewichten W mit:W(s1, t2)=6, W(t2, s2)=2, W(s2, t1)=2, W(t1, s1)=1 Anfangsmarkierungen M 0 mit:M 0 (s1) = 5, M 0 (s2) = 2 b) Errechnen Sie, ob die Transition T1 schalten kann (Schaltregel). Also kann Transition T1 schalten. 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

51 c) Errechnen Sie mit Hilfe der Schaltregel alle möglichen Transitionen, bis das Petri-Netz anhalten muss. T1 schaltet T2 schaltet nicht mehr… T2 schaltet Nachdem T1 geschaltet hat, kann jetzt auch T2 schalten, danach noch einmal T1 und dann ist Schluss. 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

52 Diskrete Simulation  Eine Zustandsänderung wird durch ein Ereignis oder eine Sequenz von Ereignissen bewirkt (ereignisorientiert)  Der zeitliche Ablauf bei diskreten ereignisorientierten Modellen setzt sich aus einer Folge von Ereignissen zusammen  Ein Ereignis wird konsequent durch den Übergang von einem Modellzustand zu einem anderen definiert  Der Zustand bleibt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen unverändert  Die meisten ereignisorientierten, diskreten Simulationssysteme lassen sich auf gefärbte zeitbehaftete Petri-Netze zurückführen 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

53 Diskrete Simulation

54 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) Diskrete Simulation

55  Zur Ermittlung der Auslastung sind je Maschine die belegten Zeitabschnitte zur Simulationsdauer ins Verhältnis zu setzen (Maschine 2: 29/30 ∙ 100 %).  Dasselbe gilt für die Warteschlangenlänge (Mittlere Warteschlangenlänge Maschine 2: 3 Zeitabschnitte mit Warteschlangenlänge 0, 15 Zeitabschnitte mit Warteschlangenlänge 1, 12 Zeitabschnitte mit Warteschlangenlänge 2; (15 ∙ ∙ 2) : 30 = 1,3) und die Wartezeit im Puffer, die auf alle Werkstücke zu beziehen ist ( 1 ∙ ∙ ∙ ∙ 16) : 12 = 3,25 Zeitabschnitte.  Entsprechend berechnet sich die mittlere Durchlaufzeit zu  (Austrittszeitpunkt – Eintrittszeitpunkt) : Anzahl Werkstücke. 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) Diskrete Simulation

56 Aufgabe 6.4 Im Bereich Teilefertigung, Rohbau und Montage sollen 3 Gabelstapler für den Transport eingesetzt werden. Es gibt dazu 10 Transportbahnhöfe. Einen Transportauftrag soll, wenn einer oder mehrere Gabelstapler frei sind, der räumlich nächste zugeordnet werden. Falls alle Gabelstapler belegt sind, kommen die Transportaufträge in die Warteschlange. Aus der Warteschlange wird ein Auftrag dem ersten freien Gabelstapler zugeordnet. Zurückgestellte Transportaufträge (aus der Warteschlange) sollen vorrangig eingeplant werden. Ein Gabelstapler bleibt am Ende eines Transportauftrages am Ankunftsbahnhof. Es soll ein Belegungsdiagramm für die 3 Gabelstapler bis zum Zeitpunkt 350 ZE erstellt werden. Zu berechnen ist  der Auslastungsgrad der 3 Gabelstapler  die mittlere Wartezeit eines Transportauftrages und  der gesamte erforderliche Transportweg. 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) Diskrete Simulation

57 Ausgangssituation Entfernungsmatrix OrtBelegungszustand Gabelstapler 1Bhf. 1unbelegt Gabelstapler 2Bhf. 2unbelegt Gabelstapler 3Bhf. 3unbelegt 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur) Diskrete Simulation Bahnhof

58 Auftragstabelle TransportauftragDauer [ZE]von …… nach …Zeitpunkt [ZE] Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

59

60 Transportwegvonnachweg Gabelstapler Gabelstapler 253 vonnachweg Gabelstapler 377 Gesamt174 Auslastungsgrad Gabelstapler 10,742 Gabelstapler 20,742 Gabelstapler 30,685 Gesamt0,723 Mittlere Wartezeit 4 ZE 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

61 Beispiel: Produktions- und Lagerhaltungsproblem Definierte Größen: s:Stufenindex der Monate 1 bis 12 x s :Lagervorrat am Ende des s-ten Monats y s :Innerhalb des s-ten Monates produzierte Menge (y s  N s = {0, 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000}) a s :Nachfrage während des s-ten Monats L (x s–1 ):Lagerkosten während des s-ten Monats P (y s ):Produktionskosten als Funktion der produzierten Menge Die Gesamtkosten der s-ten Stufe sind dann g s (x s–1, y s ) = P (y s ) + L(x s–1 ) 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

62 Beispiel: Produktions- und Lagerhaltungsproblem Damit ergibt sich für das vorliegende Problem folgendes mathematisches Modell x 0 = 0 x s = x s–1 + y s – a s 0 < x s < x s max Y s  N s 12 Z =  (p [y s ] + L [x s –1 ]  min s=1 Lösungsansatz nach Bellmann: Jeder Teilweg eines optimalen Weges oder Teilweges ist optimal. 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

63 Aufgabe 6.5 Gegeben seien die Nachfrage für die nächsten 6 Zeitabschnitte und die Bestellkosten k bes und die Lagerkosten k lag. k bes = 250€/Bestellung k lag = 2€/(Stück*Zeitabschnitt) Die Kosten für eine Losgröße, die Zeitabschnitt t 1 bis Zeitabschnitt t 2 jeweils einschließlich abdeckt, ergeben sich zu Zeitabschnitt Nachfrage Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)

64 t = 1k 0 + k 1,1 = = 250k 1 = 250 QV 1opt = QV 1,1 t = 2k 0 + k 1,2 = * 120 = 490 k 1 + k 2,1 = = 500 k 2 = 490 QV 2opt = QV 1,2 t = 3k 0 + k 1,3 = * * 80 = 810 k 1 + k 2,3 = * 80 = 660 k 2 + k 3,3 = = 740 k 3 = 660 QV 3opt = (QV 1,1 ; QV 2,3 ) t = 4k 0 + k 1,4 = 1470 k 1 + k 2,4 = = 1100 k 2 + k 3,4 = = 960 k 3 + k 4,4 = = 910 k 4 = 910 QV 4opt = (QV 1,1 ; QV 2,3 ; QV 4,4 ) t = 5k 0 + k 1,5 = 2110 k 1 + k 2,5 = = 1580 k 2 + k 3,5 = = 1280 k 3 + k 4,5 = = 1070 k 4 + k 5,5 = = 1160 k 5 = 1070 QV 5opt = (QV 1,1 ; QV 2,3 ; QV 4,5 ) t = 6k 0 + k 1,6 = 2510 k 1 + k 2,6 = = 1900 k 2 + k 3,6 = = 1520 k 3 + k 4,6 = = 1230 k 4 + k 5,6 = = 1240 k 5 + k 6,6 = = 1320 k 6 = 1230 QV 6opt = (QV 1,1 ; QV 2,3 ; QV 4,6 ) tot Lösung Damit werden in Zeitabschnitt 1, 2 und 4 Lose mit 100, 200 und 230 Stück bestellt. Die minimalen Stückkosten belaufen sich auf 1230 €. Beispiel – Wagner/Within- Verfahren 6. Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)


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