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Vorstellen und Herleiten der Horner Schemas Um den Graph einer Funktion, wie z.B. f(x)= 2x³ -5x² -6x +9 zu erstellen, kann man eine Wertetabelle anlegen.

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Präsentation zum Thema: "Vorstellen und Herleiten der Horner Schemas Um den Graph einer Funktion, wie z.B. f(x)= 2x³ -5x² -6x +9 zu erstellen, kann man eine Wertetabelle anlegen."—  Präsentation transkript:

1 Vorstellen und Herleiten der Horner Schemas Um den Graph einer Funktion, wie z.B. f(x)= 2x³ -5x² -6x +9 zu erstellen, kann man eine Wertetabelle anlegen. Dabei werden verschiedene Werte für x in die Funktion eingesetzt, und man erhält entsprechende f(x)-Werte.

2 Beispiel: f(x)= 2x³ -5x² -6x +9 Werte-Tabelle: xf(x) x 1 = 0  f(0) = 2(0)³ -5(0)² -6(0) +9 f(0) = x 2 = 1  f(1) = 2(1)³ -5(1)² -6(1) +9 f(1) = 2·1·1·1 -5·1·1 -6·1 +9 f(1) = f(1) = usw....

3 Schauen wir uns einmal an, was dabei genau passiert: Wenn wir z.B. x=2 in f(x) einsetzen, rechnen wir: f(2) = 2(2)³ -5(2)² -6(2) +9 = 2·2·2·2 -5·2·2 -6·2 +9 das sind · 6 Multiplikationenund3 Additionen = 16 – = -7 und wir erhalten als Ergebnis · · · · · Das könnt ihr ja mal grad im Kopf machen!

4 Der britische Mathematiker William George Horner, kam auf eine Idee, wie man diesen Rechenvorgang vereinfachen kann. (Er hatte noch keinen Taschenrechner ;)) Er dachte sich folgendes: Die Funktion: f(x)= 2x³ -5x² -6x +9 Ist ja: f(x)= 2·x·x·x -5·x·x -6·x +9 Man sieht: Die ersten drei Terme enthalten alle mindestens ein x! x Daher kann man dieses x ausklammern! Daraus folgt: f(x)= x·(2·x·x -5·x -6) +9 Und weiter: f(x)= x·(2·x·x -5·x -6) +9 f(x)= x·(x·(2·x -5) -6) +9 Dadurch erhält man: ·· 3 Multisund 3 Addis Insgesamt spart man also 3 Multis ein! xx ·

5 Der Clou kommt aber erst noch ;) Horner hat noch konsequenter weitergedacht und die Rechnung in ein einfaches Rechenschema verwandelt: Die umgeformte Funktion f(x)= x·(x·(2·x -5) -6) +9 rechnet man ja von innen nach außen, Erhält man: f(2)= 2·(2·(2·2 -5) -6) +9 und rechnet = 2·(2·(2·2 -5) -6) +9 2·22·2 also z.B. für x=2: noch einmal zum mitdenken ;) (2·( -1 ) -2 ( -2 -6) ( -8 ) 2· ( -8 )

6 Und rechnet:,also AddiAlso Multi mit x=2,also Addialso Multi mit x=2,also Addialso Multi mit x=2 f(x)= x·(x·(2·x -5) -6) +9 f(2)= 2·(2·(2·2 -5) -6) +9 = 2·(2·(2·2 -5) -6) +9 2·22· (2·( -1 ) -2 ( -2 -6) ( -8 ) 2· ( -8 ) Die gegebene Funktion Diesen Rechengang hat Horner nun in ein einfaches Rechenschema gebracht. Das sogenannte: Horner Schema Für x=2 erhält man dann: f(x) = 2x³ -5x² -6x +9 formt man durch ausklammern von x um in:

7 Das Horner Schema: Von der gegebenen Funktion f(x) = 2x³ -5x² -6x +9 werden die Koeffizienten in die oberste Zeile geschrieben: In die nächste Zeile wird zunächst vorne eine Null geschrieben: 0 Jetzt beginnt man die Rechnung mit dem gewählten x-Wert: x=2 Die Rechnung funktioniert wie folgt: Es wird immer vertikal addiert,also zunächst + 2 Das Ergebnis wird dann diagonal mit x multipliziert ·x 4 jetzt wieder vertikal addieren, + diagonal mit x multiplizieren, ·x = f(2) + ·x usw.... Der letzte Wert (hier –7) entspricht dem Funktionswert von x=2, also f(2).

8 Arbeitsauftrag: Die Funktion f(x) = 2x³ -5x² -6x +9 a) Führen Sie bitte eine Polynomdivision von f(x) und dem Linearfaktor (x-1) durch. hat eine Nullstelle bei x 1 =1 b) Führen Sie bitte das Horner Schema mit f(x) und dem x-Wert x 1 =1 durch. c) Was fällt Ihnen auf, wenn Sie die Ergebnisse vergleichen?

9 Erkenntnis: Wenn bei einem Rechendurchlauf des Horner Schemas das Endergebnis (der f(x)-Wert) gleich Null ist, so entsprechen die übrigen Zahlen der Ergebniszeile den geordneten Koeffizienten der Restfunktion! f(x) = 2x³ -5x² -6x x= = f(1) -9 0 Beispiel:  Horner Schema =Restfunktion f Rest (x)= 2x² -3x -9 = 0  weiter mit p/q-Formel

10 Zusammenfassung: Wenn man die Nullstellen von Funktionen dritter und höherer Ordnung bestimmen möchte, ist folgendes Vorgehen sinnvoll: 1) 1.Nullstelle raten: f(x) = 2x³ -5x² -6x +9 Beispiel:  x 1 =1  f(1) =0 Als zweiten Schritt kann man sich nun entscheiden, ob man Polynomdivision oder das Horner Schema nutzen möchte: 2a) Polynomdivisionoder2b) Horner Schema (2x³ -5x² -6x +9): (x-1)= 2x² -(2x³-2x²) -3x² -6x -3x -(3x² +3x) -9x (9x +9) 0 f Rest (x) x= = f(1) f Rest (x)= 2x² -3x -9 = 3) Die beiden weiteren Nullstellen mit der Restfunktion f Rest (x) z.B. mittels p/q-Formel berechnen. 4) Alle Nullstellen N 1 (x 1 /0), N 2 (x 2 /0), N 3 (x 3 /0) hinschreiben.


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