Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Shors Algorithmus Effiziente Faktorisierung. 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung2 I Motivation l Kryptographie (RSA): p, q: große.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Shors Algorithmus Effiziente Faktorisierung. 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung2 I Motivation l Kryptographie (RSA): p, q: große."—  Präsentation transkript:

1 Shors Algorithmus Effiziente Faktorisierung

2 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung2 I Motivation l Kryptographie (RSA): p, q: große Primzahlen, n: d: relativ prim zu (p-1)(q-1), e aus Schlüssel: öffentlich (e, n), geheim (d, n) Verschlüsseln Entschlüsseln

3 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung3 l Brechen von RSA: n faktorisierbar: p,q: geheimer Schlüssel errechenbar Allerdings exponentielle Laufzeit! l Killerapplikation für Quantenrechner

4 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung4 II Der Algorithmus von Shor 1. Klassische Faktorisierung 2. Faktorisierung mit Quantencomputern 3. Shors Faktorisierung

5 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung5 1. Klassische Faktorisierung l Mathematische Grundlagen n groß, soll faktorisiert werden Periodisch: (Periode/Ordnung r)

6 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung6 Besonderheiten: r gerade! Teiler können auch 1 und sein 2 Teiler:

7 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung7 l Effizienz Geeignete a: hohe Wahrscheinlichkeit Richtige Periode r: Zufall: raten oder rechnen (alle Möglichkeiten durchprobieren) leider exponentiell viele Möglichkeiten! Worst Case: n ist prim

8 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung8 Bester klassischer Algorithmus (n: L Bits): Zeitkomplexität:

9 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung9 2. Faktorisierung mit Quantenrechnern l Wo? Bestimmung der Periode l Wie? Superposition: alle möglichen Perioden gleichzeitig! rechnen Fourier-Transformation: Extraktion von Frequenzen periodischer Funktionen

10 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung10 3. Shors Algorithmus l Effizientes Raten von r: Lade alle nötigen x (Superposition!) Anwenden von Fouriertransformation Frequenzen von Grundfrequenz Brauchbares Ergebnis mit hoher Wahrscheinlichkeit

11 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung11 Shors Algorithmus l Schritt 1: Vorbereitung: Zahl n (m Bits) 1

12 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung12 Shors Algorithmus l Schritt 2: Funktion berechnen: Hadamard-Operator auf 4. Register anwenden: Superposition aller Werte von 0, 1,..., q-1 im 4. Register

13 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung13 Berechnung

14 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung14 Shors Algorithmus l Schritt 3: Messung letztes Register Ergebnis y uninteressant Wirkung auf vorderes Register: Vielfache von r, um Offset l verschoben Zustand:

15 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung15 Shors Algorithmus l Schritt 4: Fourier-Transformation QFT Offset l jetzt in Phase, nicht im Zustand

16 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung16 Shors Algorithmus l Schritt 5: Messung 4. Register: c aus Messung, q bekannt:

17 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung17 Shors Algorithmus l Schritt 6: Errechnen der Periode r aus Kettenbruchzerlegung Bestimmen der Faktoren:

18 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung18 Shors Algorithmus l Mögliche Probleme: r ungerade Faktoren sind n und 1 r nicht bestimmbar, Kettenbruchzerlegung endet nicht

19 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung19 III Anhang

20 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung20 1. Keine Messung l Messung setzt 4. Register auf 0 außer an Werten für x von periodische Funktion: Grundfrequenz + Oberschwingungen (in Superposition): Fouriertransformation extrahiert Frequenzspektrum (in Superposition) l Ohne Messung: QFT auf 5. Register anwenden

21 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung21 2. QFT l Verwandt mit FFT Effizienz: Hadamard- und X-Gatter

22 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung22

23 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung23 3. Kettenbruchzerlegung l Messergebnis: l Genauer (Shor): liegt mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe

24 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung24 l Algorithmus: Terminiert, wenn: Ergebnis:

25 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung25 4. Komplexität l Für Shors Algorithmus: 300 lg n Elementargatter n: 130 Stellen: 2 Wochen bei 1MHz n: 260 Stellen: 32 Wochen bei 1MHz Beckman et al. (1996): m-Bit Integer: Zeit: Speicher:


Herunterladen ppt "Shors Algorithmus Effiziente Faktorisierung. 16. Januar 2003 Gregor Rößle - Shors schnelle Faktorisierung2 I Motivation l Kryptographie (RSA): p, q: große."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen