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B AYES ianische Statistik für Einsteiger MCMC Verteilungen a priori Dr. rer. pol. R. V ONTHEIN, Dipl. Statistiker (Univ.) Institut für Medizinische Biometrie.

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1 B AYES ianische Statistik für Einsteiger MCMC Verteilungen a priori Dr. rer. pol. R. V ONTHEIN, Dipl. Statistiker (Univ.) Institut für Medizinische Biometrie und Statistik, Universitätsklinikum Schleswig-Holstein, Campus Lübeck, Universität zu Lübeck Dr. sc. hum. J. K ÖNIG, Dipl. Mathematiker Inst. für Med. Biometrie, Epidemiologie und Informatik, Universitätsmedizin Mainz GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –

2 Inhalt MCMC 1.G IBBS Sampler und M ETROPOLIS -H ASTINGS -Schritte 2.Reparametrisierung und Blockbildung 3.Konvergenzdiagnose Verteilungen a priori 1.Konjugierte Verteilungen 2.Uneigentliche Verteilungen 3.Elizitieren 2 – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – – 54. GMDS, Essen

3 MCMC Idee: Aus Vorschlagsverteilungen werden Werte für die Parameter generiert (Monte-Carlo-Methode). Die Vorschlagsverteilungen werden aufdatiert, so dass die Parameterwerte eine azyklische M ARKOV -Kette bilden und die Verteilung der generierten Werte gegen die Verteilung a posteriori konvergiert. Die Startverteilung ist die a-priori-Verteilung. 1.G IBBS Sampler und M ETROPOLIS -H ASTINGS -Schritte 2.Reparametrisierung und Blockbildung 3.Konvergenzdiagnose GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –

4 G IBBS Sampler Algorithmus 1.Vollständig bedingte Verteilungen für die Parameter Q( j x, 1,.., j 1, j+1,.., J ) 2.Iterieren bis zur Konvergenz 1.generiere einen m -ten Wert j (m) aus Q( j (m) x, 1 (m),.., j 1 (m), j+1 (m 1),.., J (m 1) ) 2.datiere die nächste vollständig bedingte Verteilung auf 3.Simulieren aus der Verteilung a posteriori 4.Parameter schätzen aus der generierten Stichprobe GMDS, Essen Geman S, Geman, D. Stochastic relaxation, Gibbs distributions, and the Bayesian restoration of images. IEEE-PARMI 1984;6: Gelfand AE, Smith, AFN. Sampling-based approaches to calculating marginal densities. JASA 1990;85: – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –

5 M ETROPOLIS -H ASTINGS -Schritte 1.generiere Wert j (m) aus einfacher Vorschlagsdichte g, welche aber auch aufdatiert wird 2.akzeptiere mit Wahrscheinlichkeit 3.sonst bleibe bei j (m) j (m 1) hängt davon ab, ob die vollständig bedingte Dichte ansteigt GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – – Metropolis N, Rosenbluth A, Rosenbluth M, Teller A, Teller E. Equation of state calculation by fast computing machines. J Chem Physics 1953;21: Hastings WK. Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications. Biometrika 1970;57:97-109

6 Reparametrisierung Korrelierte Parameter führen zu Autokorrelation der Iterationen, langsamer Konvergenz, geringem effektivem Stichprobenumfang GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –

7 Blockbildung und werden aus einer gemeinsamen multivariaten Verteilung gleichzeitig generiert GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –

8 Konvergenzdiagnose Autokorrelationsfunktion fällt exponentiell Korrelation zwischen Parametern ist gering rapid mixing der M ARKOV -Ketten im Graph, per ANOVA Einschwingen (burn in) des Polygonzugs ist beendet GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –

9 Verteilungen a priori Idee: Vorinformation formulieren 1.Konjugierte Verteilungen (s. Einleitung) 2.Uneigentliche Verteilungen als nicht-informative Verteilungen 3.Elizitieren Quantile, Momente, mit Elicitor GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –

10 Konjugierte Verteilungen 1.Konjugierte Verteilungen (s. Einleitung) 2.z.B. Exponentialfamilien; s. neuesten TAS 3.Information in Anzahl Beobachtungen messbar, z.B. im Beta-Binomial-Modell die Summe der Parameter der Beta-Verteilung 4.Sichern Existenz der Parameter der a-posteriori-Verteilung GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –

11 Uneigentliche Verteilungen als nicht-informative Verteilungen: minimiere F ISHER -Information (maximiere Varianz), S HANNON -Information (maximiere Entropie) a popsteriori Konstante Dichte bedeutet Unfug: f (0) = f ( ) Translations- und Skalen-Invarianz für verschiedene Parameter erfordern verschiedene a-priori-Verteilungen uneigentliche a-posteriori-Verteilung leichter möglich GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –

12 Elizitieren Herauslocken und formulieren der Vorinformation Lange Diskussion der Literatur! Diskontiere historische Kontrollen! Wahl der Verteilung nach Träger und Konjugiertheit Hyperparameter bestimmen über Quantile (unwahrscheinlich, gleichwahrscheinlich) über Momente (Erwartung, Median) mit Programm Elicitor (WinBUGS für logistische Regression) GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –

13 Beispiel: historische Kontrolle GMDS, Essen – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – – Fauchére J-C, Dame C, Vonthein R, Koller B, Arri S, Wolf M, Bucher HU. An approach to using recombinant erythropoietin for neuroprotection in very preterm infants. Pediatrics 2008:122:375-82

14 Beispiel: historische Kontrolle GMDS, Essen … – – MCMC 1 – 2 – 3 Prior – –


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