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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nichtrauchern ein- geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
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Also haben wir: Allgemein definiert man:
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Drei Personen A, B und C befinden sich im Gefängnis.
Hier noch ein Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit Drei Personen A, B und C befinden sich im Gefängnis. Einer von den dreien ist zum Tode verurteilt, aber keiner der drei weiß vor der Exekution über sein Schicksal Bescheid. Der Gefangene A fragt seinen Wärter, wer von den beiden anderen, B oder C, exekutiert werden wird. Wir nehmen an, dass der Wärter, falls er die Wahl hat, mit Wahrscheinlichkeit p die Antwort „B“ gibt und mit Wahrscheinlichkeit 1 - p die Antwort „C“. Ansonsten antwortet er wahrheitsgemäß. Man berechne die „Überlebenswahrscheinlichkeit“ für A, wenn der Wärter mit B geantwortet hat.
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Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM ,- anschaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen
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Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:
Es ergibt sich: 5 Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:
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Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
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Satz von Bayes
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Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für
die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen. (Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)
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Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Ausländer ist? D: „Der Gast ist ein Deutscher“ I: „Der Gast ist ein Italiener“ A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“ S: „Der Gast bestellt Spaghetti“
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Nach der Formel für die totale Wahr-
scheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes
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Satz von Bayes
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Lernen aus Erfahrung Beispiel Eine Urne enthält 4 Kugeln.
Wir wissen, dass eine der folgen- den Situationen A1, A2 oder A3 vorliegt: A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grün A2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grün A3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind unbekannt. Wir setzen: P(A1) = p1 P(A2) = p2 P(A3) = p3
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„Bei jedem Zug zeigt B sich eine rote Kugel“
Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. „Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel“ B Dann hat man:
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Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso:
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Unabhängig von den Werten für
p1, p2 und p3 hat man: Für große m nähert sich die bedingte Wahrscheinlichkeit für A3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern.
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Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistik
der Wahrscheinlichkeitstheorie
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Verteilungsfunktion der Normalverteilung I
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Verteilungsfunktion der Normalverteilung II
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Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980
Beispiel „Haushaltsgröße“ Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen) Verteilungsfunktion
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Zufallsvariablen Verteilung Verteilungsfunktion
Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichte Verteilung Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr- scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen diskret stetig
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Wahrscheinlichkeitsfunktion
diskret f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion von X stetig f nennt man Dichtefunktion von X
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Verteilungsfunktion diskret stetig diskret stetig
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Erwartungswert und Varianz I
Der endliche Fall Erwartungswert Varianz
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Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980
Beispiel „Haushaltsgröße“ Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen)
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Erwartungswert und Varianz II
Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz
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Erwartungswert und Varianz III
Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz
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Gegeben seien n Zufallsvariablen
Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé
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