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TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 18. April 2006 Robert Klanner Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006.

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1 TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 18. April 2006 Robert Klanner Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006

2 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II WIEDERHOLUNG Dirac Gleichung Dualität Teilchen Welle: ( = c =1) KG: - neg. Energien + neg. Wahrsch.-Dichte Dirac: kov. Gleichung linear in E und p: mit Bedingung i, … 4x4 Matrizen Lösung ψ Spinor mit 4 Komponenten beschreibt Spin ½ Teilchen mit Masse m Lösung mit neg. Energien Antiteilchen freies Elektron in Ruhe: freies Positron in Ruhe: Elektron im em Potential: Pauli-Gleichung Dirac Gleichung beschreibt korrekt Elektronen und Positronen DGL in kovarianter Schreibweise: - kovariante und kontravariante Vektoren: - -Matrizen: - Ableitungen: - kovariante Form DGL: - vollständige Lösungen: Schrödinger Gleichung (SG) Klein-Gordon Gleichung (KG) 4-Stromdichte:

3 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE anschauliche Erläuterung: Streuung geladener (punktf!) -Mesonen an Potential V(t) + -Streuung mit + absorbiert Photon der Energie - -Streuung einlaufend - mit E 1 >0 = ausl. + mit E out = -E 1 auslaufend - mit E 2 >0 = einl. + mit E in = -E 2 mit - absorbiert Photon der Energie - -Paarerzeugung rücklaufendes + vorlauf. - mit E 1 +E 2 = - -Paarvernichtung Potential: V nimmt Energie auf - vernichten in Photon mit V gibt Energie ab V nimmt Energie auf

4 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II ÜBERBLICK 1.Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen 2.Feynman-Regeln und –Diagramme 2.1 Axiomatische Einführung der Regeln der QED 2.2 Ableitung der Regeln (1) 2.3 Das Matrix-Element der e – -Streuung 2.4 Ableitung der Regeln (2) 2.5 Fermis Goldene Regel und Wirkungsquerschnitte 2.6 Kinematik der 2 2-Streuung (Mandelstam-Variablen) 2.7 Wirkungsquerschnitt der 2 2-Streuung a+b c+d 2.8 Berechnung des Matrix-Elements 2.9 Crossing und wichtige QED-Prozesse 2.10 PETRA und das JADE-Experiment 2.11 Helizität und Chiralität 2.12 d-Funktionen

5 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II Feynman entwickelte eine bildhafte Sprache zur Beschreibung von Teilchenreaktionen (hier nur QED ie. Photonen, geladene Leptonen, (Quarks)): – Vertizes: Umwandlung von Teilchen, Teilchenzahländerung: – äußere Linien: (Anti)Fermionen, Photonen – innere Linien (Propagatoren): z.B. in Zuordnung: – einlaufende Fermionen: – auslaufende Fermionen: – einlaufende Antifermionen: – auslaufende Antifermionen: – Photon-Absorption/Emission: (Polarisationsvektor, Coulomb-Eichung 0 =0) 2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED – innere Photonen mit Impuls q : (Propagator) – innere Spin-1/2-Teilchen, Impuls p, Masse m – Vertex mit Ladung Qe: (+ -Funktion zur Energieerhaltung) – Schleifen: Integration über mögliche Impulse: Ableitung des Matrixelements / des Wirkungs- querschnitts des Prozesses durch (geschicktes) Multiplizieren der Beiträge. ??? qq p q-p

6 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II man spricht von der Strom-Strom-Wechselwirkung 2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED Zeit e–e– e–e– – – Die Feynman-Diagramme stellen Glieder einer Störungsreihe in der Kopplung e dar: Dabei treten reelle (Abstrahlung von Teilchen im Anfangs- oder Endzustand) und virtuelle (Schleifen-) Korrekturen auf. Matrixelement S fi (1) 1 te Ordnung Störungstheorie

7 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II ABLEITUNG DER FEYNMAN-REGELN (1) Vorgehensweise: 1.Berechnung Elektron-Propagator (zeitliche Entwicklung Spinor im Vektorpotential A ) 2.Berechnung Photon-Propagator (Vektorpotential vom Target) Lösung mit Hilfe Greens-Funktion (GF) Erinnerung Elektrostatik: Poisson Gl: Lösung: GF: GF: Potential Ladung Stärke 1 Wir betrachten ein Elektron im elektromagnetischen Feld A: Die Dirac-Gleichung mit Potentialterm: Diese Gleichung löst man mithilfe einer Greens- Funktion K(x-x) mit dem Ansatz: Falls man K(x-x) gefunden hat, dann gilt: Problem: Dies ist eine Integralgleichung für Lösung iterativ durch Entwicklung nach Potenzen von e. Aufgaben: – Finden von K(x-x) – Iterative Lösung obiger Gleichung – Interpretation von K(x-x) (Heaviside-Lorentz Einheiten von SI-E mit =1)

8 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II ABLEITUNG FEYNMAN-REGELN (2) Es gilt: Zu einer Lösung einer inhomogenen Gleichung kann man immer eine Lösung (freies Teilchen) der homogenen Gleichung hinzuaddieren Jetzt Störungsrechnung – zweiter Term rechts wird als kleine Störung behandelt! 0 te Näherung: 1 te Näherung: 2 te Näherung: Weiter durch Berechnung der Fourier- Transformierten von K(x-x): Einsetzen in … … ergibt: Mit kleiner Rechnung (Übung) zeigt man: Das ist aber der Propagator des Elektrons! K beschreibt nur virtuelle Teilchen, da p 2 -m 2 0 gelten muss! Einsetzen des Ergebnisses in die Fourier- Transformation ergibt (länglich): für p 2 –m 2 0

9 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II ABLEITUNG DER FEYNMAN-REGELN (3) Anmerkung: Bei Berechnung komplexes Integral: Pole bei p 0 =±E verschiedene Integrationswege - für t>t (p 0 =+E … Ausbreitung in Zukunft) - t t = 0 t < t für t < t = 0 t > t

10 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II MATRIXELEMENT DER e – -STREUUNG Nun Beschreibung von Teilchenreaktionen (Streuprozessen). Kollimierter e – -Strahl, der an Potential A gestreut wird: Von der Streuwelle streu wird nur Anteil mit p f gemessen Entwickle streu nach ebenen Wellen und projiziere f (p f ) heraus: streu wird entwickelt: z.B. Die Wahrscheinlichkeit für den Übergang f (das Matrixelement) ist dann gegeben durch (QM!): Einsetzen des Ausdrucks erster Ordnung … da (siehe vorher): Streuung Potential Detektor, d Einlaufende ebene Welle Streuwelle K(x 2 -x) extrapoliert am Detektor gemessene Wellenfunktion f (x 2 ) ins Target bei x zurück

11 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II ABLEITUNG DER FEYNMAN-REGELN (4) Potential A des Targetteilchens (p)? Rückgriff auf Berechnung des -Propagators (nicht explizit gezeigt) mit und mit folgt nach einiger Rechnung: Damit sind die Feynman-Regeln gezeigt! Ausführliche Rechnung:

12 RK/TSS SS06: Teilchenphysik II FERMIS GOLDENE REGEL UND WIRKUNGSQUERSCHNITTE Problem: Wirkungsquerschnitt divergiert! Ursache: Annahme von ebenen Wellen und nicht von Wellenpaketen Wellenpakete mathem. kompliziert – gleiches Ergebnis ebene Welle über endliche Zeiten Energieunschärfe: Übergangswahrscheinlichkeit der Reaktion: Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit: Der Wirkungsquerschnitt wird definiert als: mit der Stromdichte der einlaufenden Teilchen j ein. Fermis Goldene Regel


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