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Technische Informatik I Vorlesung 2: Zahldarstellung Joachim Schmidt Universität Bielefeld Technische Fakultät.

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Präsentation zum Thema: "Technische Informatik I Vorlesung 2: Zahldarstellung Joachim Schmidt Universität Bielefeld Technische Fakultät."—  Präsentation transkript:

1 Technische Informatik I Vorlesung 2: Zahldarstellung Joachim Schmidt Universität Bielefeld Technische Fakultät

2 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung2 Übersicht Geschichte der Zahlen Zahlensysteme Basis / Basis-Umwandlung Zahlsysteme im Computer Binärsystem, Hexadezimalsystem, BCD Negative Zahlen 1er / 2er Komplement Floating Point - wissenschaftliche Zahlen ASCII / Unicode-Kodierung Schlußfolgerung

3 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung3 Zahlwahrnehmung Wieso hat der Mensch den Zahlbegriff entwickelt? Beobachtung der Natur Wunsch, sich darüber zu verständigen Voraussetzung: Alle Menschen haben die gleiche Zahlwahrnehmung Ist das wirklich so?

4 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung4 Zahlwahrnehmung

5 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung5 Zählen Zählen Zahlgefühl Natürliche Grenze liegt bei 3-5 Für alles weitere muss man zählen Man benötigt ein Zahlensysstem

6 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung6 Zahlensysteme Was macht ein Zahlensystem aus? Künstlich geschaffenes System Bijektion Objekt/Symbol Element einer Menge Symbole in Beziehung setzten Rechnen Sollte möglichst allgemein verständlich sein

7 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung7 Zahlzeichen

8 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung8 Zahlzeichen Der Mensch hat viele verschiedene Möglichkeiten entwickelt, Zahlen symbolisch darzustellen Konkrete Zahlzeichen Gegenstände aller Art Kerben in Knochen oder Holz Geknotete Schnüre Gesten mit Fingern, Zehen und anderen Körperteilen

9 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung9 Zahlzeichen Mündliche Zahlzeichen Die Einheit: Sonne, Mond Das Paar: Augen, Flügel eines Vogels Die Drei: Blätter des Klees Die Vier: Pfoten eines Tieres Vom Sinneseindruck losgelöste Zahlwörter eins, zwei, drei Schriftliche Zahlzeichen Graphische Zeichen aller Art

10 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung10 Zahlensysteme mit verschiedenen Basen DualsystemRepräsentation im RechnerBasis 2 QuinärsystemZählen mit einer HandBasis 5 OktalsystemMenschenlesbare Darstellung von Maschinenzahlen Basis 8 DezimalsystemZählen mit den FingernBasis 10 DoudezimalsystemDutzend, gut zu rechnenBasis 12 HexadezimalsystemMenschenlesbare Darstellung von Maschinenzahlen Basis 16 VigesimalsystemZählen mit Fingern und ZehenBasis 20 SexagesimalsystemAstronomie, MathematikBasis 60

11 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung11 Eigenschaften der Basis Man benötigt eine für den Menschen überschaubare Größenordnung als Basis kleinere Basis längere Darstellung einfacheres System wenig Zahlzeichen überschaubares "1x1" Grössere Basis kürzere Darstellung schwierigeres System viele Zahlzeichen quadratisch wachsendes "1x1"

12 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung12 Zahlendarstellung Basis des Zahlensystems: B Ziffer: a i {0, 1, 2, …, B-1} Zahl: geschrieben: a n a n-1 …a 2 a 1 a 0 Wert: a 0 *B 0 + a 1 *B 1 + … + a n *B n = a i *B i i=1 n

13 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung13 Zahlendarstellung

14 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung14 Umwandlung Binär Hexadezimal Einfache Lesbarkeit Höhere Informationsdichte

15 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung15 Verschiedene Zahlensysteme BinärOktalDezimalHexadezimal A 10 14

16 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung16 BCD – Binary Coded Decimal Zahlenformat in COBOL Darstellung von Brüchen Vermeidung von Rundungsfehlern Anwendung bei Versicherungen / Banken

17 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung17 Basiskonversion Wunsch: Jedes Zahlensystem in jedes andere überführen Algorithmus: Umzurechnende Zahl: A, neue Zahl: B=0 Alte Basis: B A, neue Basis: B B Schrittzähler: n=0 Teile (ganzzahlig mit Rest) Zahl A durch neue Basis B B Speichere Ergebnis wieder in A zur Basis B A Füge den Rest als Ziffer zur Basis B B an Stelle n in B ein Nächster Schritt: n += 1 Solange, bis Zahl A=0

18 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung18 Basiskonversion

19 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung19 Grundrechenarten Binär Angelehnt an schriftliche Addition / Multiplikation Wegen Basis 2 sehr einfach Multiplikation zurückgeführt auf Addition

20 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung20 Negative Zahlen Wunsch: Auch negative Zahlen darstellen 1. Bit codiert Vorzeichen (Sign Bit) Weniger Bits für eigentliche Zahl übrig Vorsicht beim Rechnen!

21 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung21 Einerkomplement Andere Darstellung negativer Zahlen Ersetzte jede 0 durch eine 1, jede 1 durch 0 Bitweise Negation Enthält ebenfalls Vorzeichenbit

22 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung22 Einerkomplement +0: : : : Darstellung ist eindeutig Zwei Darstellungen der Null:

23 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung23 Zweierkomplement Weitere Darstellung negativer Zahlen Ersetzte jede 0 durch eine 1, jede 1 durch 0 Bitweise Negation Addiere 1 Enthält Vorzeichenbit

24 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung24 Zweierkomplement +20: : Es gibt keine negative 0 Hat andere Singularität: ist sein eigenes Komplement: = Unsymmetrisch

25 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung25 Graphische Darstellung: 2er Komplement

26 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung26 Subtraktion in Komplementdarstellung Vorteil: Subtraktion = Addition einer negativen Zahl Nur ein Algorithmus / Schaltwerk nötig Problem: Overflow / Bereichsüberschreitung

27 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung27 Subtraktion in Komplementdarstellung

28 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung28 Fließkommazahlen – Warum? Auch rationale Zahlen darstellen Sehr große und sehr kleine Zahlen darstellen Lieber feste Anzahl relevanter Stellen als fester Wertebereich Keine feste Position für den Dezimalpunkt Floating Point (FP) Fließkomma-Maschinenzahlen (FKM)

29 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung29 Fließkommazahlen – Wie? Angelehnt an wissenschaftliche Notation: = * = * 10 0 = * 2 1 Darstellung ist nicht eindeutig

30 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung30 Prinzip Fließkommazahlen Jede reelle Zahl läßt sich ausdrücken durch ± Mantisse * Basis Exponent Basis im wissenschaftlichen System: 10 Basis im Rechner: 2 (bzw. 2 n )

31 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung31 Darstellung Fließkommazahlen

32 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung32 Dynamik Fließkommazahlen

33 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung33 Standards Fließkommazahlen Standards definiert in IEEE 754, 1985 Single Precision (32 Bit) Bereich: Double Precision (64 Bit) Bereich: Extended Precision (80 Bit) Meist nur intern benutzt

34 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung34 Normierung Fließkommazahlen 1 Vorzeichenbit: 0 = positiv, 1 = negativ Mantisse: normalisiert, d.h. führendes Bit = 1 ( kann deshalb weggelassen werden ) Basis = 2 Exponent + 127, um das Vorzeichen des Exonenten nicht abspeichern zu müssen

35 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung35 Normierung Fließkommazahlen

36 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung36 Fließkommazahlen

37 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung37 Probleme Fließkommazahlen Darstellung nicht eindeutigA == B? Nicht jede reelle Zahl läßt sich exakt darstellen: 1 / 3 = Rechenoperationen (insbesondere Multiplikation und Division) relativ aufwendig, Berechnung im Floating-Point-Prozessor VL: Numerische Methoden der Informatik

38 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung38 ASCII American Standard Code for Information Interchange 127 Zeichen (7 Bit) Alphabet Ziffern Sonderzeichen Steuerzeichen Erweiterung: 256 Zeichen (8 Bit) Unicode: Zeichen (16 Bit)

39 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung39 Unicode

40 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung40 Schlußfolgerung I Jede Zahl / Information läßt sich im Binärsystem darstellen Die meisten Rechenoperationen lassen sich auf elementare Operationen (Addition) zurückführen

41 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung41 Schlußfolgerung II Jede Zahl / Information läßt sich beliebig genau im Rechner darstellen Jede Rechenoperation läßt sich beliebig genau durchführen Für Grundrechenarten gibt es effiziente Algorithmen Einschränkungen durch Geschwindigkeit und Speichergröße

42 April 25, 2002Vorlesung 2: Zahldarstellung42 Literatur und Links Universalgeschichte der Zahlen Georges Ifrah, GLB Parkland, 1998 Structured Computer Organization Andrew S. Tanenbaum, Prentice Hall, 1999 Vorlesung: Numerische Methoden der Informatik (voraussichtlich WS 02/03) elearn.rvs.uni-bielefeld.de

43 Technische Informatik I Nächste Woche: Vorlesung 3: Boolsche Algebra Mirco Hilbert Universität Bielefeld Technische Fakultät


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