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Geoinformation II Vorlesung 9 29.06.00 Foliendesign: cand. geod. Jörg Steinrücken Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer.

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2 Geoinformation II Vorlesung 9 29.06.00 Foliendesign: cand. geod. Jörg Steinrücken Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer

3 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.002 Zur Erinnerung:

4 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.003 Zerlegung der Maschen in Streifen R

5 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.004 D E F G A B C Suchstruktur p1p1 A q1q1 s1s1 B C p2p2 q2q2 s2s2 s2s2 p1p1 q1q1 s1s1 D E F G p2p2 q2q2 s2s2

6 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.005 Suchstruktur p1p1 A q1q1 s1s1 B C p2p2 q2q2 s2s2 s2s2 D E F G D E F G A B C p1p1 q1q1 s1s1 p2p2 q2q2 s2s2

7 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.006 Einfügen einer Kante (II) D(S i-1 ) qiqi sisi sisi sisi A B D E F B D sisi A C F E C sisi pipi qiqi T(S i ) D(S i )

8 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.007 Zur Effizienz Der oben beschriebene Algorithmus hat folgende Erwartungswerte (gemittelt über alle Permutationen der Segmentmenge S): Konstruktion von D(S):O(n log n) Speicherplatz von D(S):O(n) Punkt-in-Polygon-Suche mittels D(S): O(log n)

9 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.008 Effizienz II: Der Erwartungswert bezieht sich auf die Menge aller Permutationen Pech bei der Permutation kann zum Worst – Case O(n) für die Suche und entsprechender Tiefe der Suchstruktur führen Abhilfe durch Stop-Loss-Punkt setzen: –Brich ab, falls D(S) zu tief wird, und fange neu an mit einer neuen Permutation Differenz zum Worst-Case kann O(n) für die Suche und O(n 2 ) für die Konstruktion kann beliebig klein gemacht werden, ohne daß man von der O(n log n) – Laufzeit für die Konstruktion von D(S) sehr stark abweicht

10 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.009 Sonderfallbetrachtung Was macht man, wenn 2 Knoten die gleichen x-Koordinaten haben? Beobachtung: die vertikalen Extensionen müssen eigentlich nicht vertikal, sondern nur parallel sein Wichtig sind nur die topologischen Invarianten links / rechts an den x-Knoten und oben / unten an den y-Knoten Abhilfe durch Transformation (x,y) (x + * y, y) für geeignet kleines Epsilon Diese Transformation wird aber in Wirklichkeit gar nicht durchgeführt, sondern: –(x,y) liegt rechts von (x,y) falls x > x oder x = x und y > y Oben / Unten – Vergleich an y-Knoten für Segmente in the same spirit (als Übung)

11 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0010 Punkt-in-Polygon-Suche II Bisher: –Zerlegung der Maschen in Streifen –Konstruktion einer Suchstruktur Alternatives Vorgehen: Approximation der Maschen durch umschließende achsenparallele Rechtecke –Minimal Bounding Rectangle (MBR) –Verwaltung der Rechtecke R-Baum R + -Baum

12 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0011 MBR – minimum bounding rectangle Außen x y

13 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0012 Idee In welcher Masche M liegt der Punkt P? Nutze die Bounding Boxes als Filter Verwende effizientes Verfahren, um alle Rechtecke R 1,... R n zu finden, die P enthalten –Jedem Rechteck R i entspricht eine Masche M i Prüfe, ob P in einer der Maschen M 1,... M n vorkommt Verwende dazu das Standardverfahren Problem: Zugriffsstruktur für Rechtecke Rechtecke sind einfacher zu handhaben als Maschen im allgemeinen

14 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0013 Neues laufendes Beispiel Nur die Rechtecke interessieren uns hier, nicht die zugrundeliegenden Maschen

15 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0014 Rechtecke B DG J F C I E H A

16 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0015 E H Rechtecke mit R-Baum A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

17 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0016 Rechtecke mit R-Baum A I 3 AI 3

18 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0017 Rechtecke mit R-Baum A I 3 AI 3 E H 4 4 EH

19 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0018 E H Rechtecke mit R-Baum A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

20 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0019 R-Baum 12 B DG J F C I 1 2 E H A

21 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0020 E H R-Baum 3 12 A B DG J F C I 3 AI 2 1

22 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0021 E H R-Baum 34 12 A B DG J F C I 3 4 AIEH 2 1

23 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0022 E H R-Baum A B DG J F C I 4 34 12 AIEH 5 5 BCD 2 1 3

24 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0023 E H R-Baum A B DG J F C I 34 12 AIEH 6 5 BCD 5 6 JFG 4 2 1 3

25 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0024 E H R-Baum A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

26 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0025 R-Baum als B-Baum Ein R-Baum ist ein B-Baum mit zusätzlichen Eigenschaften B-Baum (zur Erinnerung) –Ein B-Baum ist (wie der AVL-Baum) ausgeglichen –Besonders gut für Hintergrundspeicher (Festplatte), innere Knoten entsprechen Kacheln des Sekundärspeichers –Alle Informationen stehen in den Blättern –Alle Blätter haben das gleiche Niveau –Alle inneren Knoten außer der Wurzel sind mindestens zur Hälfte gefüllt –Teilung beim Überlauf eines inneren Knoten –Verteilung auf Nachbarn beim Unterlauf

27 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0026 Der R-Baum als solcher Ein Blattknoten ist ein Paar (R,O), R ist das kleinste Rechteck, welches das Objekt O umschließt Jeder innere Knoten hat n Paare (R,P) –P zeigt auf einen Teilbaum –R ist das kleinste umschließende Rechteck dieses Teilbaums Beachte Rechtecke können sich überlappen Struktur des R-Baums hängt von Reihenfolge des Einfügens ab Jedes Paar (R,O) kommt genau einmal vor R kann mehrere umschließenden Rechtecke schneiden

28 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0027 Einfügen in einen R-Baum Ausgangspunkt: Einfügen eines neuen Knotens in einen B-Baum Problem hier: an welche Stelle wird (R,O) eingefügt? –Durchlaufe den R-Baum mit der Wurzel als Ausgangspunkt –Wähle an jedem inneren Knoten den Teilbaum, der durch Einfügen von R minimal vergrößert würde –Füge (R,O) schließlich als Blatt ein –Beim Überlauf verfahre wie beim B-Baum Besonderheit gegenüber B-Baum: –Es gibt keine lineare Ordnung zwischen den Einträgen der Knoten –Verschiedene Stragegien zum Spalten eines Knotens

29 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0028 Strategien zum Spalten eines Knotens Minimierung der Gesamtfläche Minimierung des Durchschnitts

30 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0029 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5 In welchem R liegt Q?

31 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0030 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

32 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0031 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

33 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0032 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

34 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0033 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

35 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0034 E H Suchen eines Knotens A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5

36 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0035 Nachteil des R-Baums Um das richtige Blatt zu finden, sind meist mehrere Durchläufe erforderlich Dies gilt insbesondere dann, wenn die Suche erfolglos ist Abhilfe: R + -Baum

37 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0036 Alternative: Der R + -Baum Alle inneren Rechtecke sind disjunkt Ein Objekt / umschließendes Rechteck kann in mehreren Blättern vorkommen Jedes Blatt repräsentiert den Teil von (R,O), der von dem Vaterknoten umschlossen wird

38 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0037 R + -Baum EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 89 EGFJ

39 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0038 R + -Baum 1 2 EH A B D G JF C I 1 2

40 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0039 R + -Baum 21 3 EH A B D G JF C I 1 2 3

41 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0040 R + -Baum 231 4 AE EH A B D G JF C I 1 2 4 3

42 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0041 R + -Baum 2314 5 AEDEH EH A B D G JF C I 1 2 4 5 3

43 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0042 R + -Baum 6 231 45 AEDEH EH A B D G JF C I 1 2 4 5 6 BDI 3

44 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0043 R + -Baum 7 6231 45 AEDEH EH A B D G JF C I 1 2 4 5 6 BDI 7 BCD 3

45 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0044 R + -Baum 8 EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 8 EG

46 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0045 R + -Baum 9 EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 8 8 EG 9 FJ

47 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0046 R + -Baum EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 89 EGFJ

48 Lutz Plümer - Geoinformation II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0047 Suche im R + -Baum EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 89 EGFJ

49 Schönen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und Auf Wiedersehen


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